例谈超几何分布与二项分布的辨析

王 进

(山东省淄博市高青县第一中学)

超几何分布、二项分布是高考常考的概率分布类型，这两种分布既有区别，又有关联，学生在初学时由于对两种分布的本质认识不清，极易造成混淆，进而在解题中出现错解.那么如何区分这两种分布?笔者归纳出如下几个区分点，供读者参考.

1 在每次试验中某一事件发生的概率相同还是不同

辨析从概念上来看:若随机变量X的分布列为(k＝0，1，2，…，l，l＝min{n，M})，则称X服从超几何分布.若随机变量X的分布列为1，p＋q＝1)，则称X服从二项分布.从中可以看出，二项分布在每次试验中某一事件发生的概率是不变的，超几何分布是变化的.

例1某大型国际活动招募了50万青年志愿者，根据性别分层抽样，从中随机选取20人进行英语水平测试，所得成绩(单位:分)如图1所示.

图1

(1)从选出的8名男生中随机连续选取2次，每次选1人，记其中测试成绩在70分以上的人数为X，求X的分布列和数学期望;

(2)为便于联络，现将所有青年志愿者随机分成若干组(每组人数不少于5000)，并在每组中随机选取m人作为联络员，要求每组联络员至少有1人英语成绩在70分以上的概率大于90%.根据图中数据，以频率作为概率，求m的最小值.

分析本题第(1)问从8人中随机连续选取2次，每次选取1人，第一次选取的学生成绩在70分以上的概率，与第二次选取的学生成绩在70以上的概率不同，故X服从超几何分布.第(2)问中每个志愿者的英语成绩在70分以上的概率都是相互之间互不影响，概率不变，故X服从二项分布.

解(1)8名男生中70分以上的有3人，故X的可能取值为0，1，2.

因此，X的分布列如表1所示.

表1

(2)由图1中的数据可知20人中英语成绩在70分以上的有10人，故从中任取1人，其成绩在70分以上的概率为人中至少有1人成绩在70分以上，情况较多，包括1人，2人，…，m人.据对立事件的原理得，即m的最小值为4.

2 抽取方式是有放回还是无放回

辨析教材中对两种分布的模型解释:在N件产品中有M件次品，无放回地任取n件，其中次品数X服从超几何分布.在N件产品中有M件次品，有放回地任取n件，其中次品数X服从二项分布.从中可以看出抽取方式是有放回还是无放回，这是判断超几何分布与二项分布的一个关键条件.超几何分布是无放回，二项分布是有放回.

例2某套高考模拟试卷中单选题共有8道，已知小明能答对其中的6道.

(1)小明从中任选4道题作答，设答对题目的个数为X，求X的数学期望;

(2)小明从中每次取出1道题作答，取出后放回，连取4次，设答对题目的个数为Y，求Y的数学期望.

分析第(1)问从8道题中选4道，可理解为“一把抓”，没有顺序.第(2)问每次取1道题，有顺序，且取出后再放回，即第一次取时，8道题中有6道题会答，第二次再取时，仍是8道题中有6道题会答，每次取题互不影响，即独立重复，共重复了4次，故服从二项分布.

解(1)8道题中能答对6道，从中任选4道题，则至少能答对2道，故X的可能取值为2，3，4，相应的概率分别为

因此，X的分布列如表2所示.

表2

(2)每次取出1道题，取出后放回，8道题中有6道能答对，故每次取题答对的概率为连续取4次，即进行4次独立重复试验，答对题目的个数Y的可能取值为0，1，2，3，4.

因此，Y的分布列如表3所示.

表3

3 抽取范围是总体还是样本

辨析在概率统计的应用中，我们常用样本数据特征来估计总体.因此在试验活动中，要明确是在总体中抽取，还是在样本中抽取.若在总体中抽取，甚至在某些情况下总体数量是不确定的，此时应按二项分布的类型来处理.若在样本中抽取，且无放回，则按超几何分布来处理.

例3每年的4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”，又称“世界图书和版权日”，为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了500名高一学生进行在线调查，得到了这500名学生的日平均阅读时间(单位:h)，并将样本数据分成[0，2]，(2，4]，(4，6]，(6，8]，(8，10]，(10，12]，(12，14]，(14，16]，(16，18]这9组，绘制成如图2所示的频率分布直方图.

图2

(1)求a的值;

(2)为进一步了解这500名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在(12，14]，(14，16]，(16，18]这3组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人.现从这10人中随机抽取3人，记日平均阅读时间在(14，16]内的学生人数为X，求X的分布列;

(3)以调查结果的频率估计概率，从该地区所有高一学生中随机抽取3名学生，记日平均阅读时间在(10，12]内的学生人数为X，求X的分布列及数学期望.

分析本题第(2)问，是从分层抽样得到的10人中，无放回任选3人，随机变量X服从超几何分布.第(3)问，是从地区所有高一学生中抽取，且总体人数不确定，故X服从二项分布.

解(1)a＝0.1(求解过程略).

(2)根据分层抽样原理，可知在阅读时间为(12，14]，(14，16]，(16，18]内抽到的学生人数分别为5人，4人，1人.

从这10人中任选3人，则阅读时间在(14，16]内的人数X的可能取值为0，1，2，3，则

因此，X的分布列如表4所示.

表4

(3)由题意及(1)的结论知，从该地区所有高一学生中随机抽取1名学生，平均阅读时间在(10，12]内的概率为因该地区高一学生总人数不确定，故每次抽取概率不变，抽取3次，即进行3次独立重复试验.

X的可能取值为0，1，2，3，相应的概率分别为

因此，X的概率分布列如表5所示.

表5

4 总体数量是多还是少

辨析超几何分布与二项分布既有区别，又有联系.当总体的数量非常大，抽取样本数量很少时，可以近似地认为每次抽取时事件发生的概率不变，这样就可以看成每次抽取结果是相互独立的，进而将超几何分布近似地看作二项分布来处理.

例4某手机生产商一批次生产了50000台手机，其中次品率是2%，现从中不放回地依次抽取3台进行检验.求抽到次品台数X的概率分布列.

分析本题抽取方式为无放回，因此从问题的本质来看，属于超几何分布.手机总台数为50000，其中次品为台，合格的手机为49000台.现从50000台中抽取3台，则X的可能取值为0，1，2，3.我们先按古典概率类型来计算X取某一值时的概率，比如X＝1.

因为总体数非常大，第一次抽取与第二次、第三次抽取次品率非常接近，我们可以认为每次抽到次品率均为2%，抽取3次，即3次独立重复试验，故抽到的次品数近似服从二项分布，此时

不难发现这两种计算方式所得的概率几乎相等，因此这种情况，我们可按独立重复概率类型来处理.

解X的可能取值为0，1，2，3.

因此，X的概率分布列如表6所示.

表6

另外，常见的概率分布类型还有两点分布，两点分布是一种特殊的二项分布，即只进行一次独立重复试验，只有发生与不发生两种结果，与其有关的问题相对于前两种要简单一些.

总之，在处理与概率分布有关的问题时，我们要明确各种概率分布的本质，以及不同概率类型之间的异同，结合题目条件，准确识别概率类型.