时滞忆阻神经网络在反馈控制下的指数同步

王梦梦, 周小涛, 李露露

(合肥工业大学 数学学院,安徽 合肥 230601)

忆阻器与电阻、电容和电感被一同视为第四基本电路元件[1],惠普实验室团队于2008年成功制造出忆阻器的原型[2]。到目前为止,越来越多的研究结果表明,忆阻神经网络在关联记忆、信号处理等领域都有很好的应用。因此,与忆阻神经网络有关的动态行为值得进一步研究。

在过去的几十年里,同步即系统的动态行为趋于同一状态,它在安全通信和图像处理等领域都有许多应用。迄今为止,已有多种忆阻神经网络的同步行为被研究,如投影同步[3]、滞后同步和有限时间同步[4],而指数同步在实际中应用非常普遍。例如,文献[5]给出具有时滞的耦合忆阻神经网络在不受外部控制的情况下达到指数同步的充分条件;文献[6]利用比较原理和线性矩阵不等式,得到一类混合时滞参数不确定性混沌忆阻神经网络指数同步的充分条件。

另外,实际神经网络系统中,节点之间不可避免地存在信号传输延迟,因此在对忆阻神经网络进行同步分析时,时滞的影响不可忽略[7]。

基于上述讨论,本文研究时滞不连续忆阻神经网络系统的指数同步问题,并通过设计反馈控制,使主从系统达到同步,具体如下:

(1) 根据忆阻网络的切换特性和激活函数的不连续性,设计一个新的反馈控制器。

(2) 基于李雅普诺夫函数稳定性理论,构建相应的李雅普诺夫函数,利用Halanay不等式,给出驱动-响应系统达到指数同步的判据。

1 预备知识

本节给出文中常用的记号,并介绍有关忆阻神经网络同步的一些基本定义和涉及到的引理。

1.1 常用记号

1.2 有关定义和引理

H1 对j=1,2,…,N,激活函数fj(·)满足下列条件:

引理1(Halanay不等式) 若对t∈(-∞,+∞),连续函数u(t)≥0满足

t≥t0且ξ>ζ>0,

则

其中,θ为方程θ+ζeθτ-ξ=0的唯一正解[9]。

引理2[10]设H1成立,若fj(±Tj)=0,j=1,2,…,N,则

BijLj‖yj(t)-xj(t)‖,

CijLj‖yj(t-τ(t))-xj(t-τ(t))‖,

2 模型的建立和分析

本文考虑一个更一般的时滞忆阻神经网络模型,具体如下:

(1)

其中:xi(t)∈Rn为t时刻第i个神经元的状态;ai>0为第i个神经元在断开网络连接后电位重置到静息状态的速率;fi(·)为激活函数;Ji为第i个神经元上的外部输入;τ(t)为满足条件0≤τ(t)≤τ的时间延迟;xi(s)=Φi(s),s∈[-τ,0]为系统(1)的初始条件;bij(·)为xj(t)和激活函数fj(xj(t))之间的忆阻权重;cij(·)为xj(t)和激活函数fj(xj(t-τ(t)))之间的忆阻权重。

由忆阻器的电流电压滞后效应,得到忆阻器的数学模型如下:

其中:bij′、bij″、cij′、cij″均为已知常数;Γ为临界阈值。

根据文献[11-12]中集值映射和Filippov的定义,具有初始条件的方程(1)在Filippov意义下的解xi(t) (t≥0)满足以下微分包含:

(2)

其中

将系统(1)视为主系统,则从系统定义为：

(3)

基于Filippov的解以及微分包含的定义,系统(3)可写为:

(4)

其中

yi(s)=Θi(s),s∈[-τ, 0]是系统(3)的初始条件;ui(t)是需要设计的控制器。

3 主要结果

令误差系统为ei(t)=yi(t)-xi(t),设计的反馈控制器为:

ui(t)=-γiei(t)-ηisgn{ei(t)}‖ei(t-τ(t))‖

(5)

其中:i∈N;γi、ηi分别表示不带延迟和带延迟的正常数控制强度。在控制器(5)的作用下,误差系统变为如下形式:

γiei(t)-ηisgn{ei(t)}‖ei(t-τ(t))‖

(6)

误差系统对应的初始条件为:

Ψi(s)=Θi(s)-Φi(s)∈

C([-τ, 0],Rn),i∈N。

定理1 若H1成立且存在正常数ai、γi、ηi和Lj(j∈N),使ξ>ζ>0成立,则主从系统(1)和(3)达到指数同步,其中

γi‖ei(t)‖-ηi‖ei(t-τ(t))‖]≤

‖fj(yj(t-τ(t)))-fj(xj(t-τ(t)))‖-

于是

(7)

由(7)式和引理1可得:

V(t)≤Ge-θ(t-t0),t≥t0

(8)

文献[13-14]设计的控制器与其第i个神经元本身状态相关的同时,也与其他神经元之前的状态相关,从而使其理论结果与实际应用产生偏差,而本文设计的具有时延的控制器在一定程度上克服了这个困难。

4 数值模拟

由此可知,Bij=0.45,Cij=0.01。令ai=0.5,γi=ηi=0.01,Lj=1,经过简单的计算,可得:ξ=0.41,ζ=0.19,即满足条件ξ>ζ>0。

无控制器作用下主从系统的状态轨迹如图1所示,反馈控制器作用下误差系统的状态明显趋于同步，如图2所示。这说明主从系统达到了指数同步,验证了定理1的有效性。图1、图2中，节点数为20。

图1 系统在无控制器下的误差轨迹

图2 系统在反馈控制器下的误差轨迹

5 结 论

本文利用Halanay不等式和放缩技巧研究具有时滞忆阻神经网络指数同步的性质,根据理论推导,得到有效的指数同步依据。最后,由数值算例说明理论结果的有效性。