圆锥形容器的奥秘

张新维

我们知道，平面图形与立体图形之间有着千丝万缕的联系，比如在学习圆柱和圆锥的时候，我们就“通过长方形、三角形的旋转”来“制造”圆柱和圆锥。利用这些联系，我们来寻找圆锥体积的奥秘。

首先，我们制作一个直角三角形，然后通过折叠来发现其中的秘密。

图中，E、D分别是三角形一条直角边和斜边的中点，F是底边的中点，最后的那个图中，四个小三角形应该是一样大，所以ED=BF=FC，即ED是BC的一半。这个结论在数学上被称为“中位线定理”，即：连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边边长的一半。

了解了这个定理，我们再来看看三角形旋转之后形成的圆锥存在什么样的奥秘。

如图，一个圆锥形容器中有1升水，水面高度正好是圆锥高度的一半。这个容器还能装多少升水？

读完题目，你一定会说：什么？就告诉一个数量就让我们来解答？这也太难为人了吧！

是的，虽然只有一个数量，但是还有另一个条件“水面高度正好是圆锥高度的一半”。如果你记住了三角形“中位线”的有关知识，并且还想到三角形旋转后可以形成一个圆锥形，那么这个问题就很简单了。

设小圆锥的高是h，底面半径是r，则大圆锥的高就是2h，底面半径是2r。

小圆锥的体积是：π×r×h×1/3=1/3πrh，

大圆锥的体积是：π×（2r）2×2h×1/3=8/3πrh，

两相比较，大圆锥的体积是小圆锥体积的8倍，也就是说大圆锥能装8升水，所以这个容器还能装7升水。

以后，再有人问你这样的问题，聪明的你，是不是就能立刻答出來了？