高考中几何概型的交会命题

何伟军

(甘肃省定西市渭源县第一中学)

几何概型在高考中常与函数、不等式、线性规划、定积分、平面向量、解析几何等知识交会命题，命题的角度新颖、立意远，考查的知识全面、综合性强、能力要求较高，所以这类问题应当引起学生的高度重视.

1 几何概型与函数零点、不等式交会

例1在区间[0，1]上任意取两个实数a，b，则函数在区间[－1，1]上有且仅有一个零点的概率为_________.

解析

在区间[0，1]上任意取两个实数a，b全部结果构成事件Ω＝{(a，b)|0≤a≤1，0≤b≤故f(x)在x∈[－1，1]上单调递增.又因为函数上有且仅有一个零点，即有f(－1)f(1)＜0成立，即a－b)＞0，于是所求事件构成的平面区域为

在平面直角坐标系aOb中画出这两个不等式组所表示的可行域，如图1的阴影部分所示，因为正方形的面积为S＝1，阴影部分的面积为所以函数上有且仅有一个零点的概率为

图1

点评

本题将函数在给定区间上的零点与几何概型交会在一起，综合性强，解题时要注意基本事件和所求事件所构成的区域，用线性规划的基础知识解决.当基本事件受两个连续变量控制时，一般要把两个连续变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决.

2 几何概型与三角函数交会

例2已知函数f(x)＝sinx＋cosx，当x∈[0，π]时，f(x)≥1成立的概率为_________.

解析

点评

含单变量构成试验结果的区域是区间的长度，实质是三角不等式的解集构成所求事件的区域长度.

3 几何概型与定积分交会

例3如图2所示，在边长为e(e为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为________.

图2

解析

由对数函数与指数函数的对称性，得两块阴影部分的面积相同(如

图2).S＝2(ex－ex)2，故落到阴影部分的概率为

点评

解答本题的关键是把题中所表示的几何模型转化为封闭图形的面积，然后求解，注意我们常通过定积分来求曲边多边形的面积.

4 几何概型与平面向量交会

例4已知向量a＝(－2，1)，b＝(x，y).

(1)若x，y分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6)先后抛掷两次第一次、第二次出现的点数，求满足a·b＝－1的概率;

(2)若x，y在连续区间[1，6]上取值，求满足a·b＜0的概率.

解析

(1)将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所包含的基本事件的总数为6×6＝36个.由a·b＝－1，得2x－y＝1，所以满足a·b＝－1的基本事件为(1，1)，(2，3)，(3，5)共3个.故满足a·b＝－1的概率为

(2)若x，y在连续区间[1，6]上取值，则全部基本事件的结果为Ω＝{(x，y)|1≤x≤6，1≤y≤6}.满足a·b＜0的基本事件的结果为A＝{(x，y)|1≤x≤6，1≤y≤6，－2x＋y＜0}，画出图形(如图3).矩形的面积为S＝25，阴影部分的面积为4＝21，故满足a·b＜0的概率为

图3

点评

第(1)问中先后抛掷两次的点数对(x，y)为基本事件，只有有限个，而a·b＝－1的基本事件出现只有3个，是典型的古典概型.第(2)问中x，y在连续区间[1，6]上取值，可能出现的结果有无限多个，是几何概型，明确事件所占整个区域是矩形，而满足a·b＜0所占区域是梯形.由于变量取值的有限性和无限性，古典概型与几何概型异同也显而易见.

5 几何概型与线性规划交会

例5设不等式组表示的平面区域为D.在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是( ).

解析

设所求事件为A.如图4所示，基本事件总数是边长为2的正方形区域μ，满足事件A的是阴影部分区域μA，故由几何概型公式得P(A)＝故选D.

图4

点评

本题所求的点落到阴影部分中，所以准确确定几何空间的度量，应用公式进行计算是求解的关键.

6 几何概型与直线、圆交会

例6在圆x2＋y2＝4上任取一点，该点到直线的距离d∈[0，1]的概率为_________.

解析

图5

点评

将圆上哪些点到直线x＋y－2 2＝0的距离d∈[0，1]的问题，转化为寻找与两平行直线所夹圆弧，再求所夹圆弧对应的圆心角，是属于与角度有关的几何概型，且不可用线段的长度代替，但可以用圆心角所对应的弧长代替，这是两种不同的度量方法.

7 几何概型与解析几何交会

例7已知直线与曲线恰有两个不同的交点，记k的所有可能取值构成集合A;P(x，y)是椭圆上一动点，P1(x1，y1)与点P关于直线y＝x＋1对称，记的所有可能取值构成集合B，若随机地从集合A，B中分别抽出一个元素λ1，λ2，则λ1＞λ2的概率是________.

解析

方法1因为λ1∈A，λ2∈B，分别以λ1，λ2为横坐标和纵坐标，点(λ1，λ2)构成一个平面区域Ω＝{(λ1，λ2)|0＜λ1＜1，－1＜λ2＜1}，该区域为图6中面积为2的矩形;而所求事件A构成的区域A＝{(λ1，λ2)|0＜λ1＜1，－1＜λ2＜1，λ1＞λ2}是图6中直角梯形(阴影部分)，故所求概率是

图6

方法2当λ1∈A，λ2∈[－1，0]时，此事件发生的概率为此时必有λ1＞λ2;当λ1∈A，λ2∈(0，1]时，此事件发生的概率为此时λ1＞λ2与λ1≤λ2概率相等，各占于是满足λ1＞λ2的概率为以上两个事件为互斥，且[－1，0]与[0，1]的区间长度相等，故满足λ1＞λ2的概率为

点评

本题将直线与曲线的交点、轴对称图形、二次方程根的分布、坐标的取值范围、线性规划、几何概型等知识交会，综合性强，解题时要注意将各个知识点分解转化.

8 几何概型与复数交会

例8设复数z＝(x－1)＋yi(x，y∈R)，若|z|≤1，则y≥x的概率为( ).

解析

z＝(x－1)＋yi，则1，即(x－1)2＋y2≤1.如图7所示，易得A(1，1)，B(1，0)，则阴影面积为则y≥x的概率是故选B.

图7

点评

由于复数与复平面内的向量一一对应，且复数模的几何意义与平面区域密切相关，所以复数与几何概型结合，令人耳目一新.

9 几何概型与数学文化的交会

例9如图8所示，来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为Rt△ABC的斜边BC，直角边AB，AC.△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ，阴影部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则( ).

图8

A.p1＝p2B.p1＝p3

C.p2＝p3D.p1＝p2＋p3

解析

方法1设Rt△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则区域Ⅰ的面积为△ABC的面积，即，区域Ⅱ的面积

所以S1＝S2，由几何概型的知识知p1＝p2，故选A.

方法2不妨设△ABC为等腰直角三角形，AB＝AC＝2，则，所以区域Ⅰ的面积为△ABC的面积，即区域Ⅱ的面积

根据几何概型的概率计算公式，得p1＝p2＝所以p1≠p3，p2≠p3，p1≠p2＋p3，故选A.点评

本题是几何概型与数学文化交会的题，弄清区域的面积和面积的求法是关键，有一定的技巧性.此题文字较多，需要认真阅读，并借助几何图形的特点，形成解决问题的思路.

总之，对于一个具体问题，首先要明确几何概型的定义，关键在于能否将问题几何化，能否应用几何概型概率公式.要学会根据实际问题的具体情况，选取合适的参数，建立适当的坐标系，在此基础上，将试验的每一个结果一一对应于该坐标系中的点，使得全体结果构成一个可度量区域，即构造随机事件对应的几何图形，利用图形的几何度量求随机事件的概率.解几何概型的试题，一般先求出试验的基本事件构成的区域长度(面积或体积)，再求出所求事件构成的区域长度(面积或体积)，最后代入几何概型的概率公式即可.