微分方程在成都市人口预测中的应用

◇成都师范学院 宋晓敏 周海燕 王 静 卢秋月

本文以2000～2019年成都市统计年鉴户籍人口总数为依据，结合微分方程模型的相关知识，优先拟合出灰色预测模型，进而来准确预测成都市人口未来的变化，为成都市的规划发展提供数据支持。在建模完成及模型应用结束后，经过残差检验、后验查检验、误差分析和对预测结果的现实分析，结果显示此模型精确度较高，在对成都市未来人口走向的预测中取得了较好的效果。

古往今来，人口都是决定国家强盛，城市繁荣的主要原因。这是因为人口数量不仅作用于经济文化，还作用于教育，民生等多个方面。人口数量，人口年龄结构，人口性别比例，人口增速以及人口素质等内容均属于人口问题的研究方面。其中对于人口数量的研究是人口问题研究的基础，也是人口问题研究中最重要的部分之一。巨大的人口数量意味着庞大的消费市场，因为庞大的消费市场是进行产业发展和升级的基础。

成都市作为西部第一大城市，为了能更快更好的发展为全国一线城市，对未来人口的预测是十分有必要的。本文基于《成都统计年鉴－2019》等资料提供的相关数据构建灰色预测模型对成都市未来人口进行分析与预测。

1 模型介绍

1.1 微分方程与灰色预测

1.2 现阶段灰色预测模型的应用

2 模型建立

2.1 问题假设

（1）假设本文中所使用的数据均真实有效，具有分析的价值。

由图5可知，不同pH发酵条件下得到的小麦酱油滋味有明显差异。相比于自然pH发酵的酱油，pH 6.5条件下发酵的酱油鲜味更强，这与其含有更多的谷氨酸有关。二者在咸味上无明显差异，但pH 6.5小麦酱油的苦味更强，自然发酵酱油则在甜味、酸味上更强。pH 6.5小麦酱油的苦味更加强烈，原因不明。

（2）假设成都市是一个封闭系统,没有人口的迁入和迁出。

（3）不考虑战争、瘟疫、疫情等传染性疾病的影响。

（4）人口数量只与人口基数、出生率、死亡率有关。

（5）假设未来三十年成都市人口的出生率、死亡率不受科技发展的影响。

2.2 灰色预测 模型建立的基本过程

（1）假设已知原始数据序列为：

2.3 代入数据进行模型求解

根据《成都统计年鉴－2019》四川省成都市2010-2019年的人口总数，可见四川省成都市的人口数量呈逐年增长的趋势，且增长速度逐年加快。同时，基于上述模型建立的理论基础，通过合理运用Excel，对滑动平均矩阵、2011-2019年人口数所形成的矩阵等进行转置运算、求逆运算以及乘法运算解出了灰微分方程的待定参数，进而求得成都市人口预测模型。通过所得预测数据与原始数据的散点图拟合对比，并进行残差检验和后验差检验，结果显示预测数据较为准确，该模型有效地减少人口自然增长与人口机械增长对成都市人口总数的影响[5]。具体的模型求解与人口总数的预测过程如下所示。

首先，收集了2010-2019年成都市人口总数的统计情况，见表1。

表1 成都市人口总数（万人）

由此可得一次累加数据序列为：

2.4 模型精度检验

分别求出预测值、相对误差值、绝对误差值，结果如表2所示。

表2 成都市人口预测值与实际值的相对误差

由表2可知平均相对误差为0.2%，所以此模型的精确度较高。

表3 灰色预测精度检验等级标准

因此，上述所得模型可用于成都市人口总数的预测。将11,12,13,14,15,16代入预测式（9），经过计算可得出2020-2025年成都市人口预测值，见表4。

表4 成都市人口预测值（万人）

2.5 预测结果图示

3 模型优缺点的评判

3.1 优点

（1）该模型所需样本量较少，且能更好的预测含有未知因素的系统。

（2）灰色预测模型对城市人口数进行中短期预测时，所得拟合结果精度较高。

（3）灰色预测模型对于呈指数变化的单调序列预测精度更高。

（4）样本分布允许具有随机性，模型求解简便，结果易于检验。

3.2 缺点

（1）灰色预测模型存在局限性，只适用于原始数据为非负的情况。

（2）灰色预测模型在原始数据序列波动较大时，所得预测结果存在较大误差。

4 结论

模型对成都市人口总数进行中短期的预测。结果显示，依据各项指标建立的灰色预测模型具有更高的精度和较好的拟合度。然而此模型是存在局限性的，它不能达到中长期预测的精度要求，由此可知当原始数据为非负且呈较强指数规律变化，以及序列的变化波动较小时的最佳预测模型是灰色预测模型，因为此条件下建立的灰色预测模型能得到误差更小的预测结果。