基于一维弹道导体的三端纳米线制冷机的性能优化*

徐帅 杨贇贇 刘行 何济洲

(南昌大学物理系,南昌 330031)

基于一维弹道导体,建立了三端纳米线制冷机模型.该模型是由一个中间空腔和左右电子库组成,中间空腔和两电子库通过一维纳米线导体进行连接.利用朗道方程和基本热力学公式推导出两电子库之间电荷流和能量流的表达式,进而得出该制冷机模型的工作区间,然后分析其性能特征并讨论制冷机性能优化.研究表明:不同的参数下该制冷机会有不同的制冷区间,但每个制冷区间都存在一个温差上限,超过该温差,此装置将不能进行制冷.制冷率随制冷系数变化的特征曲线为回原点扭叶型曲线,这为衡量该制冷机性能提供了重要指标.尽可能减小纳米线的能级宽度会提高该制冷机的工作性能.

1 引言

根据塞贝克效应,热电装置可通过吸收热能来对外输出功率,根据珀尔帖效应,热电装置可利用电能来实现对物体的制冷.由此可以看出,热电装置在能源利用中发挥着重要的作用.然而,现有的热电装置因为效率低而不能得到广泛应用.因此,人们需要寻找新的热电材料来提高热电装置的功率和效率.随着纳米技术的发展,越来越多的纳米结构如量子点、纳米线、量子阱、超晶格等被报道[1−13].理论和实验结果表明,将低维纳米结构作为热电材料可以显著提高热电装置的热力学性能.

近年来,许多学者在三端纳米结构热电装置的热力学性能研究上取得了显著进展.与传统的双端热电装置相比,三端热电装置可以将电子流和热流分开,从而显著提高热电装置的热力学性能.例如,Chen和Zhang等[14−19]具体研究了不同能量过滤体的三端能量选择性电子器件的热力学性能.Edwards等[20,21]提出了一种基于共振隧穿的三端量子点制冷机,它可以将宏观电子库冷却到远低于室温的温度.随后,Prance等[22]通过实验证明了可以利用一个量子点制冷机对6 µm2区域内二维电子气体进行制冷.Jiang等[23−25]分析了具有两种温度梯度的三端共振隧穿量子点热电发电机的性能.Jordan等[26]则研究了基于半导体超晶格的三端热机和制冷机.Chen等[27,28]则研究了能量选择性热机和制冷机的性能.He等[29−37]研究了不同的三端热电装置,包括基于共振隧穿量子阱的三端制冷机和热机、通过光子和热能混和驱动的三端量子点热机和制冷机、基于半导体异质结的三端热机模型,并分析了各模型的性能特征和最佳性能.最近,实验上已经实现了在低温下介观系统的三端量子点热电器件[38−41],为纳米尺度多端热电器件的应用铺平了道路.

一维弹道导体是一个沿横向具有空间约束且长度较短的系统,这种较短的长度保证了弹道运输,如果纳米线[5,6,42,43]的长度保持相当短,则也可以进行弹道输运.目前,基于纳米线的三端热电器件研究还很少[36],特别是纳米线制冷机.由于纳米线横向空间约束,电子能量在两个横向方向量子化,而在传输方向具有任意能量值.因此,相比于量子点系统,纳米线制冷机应该有更大的制冷率,但制冷系数减少.另外,把许多平行纳米线组装在一起,可以形成宏观尺度的热电制冷机,为新型三端纳米线制冷机的应用提供理论依据.本文在前人工作的基础上,提出了基于一维弹道导体的三端纳米线制冷机模型.利用朗道尔方程及基本的热力学公式推导出两电子库之间电荷流和能量流的表达式,进而得出该制冷机模型的工作区间,分析其性能特征,并讨论其性能优化.

2 模型与理论分析

三端纳米线制冷机的模型如图1(a)所示,该模型是由一个中间空腔和温度为Ti(iL,R)的左/右电子库组成,中间空腔和左/右电子库通过一维的纳米线导体进行连接.中间空腔在温度为TC时与热库处于热平衡状态.同时各库的温度满足TLTR>TC.电子可以通过左/右一维纳米线导体在中间空腔和左/右电子库之间进行传输,左/右纳米线导体存在一个共振能级EL/ER.两电子库之间存在偏置电压eVµR−µL,其中µL(µR)是左(右)电子库的化学势,e是电子电荷.中间空腔的化学势µC可以通过电荷守恒定律来确定.此三端纳米线制冷机对中间热库制冷的物理过程为:在外部电压V的驱动下,电子在右库中具有在µR附近分布(Fermi分布)的能量,当某电子在Z方向上的能量分量恰好处于ER时,则该电子有一定几率从右端电子库通过右纳米线到达中间空腔,此时该电子的能量由µR减小至ER,而后从中间空腔吸收热量到达EL进而通过左纳米线到达左端电子库,最终从左电子库回到外部电源的正极完成回路.在这个过程中,由于中间空腔与中间热库要保持热平衡,所以将不断有热流从中间热库流入中间空腔从而达到了对中间热库制冷的目的.

图1 (a) 三端纳米线制冷机模型图;(b) 传输函数τi(E)作为能量 Ei 的函数Fig.1.(a) The schematic diagram of a three-terminal nanowire refrigerator;(b) transmission function τi(E) as a function of energy level Ei .

从左/右电子库到中间腔的电流Ii和能流Ji由朗道方程给出[44]

其中fi(E){exp[(E−µi)/kBTi]+1}−1(iL,R)是左/右电子库的费米-狄拉克分布函数,fC(E){exp[(E−µC)/kBTC]+1}−1是中间腔的费米-狄拉克分布函数,kB是玻尔兹曼常数,h是普朗克常数,τi(E)是一维导体的传输函数.

作为理想的一维导体,能量E可以看作是在横向尺寸上量子化的,并且不受传输方向(X方向)的限制,

其中,n是正整数,m*是电子有效质量.

为了更现实地描述一维纳米线导体,可以采用鞍点势传输函数[45],

其中,EinV0+(n−0.5)ℏωy,γℏωx/(2π),V0是电势高度,ℏωx和 ℏωy分别是纵向和横向角频率.本文讨论的热电制冷机要求 ℏωy远大于温度kBT和电压eV,并考虑将E0设置为接近电子库的化学势.因此,只有最低的能量E0在电子传输中起重要作用.因此左/右纳米线导体的传输函数可以近似为

其中γ和Ei是能级的宽度和位置,如图1(b)所示.在γ→0处,传输函数接近阶梯函数,即τi(E)Θ(E−Ei).

根据电荷守恒IL+IR0,可以确定中间腔的化学势µC.该制冷机的输入功率可以定义为

其中I≡IR−IL是通过系统的净电流.基于中间腔中的能量守恒J+JL+JR0,可以计算出从热库吸收的热流J即制冷率Q˙C的表达式为

则该制冷机的制冷系数φ的表达式为

从等式(1)—(8)可以发现,制冷率和制冷系数均是温度Ti和TC,化学势µi和µC,能级位置Ei和能级宽度γ的函数.为简单起见,引入了温差ΔTTi−TC和平均温度T(Ti+TC)/2,当电压满足eVµR−µL时,取µReV/2和µL−eV/2 .在下面的结果分析过程中,制冷率均以 2(kBT)2/h为单位.

3 性能特征分析

在制冷机的研究过程中,首先需要考虑其工作区间.给定左右纳米线的能级位置EL1.5kBT,ER−3kBT.在γ→0的情况下,制冷率随温差 ΔT和外加电压V变化的三维投影图如图2(a)所示.图2(a)中的黑色曲线表示制冷率0 的情况,可以判断曲线的左侧区域属于该制冷机的工作区间(即0,P>0).图2(b)绘制了在不同的能级宽度γ(γ0,0.5kBT,kBT)下的制冷区间,可以看出在能级宽度γ取不同值的情况下,制冷机的工作区间也会有所不同,并且随着能级宽度γ的增大相应的制冷区间会随之减小;而当能级宽度确定,温差存在一个最大值 ΔTmax,如当γ0.5kBT时,对应的 ΔTmax/T≈0.122 ;当能级宽度确定,对于不同的温差 ΔT≤ΔTmax,电压具有不同的起始值Vmin和截止电压Vmax,如当γ0.5kBT,ΔT/T0.09时,Vmin≈1.275kBT/e,Vmax≈4.235kBT/e.

图2 (a)在γ→0的情况下制冷机的工作区间;(b)当γ取不同的值时对工作区间的影响Fig.2.(a) The working region of the refrigerator in the case of γ→0 ;(b) the working regions at given different value γ.

图3 在 γ→0时(a)制冷率和(b)制冷系数随着能级位置变化的三维图;(c)—(f)分别是 γ=0.5和 γ=1 对应的制冷率和制冷系数的三维图Fig.3.Three-dimensional graphs for (a) the cooling rate and (b) the coefficient of performance varying with the energy level positions under γ→0;(c)–(f) are the three-dimensional graphs for the cooling rate and the coefficient of performance at givenγ=0.5 and γ=1,respectively.

对于给定的参数EL1.5kBT,ER−5kBT和 ΔT/T0.05,可以绘制出在不同的能级宽度γ下,制冷率和制冷系数φ与电压V的关系曲线,如图4所示.从图4(a)中可以看出,当能级宽度γ确定,随着电压V的增大,制冷率先增大后减小,呈抛物线对称分布.而从图4(b)中可以看出,当能级宽度γ确定,随着电压V的增大,制冷系数φ表现为先迅速增大后缓慢减小,这与制冷率随电压V的变化曲线不一样.图4(c)绘制了制冷率与制冷系数φ的特征曲线,从图中可以清晰地看出制冷率和制冷系数之间的特征曲线是闭环型的,这意味着在最大制冷系数下制冷率不会消失,制冷机无法在可逆状态下运行,制冷系数的最大值无法达到卡诺值TC/(Ti−TC),在这些闭合曲线中,存在两个特殊点:最大制冷率的点和最大制冷系数的点.作为制冷机,人们总是希望在获得尽可能大的制冷率的同时也获得尽量大的制冷系数,或者在获得尽可能大的制冷系数的同时也尽量提升相应的制冷率,因此该制冷机的最佳工作区间应位于-φ特征图的负斜率范围内,即

图4 (a) 制冷率关于电压的函数图像;(b) 制冷系数关于电压的函数图像;(c) 制冷机的 −φ 特征图Fig.4.(a) The cooling rate as a function of voltage;(b) the coefficient of performance as a function of voltage;(c) the characteristic curves of −φ at given different value γ.

4 优化性能分析

根据(1)—(8)式和极值条件

可通过数值计算来优化制冷率和相应的制冷系数.在不同的能级宽度γ下,分别得到优化制冷率和优化制冷率下对应的制冷系数随电压V变化的曲线图,如图5所示,其中给定参数ΔT/T0.05.从图5中看出,随着能级宽度γ的增大,优化制冷率和对应的制冷系数大致呈减小的趋势.从图5(a)中可以看出,对于一个确定的能级宽度γ,优化制冷率的大小随着电压V的增大而表现出单调递增,但递增的速率是逐渐减小,直到eV≈5kBT左右时,优化制冷率达到饱和值,而从图5(b)可以看出,对于一个确定的能级宽度γ,随着电压V的增大,优化制冷率所对应的制冷系数是先迅速增大后缓慢减小的,此时存在一个特殊的电压Vφ,使得优化制冷率所对应的制冷系数达到最大.通过图5(c)可以看出,对于一个确定的能级宽度γ,优化的左能级位置EL,opt则是随着电压的增大几乎呈线性增加,在能级宽度γ→0 的情况下,左能级位置的优化值大致满足EL,opt≈0.5eV.右能级位置的优化值则未在图中示出,其优化值是一个大的负值,即−ER,opt≫kBT.

图5 (a) 优化的制冷率随电压变化的图像;(b) 相应制冷系数随电压变化的图像;(c) 最优能级位置随电压变化的图像Fig.5.(a) The curves of the optimized cooling rate as a function of voltage;(b) the curves of the corresponding coefficient of performance as a function of voltage;(c) the curves of the optimal energy level position as a function of voltage.

在给定 ΔT/T0.05 和饱和制冷率对应的电压eV5kBT的情况下,可以绘制出优化的制冷率和所对应的制冷系数与能级宽度γ的关系曲线,如图6所示.从图6(a),(b)可以看出,优化制冷率和对应的制冷系数的大小都是随能级宽度γ的增大而逐渐减小,从图6(c)可以看出,优化下的左能级EL,opt则是随着能级宽度的增大而逐渐增大.因此为了获取优化的制冷率,应尽可能的减小能级宽度γ的值.

图6 (a) 优化的制冷率随能级宽度变化的图像;(b) 相应的制冷系数随能级宽度变化的图像;(c) 最优能级位置随能级宽度变化的图像Fig.6.(a) The curves of the optimized cooling rate as a function of the width of energy level;(b) the curves of the corresponding coefficient of performance as a function of the width of energy level;(c) the curves of the optimal position of energy level as a function of the width of energy level.

最后考虑温差 ΔT对制冷机性能的影响.为了获得最大制冷率,首先固定左右能级位置EL2.5kBT,ER−5kBT,电压eV5kBT,能级宽度γ→0.通过数值计算绘制出最大制冷率和对应的制冷系数φmax随温差 ΔT变化的关系曲线,如图7所示.由图7可以看出,最大制冷率和对应的制冷系数的大小随着温差的增大而逐渐减小,当ΔT/T≈0.166时,0,φmax→0 .通过分析制冷率和制冷系数与温差的变化关系,似乎可以得出温差越小则相应制冷机的性能越好,然而在温差ΔT0的情况下,制冷机将失去制冷的意义.因而此处引入卡诺制冷系数φCTC/(Ti−TC),将最大制冷率所对应的制冷系数除以卡诺制冷系数作为该制冷机优化的评判标准.从图7(b)中可以看出,以卡诺制冷系数为单位的制冷系数随着温差的增大表现为先增大后逐渐减小的趋势,并在ΔT/T≈0.084时达到最大值.

图7 (a) 最大制冷率随温差变化的图像;(b) 最大制冷率下的制冷系数和以卡诺制冷系数为单位的制冷系数随温差变化的图像Fig.7.(a) The curves of the maximum cooling rate as a function of the temperature difference;(b) the curves of the coefficient of performance at the maximum cooling rate and the coefficient of performance in a unit of Carnot value as a function of the temperature difference.

5 结论

本文以一维弹道导体为基础,建立了三端纳米线制冷机模型.利用朗道尔方程及基本的热力学公式推导出了两电子库电荷流和能量流的表达式,进而得出了该制冷机模型的工作区间,分析了该制冷机的性能特征,并讨论了其性能优化.结果表明:

1) 制冷机的工作区间是由各个参数共同决定,但无论各参数如何变化,制冷机都存在一个温差上限,超过这个温差该装置将不作为制冷机工作;

2) 最大制冷率和最大制冷系数在特征曲线中出现的位置是分开的,得到了衡量该制冷机性能的重要指标;

3) 对于该三端纳米线制冷机,其输出功率或制冷率在超过某一能级位置会出现饱和值;

4) 尽可能减小纳米线的能级宽度会提高制冷机的工作性能.