关于数学新课标的几点思考

摘要：数学课程标准的修订已进入了常态化阶段，从而凸显了继承和发展的重要性，特别是对已有工作的总结、反思与再认识，以及对“大教育”与数学教育之间关系的处理。为了防止局限的“课程”视角造成消极的后果，还应切实加强数学教学的研究，包括清楚揭示数学学习与教学活动的基本性质与主要特征。“课程内容结构化”则可被看成一个重要的发展方向，在这方面还有大量工作要做，包括对“结构化”含义的深入剖析。

关键词：数学新课标；大教育；课程视角；教学研究；结构化

一线教师的适当定位

面对新颁布的《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“数学新课标”），一线教师在学习与落实的同时，也应认真思考一个问题：如何定位自己的角色？广义地说，这也正是每一位数学教育工作者都应认真思考的问题。

作为偏重理论研究的高校教师，笔者自2001年新一轮课程改革实施以来，就一直希望自己从理论的角度对课程改革的健康发展起到一定的作用，包括从学术的角度提出一定的批评和建议，特别是促使人们更深入地思考。

那么，什么是广大一线教师面对数学新课标所应持有的基本立场呢？

我们在平时经常会提到的这样一个基本的教学思想：强调教师在教学中的主导地位的同时，也要很好地落实学生在学习活动中的主体地位。类似地，我们应当明确肯定广大一线教师在教育改革中的主体地位。

这也可被看成过去这些年的课改实践（包括国际范围内更大规模的数学教育改革运动），给予我们的重要启示。例如，相关学者通过对我国数学课程改革的综合分析引出了一个结论：“重要的是……课程改革是否具备改变或强化教师队伍、促进教育专业化的诱因和条件。我们甚至可以把‘能否提高教师的专业性（包括专业意识、专业自主和专业教学）用作评定教育改革成败的判准。”并从这一角度对现实中出现的一些现象提出了尖锐批评：“整个课程改革都声称教师要进行‘范式转移……但现实恰恰相反，因为课程文件上愈来愈多条条框框，课程甚至写得过于详细，差不多是要指挥每位教师每日在课堂如何教学，这跟教师的专业发展背道而驰。”

从同一角度分析，笔者以为，这也可被看成数学新课标修订工作的一个重要进步，即更加重视发挥一线教师的作用，特别是，专门邀请了若干优秀教师直接参与到修订工作中。此外，还有不少教师在这方面表现出很强的主体意识与参与精神，如特级教师徐斌及其团队就开展了“义务教育数学课程标准深度解读系列”的专题研究。

当然，能够“直接参与”和“深度解读”的还只是少数优秀教师。那么，究竟什么是普通教师面对数学新课标所应采取的基本立场呢？

作为课程改革的主体，相对于简单地“学习和落实”，我们更应重视自身的独立思考，特别是，切实增强自身的问题意识，即围绕问题进行学习和思考。只有这样，才不仅能将教学工作做得更好，而且能更有效地促进自身的专业成长，特别是，切实提高自身在这一方面的自觉性，而不是始终处于被动地位，按照外部指令去工作。

同时，希望一线教师也能从同一立场看待笔者关于数学新课标的以下三点思考，而不要因为论题在形式上过于宏大，就认为与自己完全无关。

两个应当正视的事实

笔者认为，为了对数学新课标作出整体评价，首先应清楚地看到这样两个事实：

其一，从2001年颁布《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》算起，数学课程标准已经历了两次正式的修订，在笔者看来，这表明数学课程标准的修订已进入了常态化阶段。读者可由以下比较，理解这里所说的“常态化”的具体含义：如果说人们先前在这一方面采取的基本立场是希望通过激烈的改革解决数学教育的各种问题，乃至实现数学教育的彻底革命，那么，人们现今所采取的就可说是一种更加务实的立场，这集中反映了“教育贵在坚持”的认识。

当然，这里所说的“常态化”不应被理解为要求的降低，而是对如何进行课程标准的制订与修订提出了不同的要求。对此，可归结成这样一点：切实做好继承与发展的工作。

事实上，也可从这一角度更好地去理解数学新课标中所谈到的课标修订的三条原则：（1） 坚持目标导向；（2） 坚持问题导向；（3） 坚持创新导向。具体地说，“问题导向”即可被看成做好继承工作的关键；我们应当从“目标导向”与“创新导向”这样的高度，更好地理解数学新课标的重要变化，即课程目标的“核心素养导向”。

其二，由于数学新课标的制订和修订在各个学科中往往处于先行试点的地位，因此很容易出现“一科独进、一科独大”的现象，特别是，人们往往会局限于从本学科的视角进行分析思考。这可被看成先前工作的一个不足。正确的立场是，关于数学教育基本目标的思考绝不应脱离教育的整体性目标。这也是我们应当特别重视“核心素养导向”的主要原因。

我们应当依据上述分析对数学新课标，以及各种相关的解读，作出自己的判断。

例如，关于“核心素养导向”的一些解读与评价。（1） 为了适应这一重要变化，需要将先前的各种主张或思想，特别是所谓的“四基”和“四能”，与“核心素养”有机结合。（2） “‘四基和‘四能保持不变，体现了课程标准的继承，核心素养贯穿课程标准的始终，体现了课程标准的发展。”（3） “‘四基+‘三会”构建起了关于数学课程目标的一个层层递进的完整体系：“首先，‘三会是这个目标体系的顶层目标或终极目标……其次，为达成‘三会，设置了通往‘三会或为‘三会提供支撑的中间目标或过渡目标，称为核心素养的主要表现……最后，第三层目标是达成核心素养主要表现的支撑目标或过渡性目标，也就是大家熟悉的‘四基、四能目标。”

上面的论述，事实上都可被看成一种过于简单化的认识。具体地说，我们显然不应将“继承”理解成对原先各种思想或理论的全盘接受，而应更加重视“总结、反思與再认识”的工作，从而才能很好地发扬成绩、纠正错误。再则，我们当然也不应将“发展”理解成概念的简单组合，特别是，通过词语的“创新”将“四基”和“四能”与“核心素养”简单地加以组合，乃至认为所谓的“三会”不仅很好地完成了这一任务，而且“在全面建设社会主义现代化国家的新征程上……交出了属于数学课程的答卷……一份令人满意的答卷”。

当然，为了更清楚地说明问题，我们应对所说的“三会”作出更加具体的分析，特别是：它是否可以被看成一个真正的理论创新，是否又可被看成数学教育的“终极目标”？对此，笔者都持有否定的看法。在此，主要强调这样一点：为了更好地从事相关工作，包括努力促进数学教育的持续发展，我们应当从更高层面为判断这一方面的各个具体主张提出基本的准则。具体地说，我们应很好地做到“突出基本问题，坚持基本立场”，即应坚持围绕这样两个问题进行分析思考：（1） 如何认识数学教育的基本目标？（2） 什么可被看成数学学习与教学活动的基本性质和主要特征？

首先，我们在实际从事数学新课标的修订与评价时，应特别重视对数学教育目标的把握。正如前面所提及的，我们在此还应特别重视对“大教育”与数学教育之间关系的处理，因为，作为整体教育的有机组成部分，数学教育当然应很好地落实“立德树人”这一教育的基本任务。另外，作为数学教育工作者，我们显然又不应停留于这一方面的一般性论述，而应进一步去思考什么是数学教育对提升学生核心素养以及促进社会整体性进步所应当而且可以承担的主要责任。

简言之，做好这一方面工作的关键，是切实抓住“入”和“出”这两个关键词，并很好地处理两者之间的辩证关系。也就是说，我们既应立足自己的专业，很好地认识数学教育的主要价值，又应跳出狭隘的专业视角，从更大的范围进行分析思考。

显然，依据上述立场，我们也就可以清楚地认识到把“三会”看成数学教育的“终极目标”的局限性。与此相对照，著名数学家、数学教育家波利亚的以下论述则更加合理：“一个教师若要同样地去教他所有的学生——未来用数学和不用数学的人，那么他在教解题时应当教三分之一的数学和三分之二的常识。对学生灌注有益的思维习惯和常识，也许不是一件太容易的事。一个数学教师假如在这方面取得了成绩，那么他就真正为他的学生（无论他们以后是做什么工作的）做了好事。能为那些70%的在以后生活中不用科技数学的学生做好事，当然是一件最有意义的事情。”其中对于“思维习惯和常识”的强调，更提示我们应当跳出狭隘的专业视角，从更大的范围进行分析思考。

其次，我们也应十分重视对数学学习与教学活动基本性质与主要特征的分析，包括以此为依据对各种相关的主张作出分析判断。但在笔者看来，各个版本数学课程标准的一个通病，或许正是由于突出强调了“课程”，因而未能对与数学教学直接相关的各种问题予以足够的重视，相关论述也未能达到应有的深度。以下就针对数学新课标作出具体分析。

一个特别薄弱的环节

作为数学教育（以及其他学科教育）的指导性文件，我国在先前采取的一直是“教学大纲”的形式，直到2001年新一轮课程改革实施以后，才转而采取“课程标准”这一新形式。当然，我们或许可以将上述变化归结为名称的简单变化，但也的确应当认真地思考名称的变化是否可能导致实质性的变化。比如，突出强调“课程”这一视角是否也有一定的局限性，特别是，课程标准能否很好地承担起它被赋予的这样一个重任：“义务教育课程规定了教育目标、教育内容和教学基本要求，体现国家意志，在立德树人中发挥着关键作用。”

毋庸讳言，在这一方面，我们可以看到20世纪90年代在世界范围内普遍开展的“课标运动”，特别是美国数学教师全国委员会（NCTM）制订的《学校数学课程与评价标准》（Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics）的重要影响——包括数学新课标为什么要作出这样一个变化，即除了这方面的传统内容以外，又要专门增加“学业质量”这样一项内容。因为，正如《学校数学课程与评价标准》这一名称所清楚表明的，单纯从“课程”的角度进行分析论述并不能覆盖教育工作的所有方面，我们应将如何对“学生在完成课程阶段性学习后的学业成就”作出评价这一内容也包括进来。

但是，即使做了这样的补充或扩展，包括对数学新课标的性质和作用提出了明确的要求，即清楚地指明应将“教育目标、教育内容和教学基本要求”这样几个方面都考虑在内，突出强调“课程标准”仍有一定的局限性。因为，“课程”的视角直接决定了我们应当如何去从事课程标准相关内容的选择与编写。

具体地说，无论自觉与否，围绕“课程”这一主题进行论述，具体为逐一对“课程性质”“课程理念”“课程目标”“课程内容”“学业质量”“课程实施”等论题作出分析论述，正是人们在撰写课程标准时自然会采取的一个路径。尽管其中已直接涉及“教育目标”这一特别论题，但与“教育内容”相比，关于“教学基本要求”的论述显然要薄弱得多，从而可能造成一定的消极后果。

为了清楚地说明问题，还可对上述做法与人们在先前经常论及的“三论”做简单比较。我国数學教育工作者经由长期的研究和实践逐步形成了一项共识，即认为数学教育理论主要应当包括三项内容：“数学课程论”“数学教学论”和“数学学习论”。当然，正如相关人士也已认识到了的，所说的“三论”并不能被认为已经包括所有相关的内容。正如前面所提及的，我们应当将“数学教育目标”的分析看成“三论”的共同基础。但由此，我们仍可清楚地认识到，对“课程”视角的突出强调，容易导致对“数学教学”和“数学学习”的重视不够，相关分析自然也不容易达到应有的深度。

还应强调的是，对过去这些年中围绕数学教学所提出的各项主张以及相关实践作出认真的总结和反思，并清楚地指明什么是这一方面的进一步工作应当特别注意的问题，也应被看成所谓“继承性工作”的一项重要内容。例如，我们究竟应当如何看待新一轮课程改革实施以来所特别倡导的一些教学方法？我们又应当如何很好地认识“问题引领”“单元整体性教学”等在实践中已得到普遍重视的新的教学方法，包括什么又是相关实践应当特别重视的问题？显然，从这一角度，我们也可更清楚地认识数学新课标在这一方面存在的可能的局限性。因为，相关工作显然不应停留于对教学方式与学习方法“多元性”的简单肯定，或对某些教学方法与教学环节的特别提倡，如“单元整体教学设计”“情境设计与问题提出”“跨学科主题学习（包括‘主题活动和‘项目学习）”“信息技术与数学教学的融合”等。因为，即使就已提到的这些方面而言，我们也只有通过更加深入的分析，包括认真总结与反思，才能真正做好。另外，所有这些工作又都应当以我们对数学教学与学习活动基本性质和主要特征的认识作为主要的依据，这就是相关分析是否达到应有深度的主要标志。

作为数学教学活动的具体分析，相对于“有效的教学活动是学生学和教师教的统一……教师是学习的组织者、引导者与合作者”这样的一般性论述而言，我们应当更加强调“思”和“引”，也就是说，应当将此分别看成数学学习与教学活动的主要含义。进而，这又应被看成数学学习的本质所在——主要是一个不断优化的过程（因此，“总结、反思与再认识”有特别的重要性），并主要依赖于后天的学习，更离不开教师的直接指导。

当然，我们应当明确肯定学生在学习活动中的主体地位。而教师的主要定位是“引导者”，不仅应致力于提升学生的思维品质，即帮助他们通过数学学习逐步地学会思维，还应十分重视通过自己的教学，包括整体性“课堂文化”的创设，努力培养学生的理性精神——这是一种潜移默化的影响。

上述分析，事实上也就直接涉及数学本身的主要特征与功能，特别是，数学主要应被看成“思维的科学”，是“理性文化”的集中体现。

显然，与单纯的“课程设计与实施”相比，上面所提及的各个问题与广大一线教师的日常工作具有更为密切的联系。为了促进这方面认识的发展与深化，我们不仅应当十分重视各种新的教学思想和教学主张的学习和分析，也应高度重视如何能够切实做到“化多为少，化复杂为简单”。也就是说，应当认真研究什么可以被看成做好数学教学的关键，并通过持续努力很好地加以落实。

这正是笔者在当前所从事的一项主要工作，包括围绕“数学深度教学”所开展的研究。这是与国际数学教育界的最新发展完全同步的，尽管两者具有不同的背景和内涵。近年来，国际上兴起了关于“数学教学核心实践”的研究，由美国数学教师全国委员会组织出版的我国旅美学者、著名数学教育家蔡金法教授担任主编的《数学教育研究手册》中有一项重要内容——K12数学教学核心实践的研究。相关作者对这一工作的重要性做了如下说明：“教学中核心实践的研究是一种相对较新又很有前途的，帮助我们理解和改进教学的方式”；“将教学分解为核心实践的工作已经有了很大的发展……我们觉得将数学教学研究的讨论建立在核心实践工作的基础上是富有成效的”。按照相关作者的分析，“核心实践”应具有易学、易用的特点，并且是“教学中经常发生的实践”，还是“新手教师可以掌握的实践，能够让新手教师更多了解学生和教学的实践”。这与我们强调“数学教学的关键”也是完全一致的。

愿各位承担了我国数学教育事业主要指导责任的同仁，也能对此有清楚的认识，并能在这方面作出切实的努力。

一个重要的努力方向

正如不少人士已注意到的，数学新课标的又一个重要变化或进步是，突出强调“课程内容结构化”，更将“设计体现结构化特征的课程内容”直接列为“课程理念”最重要的含义之一。以下是相关论述：

数学课程内容是实现课程目标的重要载体。

课程内容选择。保持相对稳定的学科体系，体现数学学科特征；关注数学学科发展前沿与数学文化，继承和弘扬中华优秀传统文化；与时俱进，反映现代科学技术与社会发展需要；符合学生的认知规律，有助于学生理解、掌握数学的基础知识和基本技能，形成数学基本思想，积累数学基本活动经验，发展核心素养。

课程内容组织。重点是对内容进行结构化整合，探索发展学生核心素养的路径。重视数学结果的形成过程，处理好过程与结果的关系；重视数学内容的直观表述，处理好直观与抽象的关系；重视学生直接经验的形成，处理好直接经验与间接经验的关系。

课程内容呈现。注重数学知识与方法的层次性和多样性，适当考虑跨学科主题学习；根据学生的年龄特征和认知规律，适当采取螺旋式的方式，适当体现选择性，逐渐拓展和加深课程内容，适应学生的发展需求。

课程标准当然应当特别重视课程内容的选择、组织与呈现，但我们究竟又应如何看待“课程内容结构化”的主张？这涉及对“结构化”这一概念的理解。

以下是笔者在这一方面的基本认识：

第一，如果我们所强调的是帮助学生很好地掌握某种具体的知识结构，即将上述理念等同于“教结构，用结构”，那么，无论是对某种具体的数学结构，还是对其他学科的知识结构，包括对“任何学科都能够用在智育上是诚实的方式，有效地教给任何发展阶段的任何儿童”这一普遍性断言，我们都应当持十分慎重的态度。也就是说，我们决不应超越学生的认知能力，随意地去提出一些十分激进却没有经过认真检验的主张。

这事实上也可被看成20世纪60年代席卷世界的“新数运动”给予我们的一个重要启示或教训。因为，这一改革运动的主要指导思想是，用現代数学思想对传统的数学教育进行改造，从而实现数学教育的现代化：“这里，一个主要的前提就是要像20世纪的数学家所理解的那样，去逐步向学生揭示数学结构，从而使学生进一步领会、应用研究和爱好数学。”但是，由于所提的目标完全超出了学生的接受能力，因此，尽管人们曾经为此作出了巨大的努力，一些数学家也曾对此充满了信心，随着时间的推移，这一改革运动逐渐暴露出众多弊病，直至最终陷入完全的失败。

第二，尽管在“结构化”与“整体观念的指导”之间存在重要的联系（如都是对“碎片化学习”的明确反对），但从理论的角度看，这两者之间又存在重要的区别。特别是，如果说“整体观念的指导”所强调的是超越细节而建立整体性的认识，那么，“结构化思想”的核心就是认识活动的发展性质与层次性质。我们不仅应当很好地做到“居高临下”，也应当高度重视“高层次思想”的渗透与指导，从而切实保证相关认识活动的整体性与一致性，还应当十分重视认识发展的阶段性或层次性，不能超越认识能力盲目地去追求所谓的“高水平发展”。

由此可见，如果我们所强调的仅仅是“内容的必要整合”，或是“知识之间的关联”，这还不能被看成真正的“结构化”。

总之，强调“课程内容结构化”应当说十分合理。更可被看成数学新课标的重要进步的是，明确提出了课程内容的选择、组织与呈现应当很好地体现整合性、一致性与阶段性；还包括一些具体的主张，如将“发展核心素养”看成这方面最上位的指导性思想，课程内容的呈现“注重数学知识与方法的层次性……适当采取螺旋式的方式”，等等。

与此同时，我们又应看到，无论是数学新课标中的相关论述，还是各种“权威性”解读，都有一定的局限性。例如，上述引言中，就有不少论述已超出了“课程内容结构化”的范畴：或是“课程内容的选择”所应考虑的各种问题（如课程内容的先进性），或是“课程内容的组织”应当特别重视的一些辩证关系（如“过程与结果”）。再者，各种相关的解读十分常见的一个弊病是，将“结构化”简单等同于“整体观念的指导”，如“课程内容的结构化最本质的就是知识之间的关联”，等等。

此外，我们在这一方面更应当深入思考这样几个问题：

第一，我们是否应将“核心概念”看成落实核心素养的主要抓手，也就是说，是否应以数感、量感、空间观念等“核心概念”统领全部课程内容的选择、组织与教学？

例如，我们显然应从这一角度理解以下论述：“结构化要求学生不仅要学习单个内容、记住某个概念，还要掌握内容之间的关联，体会知识的本质，而建立这些关联的关键就是核心概念，也就是大概念、大观念”；“在知识概念的整体建构中，以核心概念统领，抓住本质，沟通知识之间的联系，这样结构化的教学才能促进学生理解性的学习”。但在笔者看来，我们不仅应当关注“核心概念”，还应更加重视相应的“大观念”或“大道理”。例如，读者只需将数感等“核心概念”与以下“关于小学数学教学的两个‘大道理”做对照比较，就可很好地体会到这一点：

小学“数的认识与运算”的教学，不仅应当很好地突出“比较”这样一个“核心概念”，从而帮助学生很好地掌握“大小”“倍数”“分数”“比”等概念，也应帮助学生初步建立关于“数学结构”的整体性认识，特别是清楚地认识它的丰富性与层次性、开放性与统一性，并能真正做好“化多为少”“化复杂为简单”，包括很好地认识数学与现实世界之间的关系。

小学几何的教学，不仅应当突出“度量”这一“核心概念”，很好地发挥直观认知的作用，也应努力实现对“度量几何”与“直观几何”的必要超越，即对图形的特征性质及其相互关系的逻辑分析予以足够的重视。

第二，我们又应当如何很好地认识和把握相关内容的发展性和层次性？

具体地说，相对于“整合性与一致性”而言，这应当说也是数学新课标较为薄弱的一个方面。对此，我们显然不应满足于“词语”上的简单区分，如由所谓的“推理意识”“数据意识”和“模型意识”过渡到了“推理能力”“数据观念”和“模型观念”，而应当结合具体内容作出更加细致的分析。

通过对照和比较，读者也可清楚地认识到在这一方面确实还有很长的路要走，特别是以下两项在国际上得到普遍认同的工作：（1） 英国学者道尔等关于“高层次数学思维”与“初等数学思维”的区分；（2） 荷兰学者冯·希尔夫妇关于几何思维发展五个不同水平的分析。

第三，依据上述分析，我们显然也可对数学新课标中所提及的“核心概念”的恰当性作出进一步的分析，特别是，我们是否应将“量感”看成又一重要的“核心概念”？

例如，在笔者看来，我们就应当从这一角度更好地理解吴正宪老师的以下论述：“从这点来说，学生建立量感是逐步地从对事物可测量属性及大小关系的直观感知到度量认知的过程，这个过程有助于学生养成用定量的方法认识和解决问题的习惯。”这也就是指，尽管小学低学段的数学教学确应十分重视数学与实际生活的联系，包括适当发展学生的“量感”，但量感主要地又应被看成属于“日常认知”的范围，也即与“学校数学”相比，应当被看成属于较低的层次。正因为此，随着学习的深入，我们应将教学重点转向数量关系的分析，包括我们如何能够通过相关分析很好地去解决相应的度量问题，也即从直接的度量转向相关算法的学习，抵达更深层次的数学思想。

综上可见，我们不应将“量感”列入“核心概念”的范围。当然，从更深的层面看，这又直接涉及这样一个论点：“数是对度量结果的表达，是一种符号表达，数学的本质在于度量，度量的本质在于数的表达。”④但在笔者看来，我们只需依据自然数的基本属性以及现代数学研究中关于三种“基本结构”的分析，就可清楚地看出这一论点的错误性。因为，自然数不仅是一种基数，也是一种序数；再者，除去“代数结构”和“序结构”，“拓扑结构”也应被看成最基本的一种数学结构，这也是数的一个重要特征，即对于一般所谓的“度量”的直接超越。

总之，我们既应充分肯定数学新课标对于“课程内容结构化”的积极提倡，又应“立足课堂，立足教学”深入地开展研究，从而真正地做好课程内容组织与教学的“结构化”。

（郑毓信，南京大学哲學系，教授，博士生导师。享受国务院特殊津贴专家，江苏省文史研究馆馆员。从事学术研究与各类教学工作50多年，包括中学、大学、研究生教育与各类教师培训工作，多次赴英、美等国以及我国港台地区做长期学术访问或合作研究，赴意大利、荷兰、德国等国多所著名大学做专题学术讲演。出版专著30余部，在国内外学术刊物上发表论文近500篇，学术成果获省部级奖7次。在数学哲学、数学教育、科学哲学与科学教育领域有较大影响。）