借助函数，让数形结合思想落地生根——以函数的教学为例

☉江苏省苏州市相城区漕湖学校 孙 影

数轴拉开了初中数形结合思想的帷幕，不等式、函数、几何图形等多个教学活动中都依赖数形结合，尤其在函数中的应用尤为突出，数形结合的函数题可谓中考压轴题的宠儿，因其更灵活，更能考查学生的综合能力，而被出题者所宠爱.笔者结合数形结合思想在函数中的应用，让学生充分体验数形结合思想的重要作用，引导学生树立攻克函数这一难关的信心.

1 运用情境，让数形结合思想“发芽”

用语言强调数形结合思想的重要性，不如创设学生感兴趣的情境，从学生看得到的问题出发，引导学生通过图形直观地表达抽象的数学问题，进而让学生体验数形结合在优化解题中所起到的重要作用，从而愿意尝试用数形结合的方式解决问题，感悟数形结合思想的重要作用，让数形结合思想慢慢发芽.

问题1：某路公交车往返于A地和B地，两地采用相同的发车时刻表.假如公交车匀速直线行驶，其从A地行驶到B地与从B地行驶到A地的时间均为60分钟，每班间隔10分钟，请问：从A地出发的公交车可以遇到几辆从B地发过来的公交车（包括出发地遇到的公交车）？

问题给出后，学生给出了几种答案.

生1：可以遇到4辆.

生2：可以遇到5辆.

生3：可以遇到6辆.

生4：可以遇到7辆.

师：很好，以前有很多数学家也同你们一样争辩过类似的问题，题目看似简单，却暗藏着巨大的秘密，解题时需要采用合理的方法.

这个题目数学家都不会？大家表示疑惑.

生5：那么后来数学家是如何解决的呢？

师：后来，其中一位数学家画了一张简单的图，大家看到图后都恍然大悟.现在请同学们也画一画，感受一下，看看问题是不是变得简单了.

设计意图：教师引入了贴近学生生活的实例，使学生对解题产生了浓厚的兴趣.在学生意见不统一时，教师没有直接回答或者让学生解释谁才是正确的，而是告诉学生曾经数学家都被难倒了，学生自然想知道数学家最终是如何攻克难关的，通过引发学生的好奇而引出数形结合思想.当学生知道数学家借助了图形后，自然也想用图形试一试，激发了探究的热情.很多问题乍看起来好像很简单，但若不能采用正确的方法，求解过程就显得很复杂，如果可以将数通过图形来转化，那么问题也就迎刃而解了.此题将公交车的运行轨迹及间隔用“形”构造，同时借助运行的时长及间隔用“数”解答，让学生感受到“数”与“形”相互依存，密不可分，从而培养学生的数形结合思想.

2 运用数学活动，让数形结合思想“生根”

在教学中，教师可以设计一些有效的数学活动，用活动渗透数形结合思想，用活动建立数形结合意识.同时，丰富的数学活动更能调动学生的积极性，激发学生探究的热情，因此更有利于数形结合思想生根.

案例1：一次函数图象的性质.

师：请同学们画出一次函数y=3x、y=3x+1、y=3x-1的图象.（在同一平面直角坐标系中绘制）

师：根据所绘制的图形，请大家交流一下，说说你们眼中的一次函数的图象有哪些性质.

生1：通过图象可知，图象为直线，同时若k的值相同、b的值不同，可以得到平行的直线.

师：说得很好，我们观察了k的值相同但b的值不同时的图象，接下来你们想探究什么样的一次函数呢？

生（齐）：k的值不同但b的值相同的图象.

师：那么大家可以自己列举出几个k的值不同但b的值相同的一次函数，分别绘制出图象，然后根据图象说出你看到的图象的特征.

问题刚一说出，学生已经迫不及待地想知道与上面有何不同.

生2：若k的值不同、b的值相同，几条线相交于一点；同时k的值越大，该直线越接近于y轴.

师：总结得很好，刚刚大家是自己举例画的图象，看看你们的图象是否也和生2说的一样.

设计意图：教师引导学生体验了k的值与b的值的不同，让学生可以直观地观察图象，从而总结出一次函数的图象的性质.学生共同参与、共同体验，激发了探究热情.接下来，学生可以从象限的角度，分析k的值和b的值为正负数时图象的变化，进一步总结归纳一次函数的图象的性质.这样采用师生互动的教学模式，通过动手实验观察并总结图象的规律，激发了学生对函数图象探究的热情，同时使数形结合思想生根.

3 应用知识间的联系，让数形结合思想“开花”

教学中，不能将知识点孤立出来，而应重视各知识间的联系，例如，我们解二次函数问题时，可能会用到一次函数的性质，我们在解函数时会用到方程的知识，因此，学习中必须重视各知识点间的联系，只有这样，才能利用已有经验或已有知识解决问题.

例如，函数y1=x+2与y2=的图象如图1所示，其交点为点A（1，3）、B（-3，-1）.

图1

（1）若使y1＞y2，x取何值？

（2）若使y1y2＞0，x取何值？

分析：如果直接根据不等式求解，可将y1＞y2转化为，y1y2＞0转化为，思路简单，然而根据初中阶段已学知识，还不能直接求出x的取值范围，因此需要借助函数的图象.

（1）根据图形，若y1＞y2，则y1的图象在y2的图象的上方，则可得x＞1或-3＜x＜0.

（2）若y1y2＞0，则y1与y2同号，根据图形可得x＞0或x＜-2.

在此题的求解过程中，完美地诠释了用“形”可以更直接地表达“数”，通过“数”与“形”的结合，轻松地解决了问题.

又如，证明方程（x-m）（x+n）=1必有两个实根，且x1＞m，x2＜m.

若根据常规思路将其转化为一元二次方程，通过根的判别式的大小判断实根的个数，再求解与m比较大小，这样做显然十分困难，如果结合图形，也许会收获意外惊喜.

解析：设y=（x-m）（x+n）-1.根据二次函数的性质，二次项系数大于0，因此开口向上.当x=m时，y=-1，则点（m，-1）在x轴的下方.根据分析模拟函数的图象（如图2），设抛物线与x轴的交点为点A（x1，0）、B（x2，0），A、B两点在点（m，-1）两侧，因此，x2＜m＜x1，且x1、x2为方程（x-m）（x+n）=1的解.

图2

本题巧妙地将一元二次函数与一元二次方程相关联，利用一元二次函数的图象的性质，构造了图2.图象构造后，借助图象分析证明要素，达到以形助数的目的，将形的直观与数的严谨相融合，让数形结合思想开出绚丽的花.

4 通过解决实际问题，让数形结合思想“结果”

通过数形结合解决实际问题，培养学生通过形分析问题，通过数解决问题的能力，从而感受数形结合之奇，让数形结合思想结出硕果.

例如，花园中有个圆形的喷水池，喷水池中间有个喷水柱正在喷水，水流从柱子顶端朝各个方向喷出，形成了一条条形状相同的抛物线，抛物线的图象如图3所示，假设点A为水柱的顶端，点B为最高点，水流在点C落入水池，假设水流高度y（米）与水平距离x（米）满足的函数关系式为.

图3

（1）求柱子OA的高度；

（2）求水流喷出的最大高度；

（3）若保证水流不喷到水池外，则圆形喷水池的最小半径为多少？

解析：在解第（1）问时，根据函数的图象可以清晰地了解，OA的高度即当x=0时的纵坐标，即得出点A的坐标为），OA的高度为1.25米.第（2）问即求函数的顶点的坐标，将函数转化为顶点式，得，由此可得水流最高可喷2.25米.第（3）问求解水池的半径，也就是求解一元二次方程-x2+的根，将形转化为数，求得点C的坐标为（2.5，0），所以水池的半径至少应为2.5米.

如何将生活中的问题转化为数学问题是解决本题的关键点，也是难点，通过对图象的分析，将几何图形转化为熟悉的代数问题，成功转化后，求解也变得轻松了.

函数是初中教学的重点和难点，大多数学生会因其抽象和难懂而产生畏难心理，要改变这一现状，教师就要不断渗透和强化数形结合思想，让学生体验形与数结合在解决问题中的应用，从而建立和发展学生的数形结合思想.同时，多借助生活中的问题，让学生在解决问题中体会学以致用，激发潜能.