整体架构 提升素养

【摘 要】整合是发生深度学习的重要机制。文章在整体化教学理论的指导下，对“整式的乘法与因式分解”起始课进行设计，将整章内容进行优化重组，借数式通性引导学生类比迁移得到整章的知识架构，倚靠数学逻辑的自然生长完成对幂的运算的整合教学，打破原来零散性、碎片化的教学设计，实现整体化教学，提升学生的数学核心素养。

【关键词】幂的运算;整体化;深度学习

【作者简介】陈元云，高级教师，教育部名师领航工程邢成云名师工作室核心成员，滨州市名师，优秀教师，教学能手。

【基金项目】山东省教育教学研究重点课题“基于初中数学课程整合的单元教学案例研究”（2020JXZ026）

李松林提出，整合是发生深度学习的重要机制[1]。在新时代课程改革的背景下，实行单元教学是课堂走向深度、提升学生核心素养的有效途径。笔者在教学实践中，反复研读课程标准与教材，对教材内容进行整合，以实现“用教材教”而不是“教教材”。本文以人教版数学八年级下册“整式的乘法与因式分解”为例，分析整体化教学理论在课堂中的践行与思考。

一、教前慎析

（一）教学现状分析

实施课程改革以来，各学科教学涌现出了很多单元教学的案例，但部分教师对整体化教学理解不够深刻，还是原来的“点对点”碎片化教学，每节课仍是对某一个知识点的讲解与跟踪评价。有的教师也尝试整合教材，但只是内容的“叠加”，没有教学内容的有机融合与发展，不能挖掘大系统内章与章、整章内容之间的前后联系，不利于提升学生的核心素养。

（二）教材内容分析

对于整个初中数学教学体系来说，“整式的乘法与因式分解”起始课属于沿途起始课，本章内容是在“整式的加减”基础上的再学习[2]。笔者对本章起始课的设计进行了调整，一是引导学生类比“数”完成本章的知识架构，二是借助数学逻辑完成本章的第一个小主题单元“幂的运算”的教学。教材中有关幂的运算法则的探究和应用是分散安排的，第1课时学习“同底数幂的乘法”，通过观察特例—形成猜想—验证猜想—得到法则—应用法则的顺序展开教学;第2课时、第3课时依次循环其他两个法则。这样的零打碎敲，重起炉灶，浪费了已经启动起来的资源，使得学生思维脉络得不到有效延伸，缺失了思维的连贯性。基于以上认识，笔者依据课程标准，对教学内容进行了统整，把三个课时统合起来组织教学，形成显性且系统的教学内容。

（三）教学理论分析

邢成云老师的“整体统摄·快慢相谐”的整体化教学主张，是立足整体，基于课程意识，借力课程整合，站在课程高度教学，统合课程资源设定教学内容，开放立意设计教学环节，变教材为学材，变教程为学程的课程统合与课堂实践，是指向思维进阶的一种系统建构[3]。与之对应，

《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《课程标准》）指出，数学知识的教学，要注重知识的“生长点”与“延伸点”，把每堂课教学的知识置于整体知识的体系中，注重知识的结构和体系，处理好局部知识与整体知识的关系，引导学生感受数学的整体性，体会对于某些数学知识可以从不同的角度加以分析、从不同的层次进行理解[4]45。这些都为本节课落实深度学习提供了理论支持。

二、教学实践

（一）创设情境，导入课题

师：如图1，你能表示出正方形的哪些信息？如果该正方形的边长增加b（如图2），你还能表示出这些信息吗？有几种不同的方法求出新正方形的面积？

生：可以表示出正方形的周长、面积，图1中正方形的周长为4a、面积为a2，图2中正方形的周长为4（a+b），面积为（a+b）2或（a+b）·a+（a+b）·b或a2+2ab+b2。

師：请同学们观察上述式子，你想到了我们学过的什么内容？

生：它们都属于整式。

师：我们已经学习了整式的什么内容？

生：整式的定义与整式的加减。

师：类比数的运算我们应该继续学习整式的什么内容？并看一下这些式子属于什么运算。

生：应该继续研究整式的乘除法，式子4（a+b）、（a+b）2、（a+b）·a+（a+b）·b、a2+2ab+b2中，有整式的乘法与加法。

师：根据同一个图形的面积相等，我们得出（a+b）2=（a+b）·a+（a+b）·b=a2+2ab+b2。大家能看出上面式子两两之间不同方向的变形的区别吗？如对于（a+b）2=a2+2ab+b2，左边得出右边与右边得到左边，这两种变形有什么区别？

（学生沉默。教师引导学生与整数的乘法2×5=10和分解质因数10=2×5进行类比得出结论。）

教师通过提出环环相扣的问题，引导学生进行思考。学生在教师的引导下逐渐发现问题，得出结论。最后教师引导学生根据所学知识完成本章内容的知识架构图（如图3）。

【设计意图】结合本章知识的学习特点，教师把问题进行了分解，让学生在逐层递进的问题中体会数学的学习方法。其中，借助章前图中同一个图形的面积用不同的方式表示得出恒等式的方法，渗透割补法、等积法，利用数式通性，引导学生得出本章的知识架构，让学生既见“木”又见“林”，体会大系统内章与章之间的联系，使学生的思维走向系统化。

（二）温故得新，形成规律

师：为更好地学习本章内容，我们需要先研究什么？由此，你能回想起我们学过的哪一类知识？各小组互相补充并完善。

师：在an中，底数a可以是什么？请列举一个具体的例子。

（学生列举例子，教师相机板书，如有学生列举出a可以是一个数字，也可以是一个式子等。）

师：如果这里的底数a改为（a·b）呢？它的意义是什么？

师：如果把其中的a换为a的m次方，它又表示什么意思呢？

师：如果底数不变，两个幂相乘呢？比如am·an，又会等于多少？

教师引导学生进行合作探究，找出规律，学生在教师的启发下思考公式的得出过程，最后形成本节课的三个公式（a·b）n=an·bn，（am）n=amn，am·an=am+n。教师板书结论，让学生根据式子的外在形式与内在意义给公式“起名字”，使学生再次深化对公式的理解。

【设计意图】本环节是这节课的核心所在，其既是这节课的重点，也是难点。鉴于八年级学生的知识特点与思维特点，教师从乘方的意义出发，以换掉底数为载体，逐步引入积的乘方、幂的乘方和同底数幂的乘法，让学生感受数学知识的逻辑关联性，有效激发学生学习数学的热情。学生借助合作探究，充分体会新知其实就是旧知的重新组合与自然延伸，再次理解数学知识之间的关联性，体会数学的整体之美，提高学习数学的兴趣。

（三）运用新知，巩固提高

练习1：请直接写出下列式子的答案，并指出计算时用到的公式。

①23×24;②（103）7;③（5x）4;④（x2）5;⑤（2n）3;⑥（x·y）7;⑦x5·x7;⑧（-2）5×（-2）3;⑨（-3a）3。

练习2：计算并写出解题过程。

①x2n·xn+1;②（ab3c2）5;③（-3×103）2;④（a2）4·a3;⑤（mn3p2）3;⑥（x+y）2·（x+y）·（x+y）5。

练习3：利用所学知识，写出结果等于a12的算式，比比看谁写得多。

对于练习1，学生先口答，再分析用到的公式。对于练习2，学生独立完成后，再与小组同学核对答案并研讨出现的错误，然后教师根据各小组汇报情况进行评价讲解。练习3属于开放性题目，开放的问题引领开放的课堂，教师先让学生畅所欲言，再引导学生对各小组的答案进行分类分析，如分析一下哪些式子是根据积的乘方写出来，哪些式子是根据幂的乘方写出来，哪些式子又是根据同底数幂的乘法写出来。

【设计意图】三道练习题的难易程度不同，但都包含了三个公式的运用。教师让学生在这种分层与对比运用中解决问题，使学生既巩固了新知，又提高了解题能力与综合分析能力，同时积累了做题经验。尤其是练习3中让学生自己写出算式，这个过程既考查了学生对公式的灵活应用——逆用，又激活了学生思维。同时，让幂的运算公式得以全景展现，凸显出学生的主体地位，让学生体会数学的开放性与趣味性。

（四）归纳小结，畅所欲言

师：通过本节课的学习，你有哪些收获，又有哪些困惑？请你与同伴交流、分享，并完善知识架构图。

教师先引导学生进行总结，包括数学知识、数学知识获得的过程、数学思想方法、解题方法、感悟等，再引导学生思考：“根据本节课的学习经验，猜想下节课的学习内容是什么？”学生容易得出下节课要学习整式的乘法，教师再追问整式的乘法会出现哪几种情况，学生轻松说出单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式。同时，教师让学生思考：“为什么这节课要先学习幂的运算？”学生在不知不觉中体会了学习本节课的重要性，并完善了知识架构图（如图4）。

【设计意图】教师引导学生对知识进行总结、对思想方法进行提炼、对解题方法进行归纳，让学生在总结本节知识的同时，对后知进行展望，再次体会数学知识的整体性，从而激发学生的学习潜能，提高学生的数学核心素养。

（五）分层作业，满足所需

必做题：1.若10m×10200=10203，求m的值;

2.若（an）2=a10，求n的值;

3.计算：0.12540×（-8）40。

选做题：若am=4，an=5，你能求出哪些式子的值？

【设计意图】《课程标准》指出，数学课程应致力于实现义务教育阶段的培养目标，要面向全体学生，适应学生个性发展的需要，使得人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展[4]2。而分层作业的设置除巩固新知外，还能满足不同学生的需要。

三、教学思考

（一）整体化教学在数学课堂中的落实

整体化教学是《课程标准》的要求，更是提高学生核心素养的必需。对本节起始课而言，乘方是新知同底数幂的“生长点”，而幂的乘方、积的乘方，又是新知的“延伸点”，知识点之间前后贯通、一脉相承。笔者认为，整体化教学在数学课堂中的落实主要体现在三个方面：一是打破教学顺序，把初中三年的教学内容进行大整合，实施大单元主题教学;二是结合每一章的内容特点，对每一章的教学内容进行整合，实施小单元主题教学;三是“无奈之举”，即教师如果没有对教学内容进行整合，而是按照教材安排一节一节地教，那課堂也应该注重知识之间的关联性，找准每节课旧知的生长点、延伸点，课堂小结时不应匆忙结束，而应有对旧知的回顾、新知的总结、后知的展望。本节课中，教师先借助情境的创设，引导学生对整式的内容进行提炼，再由数式通性析出整章知识架构，然后结合旧知生长出新知，最后对新知进行展望，得出后知。课堂上环环相扣，无不渗透着数学的整体性与系统性。用章建跃博士的话来说就是，把握好整体性，对内容的系统结构了如指掌，心中有一张“联络图”，才能把准教学的大方向，才能使教学有的放矢，也只有这样，才能使学生学到结构化的、联系紧密的、迁移能力强的知识[5]。

（二）重视探究活动的设计

一节好课的标准不是教师讲了多少，而是学生学到了多少，在体现以学生为主体的教学中，有多种设计方式，需要教师结合学生学情，设置合理而有意义的探究活动。本节课中，教师结合小组合作开展了三次有意义的探究活动，三次探究活动层级推进，不断呈现出探究目的、探究过程、探究意义，让探究自然延伸，学生在活动中总结方法，结束本节新知的学习。

（三）实现新旧认知发展区的有效衔接

本节课在整式加减的基础上导入，由“数”的知识架构导入“式”的知识架构，这是第一个新旧认知发展区的衔接;再借助乘方的意义导出幂的三个运算性质，这是第二个新旧认知发展区的衔接。课堂上，教师要激活学生的原有认知与现场思维，实现由旧知到新知的迁移。正如李祎教授所说，学习者学习新知的过程，就是从已有认知结构中提取与新知有联系的旧知，对新知加以“固定”或“归属”的动态过程，教师在对新知进行导入设计时，可以依照教材本身内在的逻辑关系，设计出既能联系旧知又能提示新知的导语，从而使新旧知识通过相互作用，最终形成一个相互关联的有序整体[6]。因此，那些符合学生实际的问题设计、整体化的教学理念、分层次的探究活动等，都有利于改变教学现状，使学生的浅层学习向深度学习靠拢，更有利于学生数学核心素养的发展。

参考文献：

[1]李松林.走向整合的深度学习[J].中小学电教（下半月），2020（2）：64.

[2]邢成云.统整课程：站在课程的高度教学[J].中小学课堂教学研究，2021（5）：9-12.

[3]邢成云.“整体统摄·快慢相谐”的整体化教学[J].中国教师，2021（10）：38-41.

[4]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012.

[5]章建跃.数学教育随想录（下卷）[M].杭州：浙江教育出版社，2017.

[6]李祎.另眼看导入[J].数学通报，2018（8）：13-16，26.

（责任编辑：罗小荧）