初等数论融入课程思政的教学路径研究

□蒋红梅

一、引言

习近平总书记在全国高校思想政治工作会议[1]和学校思想政治理论课教师座谈会[2]的讲话不仅强调教育是思政课的责任，也是各类课程的责任，并提出思想教育的总体要求，要求每位教师树立“立德树人”[1]意识，结合课程教学有机融入思想政治教育元素，使“各类课程与思想政治理论课同向同行，形成协同效应”[1]，充分发挥每门课的育人功能，每位教师的育人职能，达到学生“增强中国特色社会主义道路自信、理论自信、制度自信、文化自信，厚植爱国主义情怀”[2]的要求，实现“教育强则国家强”[1]的强国梦。各高校积极响应习近平总书记的号召，如火如荼地开展“课程思政”的教学改革研究，但高校的课程教学中因学科不同，课程思政实施的难度也不同。

初等数论课程是高等院校数学与应用数学专业的复合选修课程，一般开设在大学三年级，主要研究整数的性质和方程的整数解，是研究整数性质的一门很古老的数学分支。初等数论课程中蕴含着丰富的数学故事、数学思想与数学文化，与中小学数学内容有一定联系，比如带余数的除法、质数与合数、最大公因数、整数的整除特征、勾股数、百鸡问题等。初等数论属于自然科学中的数学课程，数学基础类课程关于课程思政的教学改革较多，比如高等数学、数学分析、线性代数等，数学复合课程在课程思政方面的教学研究较少，以初等数论为例，虽有教学改革见诸文献[3～7]，但课程思政方面的研究尚未深入。在初等数论课程中融入课程思政，要结合专业培养方案明确培养什么人，还要结合课程教学目标和教学内容，积累思政素材，寻找思政课程与初等数论课程的结合点。由于笔者学校选修初等数论课程的学生是从事中小学教师，因此本文主要从融入的内容、层次及方式三个方面研究初等数论课程教学中融入课程思政的教学路径。

二、初等数论课程思政融入内容

通过研读教材和深入挖掘思政内容，从数学与哲学、数学与美学、数学与史学、数学与文学四个方面系统整理初等数论课程中蕴含的思政教育资源及其核心内容。

(一)结合数学与哲学，挖掘思政元素。数学是研究数量关系、空间结构、运算等内容的一门基础理论学科，遵循客观，讲究严谨，应用广泛。而哲学是世界观和方法论的统一，任何学科的发展都离不开哲学的指导，数学也不例外，因此数学的知识、发展历史、推理等都体现了唯物论和辩证法的哲学思想。初等数论是一门十分重要的数学课程，蕴含着丰富的哲学思想，体现了对立与统一、普遍联系原理、否定与肯定、质量互变规律。

有限和无限是物质世界中的一对矛盾，是物质运动中表现的辩证关系，二者既对立又统一，无限可由有限构成，有限也可由无限构成。在初等数论中，正整数集是一个有无限个正整数元素的集合，引入同余的概念后，可以将余数相同的数放在一起，这样就产生了剩余类，剩余类是一个集合，剩余类中任一数是它同类的数的剩余，都可以作为这个剩余类的代表。模m的剩余类是有限的，共有m个，但每一个剩余类中的元素是无限的，体现有限的剩余类又是由无限个元素组成。按模m的剩余类分类，正整数集可以分成m个剩余类，有限的模m的剩余类就构成有无限个元素的正整数集,体现无限由有限构成。

普遍联系原理认为整体是由部分构成，离开了部分，整体就不复存在；部分是整体中的部分，部分离开整体就没有了价值。在初等数论中，正整数集由m个模m的剩余类构成，从模m的每一个剩余类中取一个元素组成模m的一个完全剩余系，模m的完全剩余系是正整数集的部分元素，模m的完全剩余系是不唯一的，两两对模m不同余的m个整数都可作为模m的一个完全剩余系。比如，0,1,…,m-1；1,…,m-1,m；0,m+1,…,am+a,…,(m-1)m+m-1均是模m的完全剩余系，均是正整数集的部分元素，但每一组数均是从模m的每一个剩余类中取一个元素组成。因此，通过模m的一个完全剩余系可以进一步地深入研究正整数集的性质，模m的一个完全剩余系离开了正整数集，它也只是一组有限的整数，而无价值。

哲学中，否定与肯定既对立又统一，任何事物肯定自己就是否定自己是其它事物，否定某个事物，就是肯定与它对立的某个事物。在初等数论中，定理的证明过程蕴含了丰富的否定与肯定的思想。例如:采用反证法证明定理“质数的个数是无穷的”[8]时，首先否定结论，假设正整数中只有有限个质数，设质数为p1,p2…pk.令p1,p2…pk+1=N，则N>1.由定理1[8]知N有一质因数p.这里p≠pi，i=1,2,…k.否则p|p1p2…pk，又因为p|N,因此p|1，这是不可能的，与p是质数矛盾。故p是前面k个质数以外的质数，因此质数的个数是无穷的。这就是一个由否定到肯定的典型例子。

哲学中的质量互变规律认为，量变和质变是事物发展变化的两种基本形式，量变是质变的必要准备，质变是量变的必然结果，量变引起质变，在新质的基础上，质变的发生将会引起新的量变，体现了事物渐进性和飞跃性的统一。初等数论中蕴含着丰富的量变与质变的哲学思想。例如，在求解多元一次不定方程

通过初等数论中的剩余类、完全剩余系、定理证明、求解多元一次不定方程等挖掘思想政治元素，把哲学观点引入教学，对学生开展辨证唯物主义思想教育，为学生树立正确的世界观奠定基础。

(二)结合数学与美学，挖掘思政元素。数学可以用简洁的、漂亮的定理和公式等描述世界的本质，揭示自然界和人类社会内在的规律。在初等数论中，连分数是重要的研究内容，与黄金比、斐波拉契数列、黄金分割等存在紧密联系，无论从形式还是内涵都拥有无穷的魅力，可以激发学生探索真理的欲望。例如，连分数是一个分母上有无穷多个“1”的繁分数，形如

其形式简单，结构优美，规律可循，连分数的近似值逐次为

黄金比是黄金矩形的宽长之比，黄金比经过反复迭代后可化为连分数，即

因此，黄金比的值可以写成连分数的近似值构成的数列，即

(三)结合数学与史学，挖掘思政元素。

1.介绍我国数学家的卓越贡献，增强学生的爱国主义精神和文化自信。中国是四大文明古国之一，历史文化悠久，在数学领域上贡献卓越，成就辉煌，通过介绍我国科学家的突出贡献，发掘其中蕴含的家国情怀，增强学生的爱国精神，增强中国文化的自豪感和认同感。例如，在讲解一次同余方程组时引入公元3世纪前我国的《孙子算经》的“物不知数”问题，并介绍我国数学家孙子求解一次同余方程组的方法，再介绍南宋时期数学家秦九韶在他的《数书九章》中提出了“物不知数”问题的一般求解方法——“大衍求一术”，此法与孙子的算法完全一致，在国外文献称此定理为“中国剩余定理”。《数书九章》中提出的“中国剩余定理”比高斯所用的同类方法早约500年，展示中国古代数学的辉煌成就，由此增强学生的民族自豪感和爱国主义精神，激励学生为实现中国梦而努力学习，通过课堂教学培育和弘扬社会主义核心价值观——“爱国”。

例如，讲绪论时，介绍我国近代著名数学家华罗庚、柯召、闵嗣鹤、陈景润等在数论方面的成就，一方面介绍我国数学家华罗庚先生放弃美国的优厚待遇，投身祖国的怀抱，一生致力于数学研究和发展，为建设祖国付出了毕生精力，体现了科学家们的家国情怀；另一方面介绍著名数学家陈景润在哥德巴赫猜想问题上证明了“1+2=3”的理论，取得国际领先的成果，震惊了国际数学界，这是我国数学史上一个光辉的里程碑，也是中国对世界数学研究做出的巨大贡献，至今陈氏定理仍是解析数论的名作，从而增强学生们的文化自信。

2.介绍数论的发展历程，鼓励学生质疑创新，激发锲而不舍的钻研精神。数论是研究整数性质的一门很古老的数学分支,数论分为初等数论、解析数论、代数数论、几何数论。通过介绍数论的发展史，结合科学家们的人文精神进行思政教育。比如，古希腊时代，欧几里得的《几何原本》中已出现初等数论的大部分内容，包括算术基本定理、素数有无穷多个、辗转相除法等重要结论；丢番图的《算术》中讨论了300多个数论问题。我国古代在数论方面亦有杰出之贡献，比如《周髀算经》记载了西周人商高的“勾三股四玄五”论断，给出商高方程的一组解，《九章算术》给出了另外四组解；《孙子算经》中提出“物不知数”问题及一次同余方程组的解法。近代，初等数论的发展离不开无数中外数学家的终生奋斗，例如费马、欧拉、拉格朗日、勒让德、高斯、华罗庚、闵嗣鹤、陈景润、严士健等，辉煌成就的背后是科学家们执着追求真理的道路上不怕困难、全心钻研、勤奋工作、敢于创新精神的集中体现。历史上，数学的发展有顺利也有曲折，每一次数学危机将引发数学的思想解放，大大推动数学科学的发展。为了解决数学问题，不少数学家质疑存疑、敢于创新，无论是数论理论的发现还是猜想的证明都饱含着无数数学家的一生心血，从而培养学生敢于质疑、甘于奉献的精神。

例如，在介绍素数时，不仅要介绍素数的性质，还要介绍关于素数的重要猜想，从2,300多年前欧几里得的《几何原本》给出了“素数有无穷多个”的证明，到1937年证明了“每个大于7的奇数是三个奇素数之和”的猜想，而对于“每个大于4的偶数是两个奇素数之和”这一著名的“哥德巴赫猜想”，虽然著名数学家陈景润、王元、潘承洞等在哥德巴赫猜想问题上取得国际领先的成果，但仍然未完全证明。素数几千年的发展历程告诉我们，任何事情不一定做了就成功，有时需要经历长期甚至几代人的不断努力才有可能实现，在这个过程中只有不忘初心，方得始终，激发学生锲而不舍的钻研精神。

3.介绍数论问题的解决过程，鼓励学生脚踏实地，增强探索真理的科学精神。在解决数论问题的方法中常常蕴含一些人生哲理。比如，求解多元一次不定方程时，必须先学会求解二元一次不定方程，再求解多元一次不定方程，将求解多元一次不定方程转化为求解二元一次不定方程组，将未知问题转化为可以解决的问题。合数模的高次同余式的求解是比较难的知识，将合数模的高次同余式转化为两两互质的模的同余式，问题就迎刃而解。由此引导学生在以后的生活和职场上，遇到难题要懂得变通，做人做事一定要脚踏实地，不断总结经验，切勿眼高手低，投机取巧，不然将功亏一篑。

比如，介绍合数分解成质因数的积时，一个很大的正整数a很难较快地找到素数b和c使到a=b×c，这样的困难却给密码通讯提供了思路。在造密码时可以把a公开，但b、c对外保密，只有“我方”了解。“敌方”只知道a和密文，就无法了解密文的意思。网络信息安全中的RSA加密就和素数的这个应用息息相关，由此引导学生思考问题不能局限于眼前，现在看似没什么用的研究将来可能大有用处，现在学的有些理论看似与专业没有太多的直接联系，但一些理论的潜在价值在于人类的挖掘，引导用心学习，增强大胆探索真理的科学精神。

(四)结合数学与文学，挖掘思政元素。中国诗词源远流长，文化内涵丰富，既寄情思物又可表达数学问题，体现中国文化的博大精深,增强学生的文化自信。比如，在讲解孙子定理时介绍我国的数学命题以诗词形式呈现，比如“物不知数”问题：今有物而不知其数，三三数之剩二；五五数之剩三；七七数之剩二，问物几何？答：二十又三[8].我国明代数学家程大位在1593年的《算法统宗》一书中用歌诀形式给出了其解法:“三人同行七十稀,五树梅花廿一枝.七子团圆正月半,除百零五便得知.”[9]诗词简洁明了，解答过程表述清楚。用数学语言表述为：x≡2(mod3),x≡3(mod5),x≡2(mod7)，根据孙子定理知：

比如，介绍不定方程时可以引入我国北魏时期数学家张丘建的“百鸡术”：“鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一。百钱买百鸡，问鸡翁母雏各几何？”[10]，在《张丘建算经》中给出了此问题的解答。“百鸡术”是世界著名的不定方程问题，三世纪初的希腊数学家丢番图也研究此类方程，不定方程也称为丢番图方程。由此让学生了解中国数学在国际数学的发展中的不朽成绩，增强学生的民族自豪感。

三、初等数论课程思政的融入层次

教师在教学中开展课程思政时，不仅涉及教学内容，也涉及到教师本人，教师是思政教育的关键。初等数论融入课程思政时需要从教学内容、教师这2个层次考虑。一方面，通过初等数论课程中的数学家的故事、数论概念、定理的证明、数论的解题方法等方面从哲学理论、科学精神、人文精神、人生哲学、社会主义核心价值观、文化自信、教师职业道德等方面进行课程思政；另一方面，教师本身就是学生思想的引领者和知识的传播者，教师不仅要通过课堂平台传道授业，更要通过教师的言谈举止、仪表仪态、人格魅力无形地影响学生，事事以身作则，处处言传身教，培养学生的专业意识、职业道德、教学设计、逻辑思维、语言表达、信息处理等基本能力，增强学生对教师职业的了解。比如，教师平时上课不迟到不拖堂，对待学生一视同仁，衣着整洁得体，讲解时思路清晰，语言表达清晰等方面都是对学生进行课程思政的良好案例。

四、初等数论课程思政融入方式

初等数论课程不同于思想政治课程，课程本身有一定的教学内容和教学要求，教师在课堂教学中育人时,采用以渗透为主的融入方式，主要以课程知识为主,教学中采用以数学推理、数学问题、数学故事、多学科应用等方式开展适当的思政教育，注重循循善诱,以理服人，做到“润物细无声”,避免生搬硬套，流于形式，使学生在学习知识的同时,树立正确的人生观和价值观，达到传授知识与立德树人并行。

在初等数论课程中融入课程思政时要注意以下几点。一是切忌“本末倒置”。初等数论的教学内容较多较难，每堂课的教学信息量很多，理论易学但题目难做，技巧性强，对大多数学生来说是一门具有一定难度的复合课程。在教学过程中，教师如果减少教学内容的讲解，而在思想政治教育上花费太多时间，不但不能完成教学任务，而且也不能达到思政教育的目的。二是学高为师身正为范。平时，教师个人应该通过各种形式积极学习政治理论，提高思想政治水平，加强自我的道德修养，主动关心国家大事，真心关爱学生，结合辩证唯物观点处理教材知识，增强数学文化方面的知识，将数学的严谨美、和谐美融入课堂，对学生进行美育，陶冶学生的情操。三是适度地思政教育。初等数论的所有章节不需要都挖掘思政要素，教学时要注重掌握好进行思政教育的时机，切忌生拉硬扯，搞形式主义。

五、结语

以初等数论为例，从融入课程思政的内容、层次、方式三方面探索课程教学中如何挖掘思政教育元素及注意事项，但在实际的教学过程中，不仅内容上要相辅相成，而且还要重视教学设计，恰当的教学过程是实施课程思政的重要环节。