古希腊文明、现代数学与音乐的多重碰撞——浅析泽纳基斯大提琴独奏曲《诺莫斯-阿尔法》

陈晶霞

伊恩尼斯·泽纳基斯(也译为希纳基斯，Iannis Xenakis,1922—2001)于1966年创作的大提琴独奏曲《诺莫斯-阿尔法》《Nomos Alpha》，是一部极为复杂的音乐作品，对演奏者来说是如此，对想进一步分析和理解泽纳基斯音乐作品的创作技法和文化内涵的学者来说更是如此。这不仅是因为这首作品本身给人时而轰轰烈烈、时而混混沌沌的印象，而且作品中充斥着各种不同的矛盾，种种难懂的术语、音乐的内在逻辑和神秘主义观念，都成为理解作品的障碍。同时，还由于作曲家本身的特殊性，作为音乐历史上少有的集作曲家、音乐理论家和建筑师多种职业为一体的人物，他在梅西安[1](Olivier Messiaen,1908—1992)的建议下，利用自身具备的希腊文化、数学和建筑学的优势，将数学原理、建筑艺术等与音乐创作相结合，创作出许多优秀的作品。本文所分析的这部作品，就有着古希腊文明、现代数学与音乐碰撞及融合的多重性，通过研究这部创作于泽纳基斯巅峰时期[2]的作品，对理解和分析泽纳基斯的创作技法和音乐理论能够提供可借鉴的参考。

分析泽纳基斯的作品，对于从未对高等数学理论、建筑艺术等学科进行专业学习的学者来说，是极具挑战性的。从这一点来看，也就不难理解为何相较于欧美国家对泽纳基斯的研究程度，国内对其的研究显得十分有限和欠缺。此外，由于这部作品运用了多种创作技法和音乐理论，所以在具体论述和分析这部作品之前，有必要从整体上，对泽纳基斯的创作特征和音乐理论进行描述。

一、泽纳基斯与《诺莫斯-阿尔法》创作概述

泽纳基斯，法籍希腊作曲家、音乐理论家，同时还是一位建筑师。他的一生堪称传奇，有学者用莎士比亚(William Shakespeare，1564—1616)的“矛盾修饰法”这样评论他：“沉重的轻浮，严肃的狂妄，整齐的混乱，铅铸的羽毛，光明的烟雾，寒冷的火焰，憔悴的健康，永远觉醒的睡眠，否定的存在。”认为他是一个处于和谐的矛盾之中的人[3]。在他幼年时，受到弹得一手好钢琴的母亲的影响，很早就接触到了吉普赛音乐、罗马尼亚民间音乐及西方古典音乐。不幸的是，他的母亲在他5岁时去世，这对幼小的泽纳基斯无疑是一个沉重打击；在第二次世界大战中，泽纳基斯曾参加右翼民族主义抗议活动，后来加入了由希腊共产党领导的民族解放阵线，多次参加大规模抗议示威活动和武装抵抗斗争，1945年在一次反复辟运动中被英军的坦克击中脸部，左眼失明，险些丧命。同年3月，泽纳基斯出院返校，却多次因组织政治活动被监禁，甚至被判处死刑。为了躲避政治迫害，他于1947年抵达巴黎，1965年加入法国国籍。在法国，泽纳基斯作为一名建筑师在柯布西耶工作室里担任助手，并尝试作曲，毫无任何音乐背景的泽纳基斯参加了奥涅格[4](Arthur Honegger,1892—1955)的音乐学习班，此学习班后来由米约[5](Darius Milhaud,1892—1974)接替举办，随后泽纳基斯受人引见，认识了梅西安，在梅西安的作曲班上，结识了布列兹[6](Pierre Boulez，1925—2016)和斯托克豪森[7](Karlheinz Stockhausen,1928—2007)。1949—1952年间，泽纳基斯专注于作曲，创作有24首作品。1973年他巴黎索邦大学获得哲学博士学位，晚年他以巴黎索邦大学教授的身份退休，1967—1975年间，他曾在印第安纳大学担任副教授，同时他还是巴黎自动化音乐与数学研究中心CEMAMU(Centre d’etudes de Mathematique et Automatique Musicales)的创建人。[8]

同时他还是一位多产的作曲家，其一生共创作大约155部作品，涉及管弦乐、室内乐、独奏、声乐作品、电子音乐等形式。泽纳基斯的作品几乎都是无调性的，主要是因为无调性比有调性的音乐方式有着更多可能，即无调性包含着人耳能听到范围内的所有声音，这就使得他在音乐材料的使用上，能够更加自由，例如，为了扩大音响材料的范围，使用音块、声音粒子等等。得益于梅西安的启发，泽纳基斯运用许多高等数学原理和建筑的构思进行创作，寻求音乐的某种有机结构和内在逻辑，并由此做出诸多大胆的创新，其中最突出的是其运用概率理论中的随机过程原理，后被他自称为“随机音乐作曲”(Stochastic music)的作曲理论。“随机音乐”不同于“偶然音乐”，主张音乐一定程度上依靠人的主观的直觉和选择；由“随机音乐”发展而来的还有利用游戏论的策略音乐、象征性音乐、马尔可夫链原理作曲方法、树状作曲方法，等等。

除此之外，他认为音乐能够用声音来表现人的智力，在作品中运用数学公式和概率原理；他还认为音乐理论和建筑理论相通，使用建筑几何图形转换音乐的方法进行创作。他的创作技法涉及的领域广泛，还包括马尔可夫链作曲理论、实践理论创作音乐、集合理论创作音乐(线性代数)以及电子音乐等。泽纳基斯在西方国家十分受欢迎，他的音乐作品在许多国家频频上演，音乐理论著作更是被翻译成法文、英文、德文等多国文字进行出版，法国有专门的研究中心和官方网站[9]；因此，一般将泽纳基斯一生的创作分为三个时期，分别是早期的模仿时期和随机音乐时期(1949-1960)；中期的集中运用建筑与数学理论作曲时期(1959—1980)；以及晚期的筛选理论、综合技法和电子音乐创作时期(1980—1990)[10]。

《诺莫斯-阿尔法》(Nomos Alpha，希腊语：Νóμοα′)是由泽纳基斯于1966年创作的大提琴独奏曲，依据上述的创作时期划分，这部作品应属于他的创作中期，此时的泽纳基斯还擅长运用一种称为“象征性音乐”(Symbolic Music)。根据泽纳基斯本人对象征音乐的解释，象征性音乐主要是利用数学逻辑与集合论组织音乐作品的逻辑结构和运算框架，[11]在《诺莫斯-阿尔法》中可以发现作曲家对于这种作曲技法的使用，这种作曲理论的代表作品还有钢琴独奏曲《赫尔玛》(Herma，1961)。在音乐作品的内容和题材方面，有学者认为《诺莫斯-阿尔法》(Nomos Alpha)作品名称中的Alpha是希腊字母中的第一个字母，因此认为是以希腊文化历史哲学为主题命名的作品。[12]

虽然在版本上都是由不来梅广播电台(Bremen)委托大提琴家齐格弗里德-帕姆(Siegfried Palm)的演奏版，但是笔者在国内收听到的该部作品的时长为15分钟32秒[13]，泽纳基斯的官方网站则显示为17分钟。由泽纳基斯的官方网站记载的其他发行版本如图所示(表格1)。

表1：泽纳基斯的官方网站中显示的演奏版本[14]

由于当时的录音技术的问题，上述几个版本的录音具有时代性的特征，国外有学者专门依据这几版录音对《诺莫斯-阿尔法》(Nomos Alpha)进行了相关的声学研究。[15]

综上所述，泽纳斯基将作曲与建筑、数学等进行特殊结合，尝试各种创新，使音乐作品带有独特性、时代性、创新性、先锋性，甚至有着未来感和神秘感的多重特征。《诺莫斯-阿尔法》(Nomos Alpha)虽然有着朴素的音乐内核(只是一部大提琴独奏曲)，但是其在音乐结构的组织、音色的发掘、演奏法的尝试以及数学逻辑的使用，都使这部作品不再是能以传统的语言方式来理解，此外，这部作品的风格以及内在的美学思想也都值得我们进一步去研究和挖掘。

二、音乐分析

从整体上看，这部作品是无调性的。不同于传统作品，在旋律走向、节拍节奏方面都很难找到规律，即无法预测作曲家在下一步会设计哪一种音响效果。《诺莫斯-阿尔法》中很容易感受到起伏，节拍本身也常常表现出一个清晰可感的声学空间，并且不会因为节奏的冲突而冒犯耳朵。同时，《诺莫斯-阿尔法》中使用的一些最极端的效果，在声学和心理学之间建立起一个网络。

在作品中，泽纳基斯还运用了多种声学现象，其中最为独特的是一种反复出现的col legno的声学现象，在乐谱中始终用缩写fcl(“frapper col legno”)来表示，泽纳基斯指出“fcl=frapper avec le bois de l'archhet”(用弓子的棍子打弦)，说明了这种技巧在时间上接近于几个节拍数的连续，最典型的“col legno”的声音是一个简短的高音的轻轻敲击声。这种拍子的音高对应于弓子与弦接触的桥面距离，如果大提琴家的手指放在同一个点上，剩下的几英寸的弦要么被拨动，要么被弓起，就会听到同样的音高。在同一指法的音高上，连续数次击弦时，拍子的声音特别容易听出来。

(一)音乐结构要素

对于研究创作技法的学者来说，需要大致了解泽纳基斯的音乐理论，尤其是他在随机音乐创作时期(即其创作早期)的音乐处理和创作技法，以及他的马尔可夫链作曲技法，泽纳基斯在他的《形式化音乐》一书中阐述了马尔可夫链作曲的理论基础和应用，他这样写到：“如果概率在一段时间里是持续的，并不依赖于原始的状态，这个随机过程就被称为马尔可夫链过程。”[16]即通过多次重复，这些概率的规律性或贴切性逐渐形成了一定程度的可预测性，并且增强了听众耳朵的可听性和可信度。

在《诺莫斯-阿尔法》中，可以发现8个不同的声音复合体。如图1所示，

随机的声点云(cloud of sound points)相对有序的上升或下降的声点云相对有序的声点云,既不上升也不下降"电离原子"(“ionized atom”),在大提琴上由两个音调非常接近的持续音符的干扰节拍来表示(几乎是一致的),并伴有pizz。滑音的随机场(stochastic field of sliding sounds)相对有序的上升或下降音域相对有序的持续音域“原子”(“atom”)像S4,但没有pizz。

图1 8个不同的声音复合体[17]

随后由8个声音复合体共同组成一个序列。8个声复数中的每一个声复数都附着在立方体的8个顶点中的一个顶点上，之后进行一种变换，即立方体进行旋转。同时，立方体最多可以出现24个不同的位置，每一个位置都可以用一系列的8个数字来标记，例如，代表顶点1，2，3……8，并给出每个顶点的位置与立方体独特的初始状态的关系，该初始状态具有一系列的数字，可以用一种标准格式，即Ⅰ=[ 1 2 3 4 5 6 7 8]进行表示。[18]

图2 立方体[19]

因此，有24种不同的序列可供选择，也就是说在给定的情况下，8个音序复合物有24种不同的排序。

根据泽纳基斯在谱面上的标注，可以将《诺莫斯-阿尔法》的完整结构总结如下，(见图3)

图3 《诺莫斯-阿尔法》结构图[20]

图4 24种不同的序列和8个音序复合物[21]

图5 音乐材料序列表[22]

(二)演奏法解读

作曲家在乐谱中标注了详细的演奏技法，几乎落实到每一个音符。这部作品的演奏难度，主要体现在以下几个方面，一是作曲家在写作时，使用了法语、英语和希腊语等多种语言进行标注；二是演奏技法之间的转换十分频繁，一种演奏法的使用几乎不会超过三个小节，例如，在第1—3小节为滑奏，第4小节开始就变成了密集的单音颤弓，第7小节，就变成了“pizz”[23]的拨奏。

频繁转换的演奏技法，直接导致音响效果的频繁变换。除此之外，作曲家在音乐的强弱起方面，也做了详细的要求，并且，相对于大部分音乐作品，在这部作品中，fff和ppp这种极强和极弱记号的使用十分频繁，而且往往需要在两个小节内，就需要演奏者完成强弱的转变。演奏者对于音色的控制，需要落实到每一个音符，这就使得演奏者在演奏时，需要高强度的专注度和双手控制能力。

(三)音响组织

这部作品的演奏难度还体现在音准和节奏的控制上，首先是音准，由于作品本身的无调性，不协和音响的使用，加大了音准控制的难度；其次是节奏，虽然作曲家在谱面上，明确了4/4拍的节拍，标明了小节线，但是，并没有完全遵循4/4拍的传统节拍规律，这主要是从断句和休止符的使用，以及强弱的变化等方面进行判断的。例如，滑奏常常跨小节，而演奏技法的转变又往往不超过三个小节，这就使得断句，常常使人有紧张感和急促感，这也就是上文中，所提及的“窒息感”的缘由；同时，还因为休止符的使用，频繁且没有规律，这也使得断句让人摸不着头脑。

综上所述，《诺莫斯-阿尔法》主要运用了三种主要的声音产生方式，包括拨弦、密集的颤音和长线条的拉奏。作曲家以快速并置的方式，将这几种技巧并置在一起，并有着无序倾向。在作品中，泽纳基斯实现了情感的颤音、极端的音域(利用了超过7个八度的音域)，以及对声音的敏感度，其中音色的颤音来自作曲家的提示的频频使用的col legno、sul ponticello和颤音效果。演奏者需要大量的练习，才能精准的完成这部作品。

三、作品内涵的解读

(一)关于作品的名称

作品的名称由Nomos和Alpha两个单词组成，这两个单词分别来自英语和希腊语两种不同的语言，由于一部作品的名称确定了一部作品的基调，有着十分重要的作用，同时对于作品名称的理解，也能帮助听众和学者把握作品内涵，因此，有必要对作品名称进行一定的解读。Nomos在英语里，有法则的意思。而一般认为alpha是希腊字母中的第一个字母。于是，可以将作品译为阿尔法法则，或者音译为诺莫斯-阿尔法。对这部作品名称可以有不同的解读，其一，将nomos意译为法则时，强调某种规律、自然的法则(rule)，表示某种依据人类的认知程度，包括各种已知或未知的潜在规律；或者是某种法度和规范(laws and regulations)甚至还可以表示为某种方式方法(method)，因此，可以将作品的内涵同数学、自然的主题联系在一起；若将nomos译为法则时，按照中文的语法习惯，作品名称就为《阿尔法法则》；其二，将nomos音译为诺莫斯[24]时，没有过多的解读，这时，就偏向于alpha的理解，alpha是希伯来的第一个字母，也是最神圣的字母，相传人们不太敢多念它，因为其还代表着上帝的意思。这个字母的发音来自腓尼基文，希腊文字母的Aα和阿拉伯字母都来自alpha这个腓尼基字母。在古希腊语中alpha有着开始和生命的意思，在圣经《新约》(启示录22:13)里，神说:“我是阿尔法，我是奥米伽，我是初，我是终”。在希腊字母表里，第一个字母是“Α”(阿尔法)，代表开始；最后一个字母是“Ω”(奥米伽)，代表终了。[25](如图6)

图6 希腊字母表[26]

(二)音乐与数学的碰撞

这部作品与数学的结合是显而易见的，作曲家在乐谱上有详细的由字母Q标注的序列说明。同时还可以依据作曲家在这个时期的创作风格，上文中提到这一时期主要运用的是象征性音乐，即主要利用数学逻辑与集合论组织音乐作品的逻辑结构和运算框架，可以推断出这部作品的内核之一就是数学逻辑。那么具体运用了哪些数学原理？泽纳基斯的《阿尔法法则》在三个不同级别上使用了组转换(group transformations)。他还将残差类(剩余类residual classes)的代数(algebra)应用于方格网(pitch-grids)的构造。[27]此外，泽纳基斯在一定程度上，认同古希腊数学家、哲学家毕达哥拉斯(Pythagoras，约公元前580—前500年)关于数学与音乐的观点，即数是宇宙的原理，理想的音乐存在于宇宙的运动中，这些音乐都是基于数的比例。因此，这部作品与数学紧密联系的同时，或许还可以将这部作品带有的某种神秘感理解为作品所具备的某种宇宙观。

图7 《诺莫斯-阿尔法》手稿第一页[28]

(三)数学中的alpha(希腊文明与数学的碰撞)

希腊字母作为符号，被广泛用于数学、天文、物理、生物等学科，例如，常见的“γ”(伽马射线)、“λ”(波长)、“π”(圆周率)和“Ω”(电阻单位欧姆)等。[29]

数学中的“alpha”的应用十分广泛，笔者收集了多种数学中的“alpha”应用，也许与作品本身并无关联，但可以提出相关设想，主要内容如下，

1.皮尔斯存在图中的alpha。皮尔斯存在图是皮尔斯于1896年发明的图式逻辑系统，是一种典型的图式逻辑。图式逻辑是哲学逻辑的一个新的分支。它是逻辑图从古典发展到现代的最终形态,是逻辑图的形式化。是用来描述“存在关系”的逻辑系统，由一个页面和画在该页面上的一组二维图构成,通过在该页面上添加或擦去图形内容来进行推理,并且分为Alpha,Beta和Gamma三个部分。存在图的Alpha部分是整个系统的基础,Beta是在Alpha基础上建立的,Gamma是Beta基础上建立,并且Alpha和Beta可以分别翻译为经典命题逻辑和一阶谓词逻辑,未完成的Gamma与模态逻辑和高阶逻辑相对应。[30]

2.物理学中的alpha。小写α用于物理学上表示：角加速度。

3.游戏中的alpha测试。alpha测试指在游戏制作者控制的环境下进行的游戏测试工作，所以一般来说，alpha测试是在公司内部进行的。

4.alpha是一元二次方程里的其中一个根(β代表另一个)；

5.在数学中用来表示角，例如sinα，其中的α就表示一个角，这表示它的正弦值。

6.其他表示：双极性晶体管中集极电流与射极电流的比例、一个结果的显著性差异、假阳性率、牺牲率的倒数、精细结构常数、飞机的攻角等。[31]

(四)关于作品内涵的其他设想

在阅读泽纳基斯的生平叙述时，不难发现其深受战争的迫害与影响，并且他也创作过诸多涉及战争主题的作品，例如，《和平鸽》(La colombe de la paix,1953,未出版)、《战场》(Phlega，1975)、《死亡》(Nekuia，1981)、《为了和平》(Pour la Paix，1981)等，几乎贯穿于他的整个创作生涯。

《诺莫斯-阿尔法》从整体上来看，速度起伏不大，情绪中带有一种忧郁和阴暗。音高主要以中音区域为主，但有多次发出尖锐声响的滑奏，类似于防空警报，给人印象深刻；除此之外，作品中休止符的非常规使用，使作品语句的呼吸变得反常，使人有一种隐隐约约的窒息感，仿佛暗含着一种由战争所导致的痛苦和绝望。

结 语

泽纳基斯的音乐作品、理论著作以及建筑作品在世界范围内都有着极为广泛的影响，尤其是欧美国家，相比之下，国内对其的研究成果和程度就显得十分薄弱，2021年是泽纳基斯逝世20周年，笔者意识到有必要填补国内对其的研究空白，因此，笔者对泽纳基斯这首具有代表性的音乐作品进行了一定的音乐学解读和音乐分析，希望能够引起其他的学者的关注，并起到一定的借鉴作用。

不得不承认《诺莫斯-阿尔法》是一部极为复杂难懂的作品，由于国内文献资料有限，加之笔者自身对高等数学和建筑知识的欠缺，在分析时，几乎有点无从下手，这可能导致在分析中产生错误。但是通过对《诺莫斯-阿尔法》的分析，可以深刻感受到泽纳基斯的音乐创作有别于传统的作曲方式，使用了先进的科学思想，借鉴那些已成定论的数学理论运用其中。同时，泽纳基斯对大提琴音色的创新与开发，拓展并丰富了大提琴的声响效果与创作思维。泽纳基斯努力发展科学与艺术的联姻，把建筑艺术、数学与音乐结合起来，在音乐中追求某种建筑模式。虽然一直以来音乐与文学、神学、哲学、建筑、语言等之间的借鉴结合并不少见，但是对于宇宙认知，人类还需要不断地发现、解密和运用。因此，泽纳基斯用其一生探索数学与音乐，建筑与音乐，科学与音乐之间的联系，建立特殊的作曲方式，创作音乐理论和音乐作品，使我们看到音乐与文学、哲学、建筑、数学等之间存在的各种可能；泽纳基斯不断打破学科界限，他的音乐作品是优秀的成果，是后来的学者们学习和借鉴的榜样；同时他的作曲技法使得作品的乐谱与音响都别出心裁、独具特色，这对现代音乐创作技术的创新和实验具有一定的启发意义。

注释:

[1]梅西安，法国作曲家、鸟类学家，20世纪最具代表性的作曲家之一。他的音乐常融入复杂的节奏语言，并以“有限移调调式”铺陈出和声与旋律。代表作品有《鸟儿醒来》(Le reveil des oiseaux，1953)、《天堂的色彩》(Couleurs de la Cité Céleste，1963)等。

[2]一般认为泽纳基斯的创作中期，即20世纪70年代(1959—1980)，是他的创作高峰时期。主要是由于泽纳基斯在这时开始摒弃模仿与传统作曲的方法，在作品的结构方面，试图寻找新的途径，并且开始追求更为复杂的音乐风格，包括现代性的电子音乐，还有部分民族风格。在理论研究方面，泽纳基斯陆续发表了多部学术著作介绍自己的创作思想。

[3]王 璐.用音乐构建雅典卫城——泽纳基斯及其创作简述[J].艺术研究,2014(01):76.

[4]阿尔蒂尔·奥涅格，法国六人团成员之一，其最著名作品是模仿蒸气车头声音的管弦乐交响乐章“太平洋231”。

[5]达律斯·米约，犹太血统的法国作曲家，法国六人团成员之一，是20世纪创作数量最多的作曲家之一，他的风格深受爵士乐和新古典主义乐派的影响。代表作有爵士风格的芭蕾《屋顶上的牛》等。

[6]皮埃尔·布列兹，法国作曲家、指挥家。布列兹强调节奏的魅力，强调现代作品在节奏中呈现的色彩感，还强调音响效果。他以擅长于准确清晰地诠释20世纪音乐而著称，较为出名的作品有《没有主人的琴锤》(Le Marteau sans Maitre，1955年)、《爆炸-固定》(Explosantel-fixe，1973年)、《仪式》(1975年)等先锋音乐。

[7]卡尔海因兹·斯托克豪森，20世纪德国最伟大的前卫作曲家、钢琴家、指挥家、音乐学家。斯托克豪森是一位广受争议的20世纪作曲家，对整个战后严肃音乐创作领域有着巨大的影响。代表作品有为两架电子钢琴所作的《曼陀罗》(Mantra，1970)、为管弦乐队和祈祷者所作的《依诺里》(Inori，1974)等。

[8]张艺婕.泽纳基斯的马尔可夫链作曲技法研究及作品分析[D].中央音乐学院,2017.

[9]http://iannis-xenakis.org/xen/bio/biography.html.

[10]创作时期的划分主要依据张艺婕的博士论文《泽纳基斯的马尔可夫链作曲技法研究及作品分析》以及泽纳基斯官方网站。

[11][12]同[8].

[13]https://www.bilibili.com/video/BV1fa4y177yQ?from=search & seid=7943387137928743269.

[14]http://iannis-xenakis.org/xen/works/alpha/work_33.html.

[15]Evan Jones.An Acoustic Analysis of Col Legno Articulation in Iannis Xenakis's "Nomos Alpha" Evan Jones.Computer Music Journal,Vol.26,No.1,In Memoriam Iannis Xenakis (Spring, 2002:73—86.

[16]同[8].

[17]图片来源于Jan Vriend的论文《“Nomos alpha”for violoncello solo (Xenakis 1966) analysis and comments。

[18][19]Jan Vriend.“Nomos alpha” for violoncello solo (Xenakis 1966) analysis and comments[J],Interface,2008.

[20][21][22]同[17].

[23]pizz：pizzicato (Italian=plucking strings by the fingers) (意大利语)拨奏。

[24]有资料显示，德国有个知名腕表品牌称为诺莫斯(Nomos)，成立于1845年，是Glashütte 腕表的传奇的延续，在世界钟表行业，有着较大的名声。但笔者认为这与作品关联不大。

[25]顾 欣.希腊字母的起源与发展[J].装饰,2014(09):41.

[26]https://zhidao.baidu.com/question/352225343.html.

[27]同[18].

[28]同[14].

[29]同[25].

[30]聂海军.逻辑、图与存在——皮尔斯存在图的三种解读[D].南开大学,2013.

[31]部分内容来源于百度。