一道动力学竞赛试题的多解赏析——以第38届全国中学生物理竞赛预赛第8题为例

昌明彦 赵相标

（贵州省思南中学）

动力学类试题不仅是高考的高频考点，也是竞赛的高频考点.本文采用多种方法解析第38届物理竞赛预赛第8题，旨在激发学生参加物理竞赛的兴趣，提高学生科学思维能力.

1 原题再现

例一质量为m、半径为R的均质小球静止在水平桌面上，小球和桌面之间的动摩擦因数为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小为g.用一根水平轻杆击打小球，击打位置位于球心所在的水平面上，击打方向正对球心，击打时间极短，小球获得的水平冲量为P.从击打结束开始经_________时间后小球开始纯滚动，小球开始纯滚动时的速度为_________.已知小球绕球心的转动惯量

2 试题分析

根据题意可知：轻杆水平击打小球球心所在位置瞬间，小球获得水平冲量P后向前滑动，小球质心初速度为小球与水平桌面上接触点向前滑动，水平桌面给接触点向后的滑动摩擦力，竖直方向小球受到的重力和支持力的合力为0，在滑动摩擦力的作用下质心做匀减速直线运动，同时小球绕质心做匀加速转动，可知小球为刚体模型，非质点模型.故解答此题既需要力与平动相关知识，还需力与转动相关知识.

3 知识储备

1)质点模型(高考知识点)

牛顿第二定律F＝ma.匀变速直线运动中，速度v＝v0＋at，位移

线速度与角速度的关系为v＝ωR.动能定理W外＝ΔEk.动量p＝mv.冲量I＝Ft.动量定理F合t＝mv－mv0.

2)转动模型(竞赛知识点)

匀加速转动ω＝ω0＋βt，转动定律M＝Jβ，角动量L＝mvr＝Jω，角动量定理MΔt＝JΔω，角动量守恒定律L＝Jω＝mvr＝mω2r.

注：M为刚体所受各外力对转轴的力矩的代数和，J是 转 动 惯 量，β是 角 加 速 度.

4 试题解析

设小球获得的水平冲量为P，质心速度为v0＝角加速度为β，初角速度为0，经过t时间后小球纯滚动，纯滚动时角速度为ω.

解法1 牛顿运动定律

对小球质心由牛顿第二定律有μmg＝ma，运动学公式为v＝v0－at，纯滚动条件为v＝ωR，角速度公式ω＝βt，刚体转动定律

联立得

解法2质心动量定理

小球在向前运动的过程中，由质心动量定理有－μmgt＝mv－P，刚体转动定律μmgR＝Jβ，上式两边同时乘t得μmgRt＝Jβt＝Jω，纯滚动条件为v＝ωR.联立得

解法3小球与水平桌面接触点合速度vt＝0时，小球开始做纯滚动.

接触点随质心同速向前平动，开始时绕质心转动的线速度为0，可得接触点合初速度为v0.小球在水平桌面上运动过程中，质心做匀减速直线运动，接触点绕质心以角加速度β做匀加速转动，经过时间t，接触点合速度为vt＝v0－at－βtR，质心由牛顿第二定律有μmg＝ma.由小球转动定律有μmgR＝Jβ.纯滚动条件vt＝0，联立得

解法4角动量守恒定律

过小球与水平桌面接触点，垂直纸面向外为转轴，轻杆击打小球结束瞬间，小球获得的角动量(冲量矩)为L＝PR.

重力、支持力、摩擦力过接触点的力矩都为零，得小球过接触点的角动量守恒，有PR＝mvR＋Jω.纯滚动条件有v＝ωR.质心动量定理

联立得

5 问题拓展

设小球恰好纯滚动时(t0＝0)与桌面接触点为A，求此后t时刻小球上A点的速度和加速度大小.

分析小球达到纯滚动后，A点绕质心匀速转动，质心向前匀速平动，A点绕质心的线速度与质心平动的速度大小相等(v线＝vC＝v).此问属于运动学知识，A点运动轨迹为曲线.

解法1以A点为原点，水平向右为x轴，垂直水平面过A点竖直向上为y轴，建立坐标系.经过t时间后小球上A点转动的角度为如图1所示.

图1

由位移公式得

以上两式两边对时间求导数得A点分速度为

A点合速度为

将A点分速度对时间求导数得，A点的分加速度为点加速度大小

解法2A点的运动轨迹为曲线，由矢量三角形法则求A点速度和加速度.

小球达到纯滚动后，球上A点既随质心向前平动，又绕质心转动，A点的速度为质心的速度与绕质心转动的线速度的矢量和，三个速度组成一个矢量三角形，如图2所示.

图2

由三角函数中的余弦定理得

或由等腰三角形几何知识得

小球达到纯滚动后，质心做匀速直线运动，A点绕质心的向心加速度

6 反思总结

原试题的第一、二两种解题方法分别应用动力学“三大观点”中的牛顿运动定律和动量定理求解，这两种方法对于高中物理尖子生来说容易上手；第三、四种解题方法将质心和接触点作为研究点，对接触点运用相对运动进行解析.问题拓展的第二种解法，运用学生非常熟悉的矢量三角形法则，已知分运动求合运动.对于高中生来说，解答此题的难点：一是小球运动属于刚体模型，不是质点模型；二是纯滚动的临界条件v＝ωR或接触点相对于地面的速度为0；三是刚体模型转动过程中，刚体的转动定律、转动惯量、角动量、角加速度、角动量定理等.