如何用习题链提升初中生数学解题能力

袁飞林

(福建省上杭县白砂中学 364205)

初中数学涉及很多知识点，其中二次函数是中考的必考知识点，习题类型复杂多变.为使学生掌握二次函数不同题型的解题能力，应结合教学经验，围绕具体教学内容，做好习题链的设计与应用.

1 二次函数图像与性质

二次函数图像与性质类型的习题多较基础，教学中为使学生能够灵活解答相关习题，应注重以下问题链的设计：

问题1已知点A(1，y1)，B(2，y2)在抛物线y=-(x+1)2+2上，则下列结论正确的是( ).

A.2>y1>y2B.2>y2>y1

C.y1>y2>2 D.y2>y1>2

该题目较为简单，已知两个点的横坐标，要求点的纵坐标，因两点在给出的抛物线上，因此，将x=1和x=2分别代入抛物线解析式可求得y1=-2，y2=-7，因此可得2>y1>y2，正确选项为A.

问题2二次函数y=ax2与一次函数y=ax+a在同一坐标系中的大致图像可能为( ).

根据二次函数性质可知，对于y=ax2的图像，a>0，开口向上，a<0开口向下.对于一次函数y=ax+a，a>0，y随着x的增大而增大，且与y轴交于正半轴.a<0，y随x的增大而减小且与y轴交于负半轴.观察二次函数与一次函数系数可知，如a>0，二次函数开口向上，一次函数过一、二、三象限，A、B两项错误.如a<0，二次函数开口向下，一次函数过二、三、四象限，D项错误，只有C项是正确的.

图1

A.①② B.②③ C.③④ D.②④

二次函数图像与性质解题教学中，设计上述问题链，严格把握问题链难度，由易到难逐步递进，使学生树立解题自信的同时，更容易激发学生学习积极性.其中问题1从基础知识入手，树立学生解题自信；问题2灵活考查二次函数系数与函数图像之间的关系，巩固学生所学；问题3难度较大，深化学生对二次函数图像的理解，能很好的提高学生综合分析问题的能力.

2 二次函数图象的平移与对称

在讲解函数图像平移知识时，相信教师都总结有“上加下减，左加右减”这一规律.为使学生能够灵活应用该规律，可要求学生解答下面的问题：

问题4将抛物线y=(x-2)2-3的图像向下平移2个单位，得到的抛物线解析式为____.

由抛物线平移规律“上加下减，左加右减”可知，平移后y=(x-2)2-3-2=x2-4x-1.

问题5将抛物线y=x2+bx+c的图像向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到图像的解析式为y=x2-2x-3，则b、c的值分别为____.

该题目同样可使用总结的规律进行解答，不同的是需要采用逆向思维，由后向前进行推理.由平移后的解析式y=x2-2x-3=(x-1)2-4，先向上平移3个单位，再向左平移2个单位，得到y=(x-1+2)2-4+3=(x+1)2-1=x2+2x，由此可知b=2，c=0.

问题6在平面直角坐标系中函数图像A与二次函数y=x2+x-2的图像关于x轴对称，而后函数图像B与图像A关于y轴对称，则函数图像B对应的函数解析式为____.

该题目难度较大，破题时可引导学生从单一的点进行分析，找到其中的规律，分析可知点关于x轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数.图像A与二次函数y=x2+x-2的图像关于x轴对称，则图像A对应的解析式为-y=x2+x-2，即y=-x2-x+2.函数图像B与图像A关于y轴对称，则函数图像B对应的函数解析式为y=-(-x)2-(-x)+2=-x2+x+2.

在解答函数图像平移习题时设计上述问题链，不仅能巩固学生所学，而且能获得事半功倍的解题效果.问题4较为简单，考查学生对图像平移规律的应用；问题5难度有所提升，锻炼学生逆向思维，提升学生运用平移规律解题的灵活性；问题6能很好的拓展学生视野，进一步深化学生对函数图像关系的认识与理解.

3 二次函数与方程

二次函数与一元二次方程联系紧密.为提高学生解答相关习题的能力，可设计如下问题链：

问题7若方程x2-3x+k=0的一根大于1，一根小于1，则k的取值范围是____.

将方程的根看成是函数y=x2-3x+k图像与x轴交点的横坐标.解答该题应充分考虑一元二次函数图像与x轴相交的每一种可能的情境，找到其共同点进行解答.分析可知要想一根大于1，一根小于1.观察图像可知，只需当x=1时，函数值y小于零即可，即1-3+k<0，解得k<2.

问题8若关于x的一元二次方程x2+ax+b=0有两个不同实根m、n，(m

A.m

C.m

该题目看似难度较大，但只要进行适当的变形，运用数形结合思想不难解答.对方程x2+ax+b=1，变形可得x2+ax+b-1=0；分别令y1=x2+ax+b，y2=x2+ax+b-1，其中m、n为y1图像与x轴交点的横坐标.由函数图像平移将y1的图像向下平移1个单位得到y2的图像.在同一直角坐标系中绘制出两个函数的图像，如图2所示，由图可清晰的看到p

图2

问题9三个关于x的方程：a1(x+1)(x-2)=1、a2(x+1)(x-2)=1、a3(x+1)(x-2)=1，已知常数满足a1>a2>a3>0，若x1，x2，x3分别是按上述顺序对应三个方程的正根，则下列关系正确的是( ).

A.x1

B.x1>x2>x3

C.x1=x2=x3

D.无法确定x1，x2，x3的大小关系

在解答二次函数与方程知识时，设计上述问题链，能很好的拓展学生思维，促进学生解题能力更好的提升.问题7难度中等，灵活考查根与系数的关系；问题8既考查函数与方程之间的关系，又考查函数图像平移知识的灵活应用；问题9考查学生转化以及数形结合思想，促进学生解题能力的进一步提升.

为达到预期教学目标，使学生通过解答设计的习题链，既能树立自信，巩固所学，又能拓展视野，掌握相关的解题思想，在以后的解题中少走弯路，应结合学生实际，设计由易到难，逐步深入的习题链.同时，在课堂上给学生留下充足的思考时间，加深其印象，尤其还应鼓励学生做好解题总结，及时堵住知识漏洞，弥补解题中的不足.