“数形结合”提升初中学生的高阶思维能力

姚明嘉

（晋江市侨声中学，福建 泉州）

“数形结合”是重要的数学思想，是学生分析问题、解决问题的重要抓手。在教学的过程中，教师要培养学生“数形结合”的思想，进而提升他们的思维能力，尤其是高阶思维能力。也就是说借助“数形结合”的思想，进一步引发学生思维的参与，进而进一步提升他们思维的品质。数学是思维的体操，“数形结合”能让这段“体操”呈现“优美的舞姿”。

一、以“数形结合”培养分析性思维能力

“数形结合”就是将数与形融合起来，以让两者顺利地转化，进而促成问题的解决。在“数形结合”中，学生首先要对“数”进行精准刻画，其次以“形”的方式直观、形象地展现出来。换言之，在解题的过程中，学生利用数与形之间的对应关系,实现两者间的灵活转化，进而提升解决问题的能力。在指导“数形结合”时，教师要引导学生去分析、评价、综合，进而培养他们的分析性思维能力、实践性思维能力和创造性思维能力等高阶思维能力，同时也借助思维能力的发展使“数形结合”得以实现。对于“数形结合”思想的运用，教师首先要引导学生分析题目，要从题目中找寻有关数与形转化的信息。也就是在运用这一思想时，教师要培养学生的分析能力，要让他们从中找到数形结合的点，找到结合的条件。要形成一定的分析能力，教师首先要引导学生学会读题，就是要读懂已知条件，即要能将已知条件中涉及“数”的往“形”上去转化；将涉及“形”的往“数”上去转化。其次要能读懂结论，要能读懂这样的结论通常要运用怎样的方法解决，在该题中与条件相对接，有没有更好的解决方法。再次要形成一定的分析能力，学生就要将遇到的题目放到一类题目中去比较，既要发现题目的一般性，也要发现题目的独特性。

以下题为例，直线y=bx+c 与抛物线y=ax2相交，两交点的横坐标分别为x1、x2，直线y=bx+c 与x 轴的交点的横坐标为x3，求证教师首先让学生读题，让他们分析这类题目属于什么样的问题，通常用什么样的方法来做。学生根据题目条件中的“直线”与“抛物线”等关键词分析出本题是研究抛物线和直线相交的相关问题，这样的题目一般都是将“数”转化为“形”来思考。因此，教师就让学生沿这个方向去思考。但是学生在操作的过程中发现这样的问题，一般地要确定抛物线和直线在坐标系中的位置，就要确定a、b、c 的符号，但是题目中没有给出相关的信息。基于这样的思考，他们做出这样的分析，要么考虑将a、b、c 进行分类讨论，要么想一想能不能将问题代数化，将“形”转化为“数”，即看成有关方程的问题来解决。再逐步往下分析，他们发现就a、b、c 比较麻烦，因为涉及三个数字，涉及多种情况；他们就分析能不能运用将“形”转化为“数”的思路。学生是这样分析的，他们先设直线y=bx+c 与x 轴的交点的横坐标为x3，所以就有。他们再对条件“直线y=bx+c 与抛物线y=ax2两交点的横坐标分别为 x1、x2”做如下分析，因为 x1、x2为关于 x 的一元二次方程ax2-bx-c=0 的两个不等实根，所以，经过转化变为在学习的过程中，当学生遇到一些似曾相识的问题时，教师先要引导他们分析，而不是盲目地做题。学生首先要分析的就是大的方面而不是解题的具体细节，就该题而言，学生首先要分析运用什么样的思想解题。接着再分析在运用这一思想时会出现什么样的问题，要经过怎样的转化。可见在教学中教师要以“数形结合”培养学生的分析能力，要能让学生在运用这一思想的过程中提升分析水平。

二、以“数形结合”培养想象性思维能力

初中数学以抽象思维为主，这也是初中数学学习的难点。许多学生数学能力不强，其中一个主要的原因就是缺乏抽象思维能力。其实初中学生的抽象能力尽管在多年的数学学习中获得了发展，但是他们还是以形象思维为主，他们思考问题还是以形象思维见长。因此，在数学教学过程中教师就要顺应学生的这一特点，将抽象思维转为形象思维，进一步促进他们形象思维的发展。“数形结合”思想的运用能很好地促进学生思维的转化，他们可有效地将抽象的“数”以具体、形象、生动的“形”展示出来。有了“形”，学生的形象思维就有了着力点，思维的火花就容易迸发出来。对着“形”，学生更容易将条件运用起来，更容易将新旧认知结合起来，也更容易发现条件与结论之间过渡的具体的图形。

三、以“数形结合”培养实践性思维能力

“数形结合”思想的运用也能进一步培养学生的实践性思维能力。实践性思维在本质上是“抽象思维”与“操作思维”相结合的产物，它要求学生既要在具体的细节中思考，又需要跳出细节进行相应的理性思考。换言之，实践思维就是学生在原先操作基础上的新的提升，进而以理性的方式表达出来。数与形的结合其实就是学生展开的一次操作活动，是学生将题目中的“数”以“形”的形式呈现出来，这个操作过程就是将抽象数字转为具象图形。接着学生再由具象的图形进行一些结论性的思考。在思考中学生充分运用“数形结合”的思想，又充分迸发实践性思维。

以下题为例，若设张同学每月的家务劳动时间为x小时，该月可得（即下月他可获得）的总费为y 元，则y（元）和x（小时）之间的函数图象如图2 所示。

教师先是让学生也将这样的图形画出来，以让他们体验一下x 与y 之间的关系。接着教师让学生通过观察这个图象提一些问题，也就是说，要培养他们的数形结合能力和基本的读图能力，这里教师先是培养他们借助图形发现问题的能力。学生先问出这样的问题：根据图象能不能看出张同学每月的基本生活费？根据图象的变化能不能看出她的父母是如何奖励小强劳动的？学生由y 表示的含义，再从具体的图象中很清晰地看出张同学每月的基本生活费为150 元。同时他们将目光转移到x轴上，他们发现如果张同学每月做家务的时间不超过20 小时，每小时获得的奖励是2.5 元；如果张同学每月做家务的时间超过了20 小时，那么20 小时的奖励就按每小时2.5 元，超过的部分按每小时4 元奖励。学生问出的第二个问题就是：能不能写出当0≤x≤20 时，y 与x 之间的函数关系式？学生通过观察图象发现当0≤x≤20 时，图2 在本质上就是一个一次函数图象。他们就想到了求一次函数的一般方式，即设y 与x 之间的函数关系式为 y=kx+b。同时学生发现（0，150），（20，200）在该函数上，所以就有y=2.5x+150。在学生将数形结合起来的同时，教师基于学生的提问提出这样的问题：假如你们的父母也是按照这样的方式对你们的劳动进行奖励，你们希望会是怎样的结果，能不能先用语言表述出来，再以图象显现出来？教师的这一问就是进一步将“数形结合”的思想运用于学生的生活实际，也是进一步提升他们的实践思维能力。

四、以“数形结合”培养创造性思维能力

将“数形结合”思想运用于解题进而提升学生的数学素养，这本身就是一次创造，就是学生创造性解决问题的过程。就题目本身来说，大多数题目并没有写明运用什么样的思想来解决，只是学生在解题的实践中主动地选择最适合解决问题的思想。这个选择的过程其实就是他们展现创造性思维的过程。运用创造性思维解题就是学生独立地想出解决问题的新方法，不再局限于一般的解题思路。“数学结合”能培养学生的创造性思维，能为学生解决问题开辟新的路径。一般地，学生在思考问题时会沿着一个既定的方向逐步地推进，“数学结合”给学生在推进的过程中提供一个新的支架，进而使思维由原先的山重水复转为柳暗花明。换言之，“数形结合”让创造性思维在课堂上生根。

以下题为例，在3 张相同的小纸条上分别标上1、2、3 这3 个号码，做成3 支签，放在一个不透明的盒子中。搅匀后从中随机抽出1 支签，抽到1 号签的概率是多少。学生先是自己做3 个不同的纸签，将其放入文具盒中，再随意地抽取，他们发现共有3 种可能出现的结果，其中“抽到1 号”的有1 种，进而他们推断“抽到1号”的概率为。学生的这一做法其实就是将题目中的“数”与生活中的“形”结合起来，在真实的场景中实现数与形的转化。对学生来说，他们做签的过程就是他们创造性思维展示的过程，就是他们创造性地在“形”中找寻“数”上面的突破。教师再提出第二问，搅匀后先从中随机抽出1 支签，这签不再放回；再从余下的2 支签中随机抽出1 支签，求抽到的2 支签上签号的和为奇数的概率是多少。这一问的难度就在于学生如何简化文字表述，也就是如何将文字以形象的方式展示出来，以让他们一目了然地看出文字中所蕴含的信息。他们想到了“数形结合”，即借助这一思想实现问题的简化。学生想到用列表法将可能出现的结果显现出来，如下表。

1 2 3 1 3 4 2 3 5第1 次第2 次3 4 5

对于上表，学生再用语言将图表的信息表述出来，以做到以“形”验证“数”，进而达到“数”与“形”的高度统一。当图形画好之后，6 种可能出现的结果就一览无遗地呈现出来。学生再对照条件“和为奇数”，发现这样的情况是 4 种，于是他们运用概率的公式求得最后的结果。解决第二问的关键点在于学生要知道运用“数形结合”的思想来简化问题，进而实现思维的发展。学生在运用这一思想的同时也提升了他们的创造性思维，他们能多维度地思考问题，体现出思维的独创性。

五、结语

总之，在数学教学的过程中，教师要引导学生通过“数形结合”法将实际问题中的数据借助图形呈现出来，以实现想象性、抽象性与逻辑性的融合，这也能更容易地引发学生思维火花的迸发，进而有助于他们解决实际问题。当学生养成以“数形结合”的思想和方法进行数学问题的探究与解决时，他们的逻辑思维能力、形象思维能力、推理思维能力等才能得到不断提升，进而才能促成问题的最终解决。一言以蔽之，“数形结合”思想在初中数学课堂中的运用拓展了学生的思维空间，提升了他们的数学思维能力，同时也提升了课堂教学质量，促进了学生认知的内化。