热传导问题的数值分析方法概述

冯晓燕，贺 熙，游小龙，周林凯，单保平

（新余学院建筑工程学院，江西 新余 338004）

热传导具体表现为能量从物质中的温度高的一边转移到温度低的一边，从温度高的物质转向温度低的物质，这一现象的产生是因为大量分子之间的相互撞击引起的。目前热传导问题是科技研究领域中的热点话题，常用的数值方法包括有限元法、比例边界有限元法、有限差分法、扩展有限元法、有限体积法及无网格法等。

1 有限元法

当分析工程问题时经常需要对各种微分方程描述的物理场进行求解，但由于许多微分方程都很难得到其解析解，这时可以将微分方程的问题区域进行离散化，即把复杂的问题区域分割为比较容易分析的有限元来表示，有限元之间通过节点相互连接，然后使用变分法或加权余数法，将偏微分方程转化为代数方程组进行计算，整个问题区域的求解由对所有子区域进行独立的运算结果组成。最终的结果并不是一个准确值，而是一个求极限之后的近似值。在实际问题中很难得到精准值的情况下，采用有限元法的可以得到一个精度较高的近似值，而且它能适用于各种复杂形状，是一种较为成熟的工程分析手段。现如今互联网技术发展迅速，涌现出了许多应用有限元法软件，常见的有限元软件有ANSYS、MSC、ABAQUS等公司的产品。随着计算机技术的发展，有限元软件与CAD软件被结合使用，可以在CAD软件上直接完成零部件的绘制后，软件直接运用有限元法原理进行计算，如果不符合要求工程师可以直接在CAD软件上对零部件进行修改，从而可轻松快捷地完成以前难以应对的复杂工程分析问题。有限元法在实践中的应用十分普遍，例如在工程结构、传热、流体力学、电磁力学等领域中，有限元分析越来越多地被运用于工程问题的仿真模拟，来求解真实的工程问题。热传导是一种在自然界常见的现象，如果存在温度差，热量就会由高温的向低温物体传输，就会存在热量的增加和减少，从而引起温度的变化。在分析热传导问题时，运用拉普拉斯方程描述稳定温度场的求解是工程中常遇到的问题，但很难求出其解析解，这时可以运用有限元法求解偏微分方程求得一个较为精准的近似解，首先利用变分原理将偏微分方程转化为等价的泛函，假设单元上的场变量变化形式及插值函数或尝试函数，寻找尝试函数的系数-节点场变量，以使泛函取极值，从而得到有限元的计算格式计算出稳定温度场。鲁治诚、李录贤在复合材料热传导问题中提出了多尺度有限元法的应用，对于传热属性突变的复合材料，主要关心复合材料宏观尺度，忽略细观尺度的求解精度时，取得单元形状函数满足问题的微分控制方程，将材料的传热突变特性反映在形状函数上，可在较小的求解规模上，取得较高的求解精度。这种采用多尺度有限元法既提高了计算精度，又节省了计算时间。

2 比例边界有限元法

比例边界有限元法是新研究发展趋势下的必然产物。该方法在求解热传导问题上，摆脱了陈旧的解析方式，结合多元解法的优点，达到高效精准的目的。比例边界有限元法只需要在求解区域的边界使用有限元网格进行离散，无需基本解，便可以精确、快速求解热传导问题。该方法最早应用在固体力学领域，并且集合了有限元法和边界元法的特点于一身。在使用比例边界有限元法进行数值计算时，该法通过在计算域引入相似中心，建立含有径向和环向的比例边界坐标系，再经过相似变换，物理变量转变成域边界点和相似中心相连的径向坐标，偏微分控制方程转变为一阶常微分方程。其在单元离散时同边界元法一样，无须在整个结构内部划分单元，只需要在计算区域的边界环向坐标方向上进行离散， 从而降低了一维的空间维度，不需要设立相应的基本解，使得计算量明显减少，而且比例边界有限元法的计算效率和模拟精度都非常高，这是由于其在辐射坐标上的解析性。该方法还有自动满足边界条件达到无限远的一大优势。比例边界有限元方法最初是为了求解无限域问题而提出的，但随着其理论发展越来越完善，它的应用范围也变得越来越广，在各个方面都取得了不错的成就。在弹性力学研究方向上，胡志强、林皋、王毅等基于Hamilton体系的弹性力学问题的比例边界有限元方法研究内容中，运用比例边界有限元的离散方法，结合弹性力学的Hamilton对偶体系，获得状态空间的控制方程，并由此得到弹性静力学的比例边界有限元的控制方程，导出静力边界刚度矩阵并求解。在静电场问题上，刘俊、林皋、王复明等学者在基于静电场分析的比例边界有限元法内容中，由于该方法辐射坐标上具有解析性，故运用这种方法不仅有较高的模拟精度，并且无限远的边界条件可以自动满足。通过以描述静电场特性的控制方程，也就是拉普拉斯方程为起点，首先建立起笛卡尔坐标系统和比例边界有限元坐标系统之间的转换关系，再通过加权余量法推导出静电场分析的比例边界有限元方程，引入特征值问题对该方程进行求解得到电位计算公式以及电场计算公式。最后通过具体的算例对该数值方法与其他数值方法得到的结果进行对比，发现该方法的精度和计算效率都远远优于其他方法。

3 有限差分法

在众多的热传导问题数值分析的方法中，有限差分法是很经典、发展很成熟的方法之一，也是解决此类问题的有效工具之一，直到现在仍然有广泛的应用。有限差分法的原理是用差商去近似的代替微商，也就是用一个具体的函数值近似的去替换微分方程中的导数。其本质上是将微分问题直接转换为代数问题的近似数值。在数值分析时，把要分析的问题的解域划分为差分网格，此网格则是由有限数量的离散点来构成，把连续的解域用有限数量的网格节点所代替，网格节点也就是构成网格的那些有限数量的离散点，通过一系列数学方法，用网格上的离散变量函数近似地替换掉连续变量函数，用差商近似地替换掉原方程和条件中的微商，即把网格节点上的具体函数值近似的替换掉控制方程中的导数，这样就可以得到以网格节点上的函数值为未知量的代数方程或者方程组，称为有限差分方程组，用它来近似地代替原微分方程和定解条件。通过解有限差分方程组，可以得到原问题在网格节点上的近似解，进一步地可利用插值等方法求得定解问题在整个区域上的近似解。张建霞、邵创新、田坤等基于有限差分法对低温防护服进行优化设计与仿真，学者们根据热传导微分方程进行了热传导建模后，发现该问题设置的边界条件较为繁复，使用解析方法分析较为困难，于是决定使用有限差分法来求解这个热传导方程，最终在Matlab平台上进行了计算与模拟验证，得到了数值结果。同样的，在林文生关于相变热传导问题的数值解及应用中，因为该问题难以得到解析解，所以选择使用有限差分法来进行数据模拟分析，最后证实了有限差分法在热传导问题上的可行性。总的来说，有限差分法在解决有关热传导的数据分析等问题上运用是可行的，是解决此类问题的得力工具。然而有限差分法也有其自身的局限性，在王秦、雷钧、谷岩等的基于时空联合广义有限差分法求解三维非稳态热传导方程中提到，传统的有限差分法过于依赖网格的划分，离散差分的过程步骤量大且复杂，从而导致编程和计算难度比较大。为此其采用了有限差分法延伸出的新方法，即广义有限差分法，最后通过对一些问题进行模拟和分析，验证了此方法是可行而且准确的。综上，在热传导问题数值分析中，有限差分法的表现是十分出色的，其优点具体表现为原理简单，应用成熟，且在各类问题上表现得很通用，甚至在无解析解等困难条件下仍然可以使用。其不足之处表现为依赖网格的建立和划分，需要预估和评价误差等。

4 有限体积法

目前，有限体积法是一种比较新的研究热传导问题的数值计算方法，其特点是既具有有限分差法的灵活性，又具有较高的精度和较好的便捷性。有限体积法在传热计算中起着重要作用，据统计，全球每年发表的相关计算传热问题的文章中约有60%使用有限体积法。有限体积法基于热积分方程，可以使用储能常数法和傅里叶定律直接从温度场的任何有限区域分析中获得。取温度场中任何一个闭合面F，将周围区域记录为V，并根据能量保存方法对该区域的热平衡进行分析，单位时间内输入和输出区域之间的热差与内部热源产生的热量必须等于该区域中物体内部能量的增加。在有限体积法中，由于使用了单元中温差的函数，结果为近似值。由于体积循环的控制方式不同，得到了不同的线性方程和分析结果，控制体积选择的效率直接取决于有限体积法计算的准确性。目前，控制矩形元素体积的最常用方法是圆形绘制方法。在有限元法中，温度场是离散的，每个方程被分解成每个单元的贡献，最终合成一系列线性方程，元素搜索法计算每个元素对单个方程的贡献，并且有限体积法，即能量方程，可以围绕每个节点进行求解和创建。受有限元法的启发，可以使用相同的单位搜索方法，首先执行单位分析，计算每个元素对每个方程的贡献，然后执行积分综合。为了得到节点温度未知的线性方程，必须为每个单元建立一个单位插值函数，单元内的温度分布必须表示为节点的温度，有限体积法与有限元法完全相同。对于矩形单元，单元中的温度分布是任意四个节点的温度的线性函数，热流的密度是恒定的。有限体积具有很多优点，但有限体积方法在某些情况下还存在一些计算误差，所以对有限体积方法的理解有待提高和细化。

5 无网格法

无网格法是近几十年分析工程问题的重要数值分析方法，其在数值计算时不需要生成网格，只需寻找一些随意分布的坐标点，然后将这些坐标点通过插值函数列出离散控制方程，从而可清晰地表达出各种复杂状态的热场。这种方法采用点的近似值，可以从根本上或一部分地消除网格，具有较强的适用性和灵活性。目前已经提出了十几种无网格法，如无单元伽辽金法、重构核粒子法、无单元伽辽金比例边界法等。但无网格法没有近似的解析表达式，而且大部分都是以伽辽金原理为基础，导致求解时计算量大、计算较为困难。最近新兴的一种无网格方法—插值型无单元伽辽金比例边界法是一种在改进的插值型移动最小二乘法框架下，结合了比例边界法和无单元伽辽金法长处的半解析数值方法。这种方法通过引入比例边界坐标系，只需在求解域的环向上进行数值离散，在径向上采用解析的方法进行计算，处理工程结构问题时拥有可观的精度与效率，且具有一定的灵活性。这主要归因于以下两点：（1）引入改进的插值型移动最小二乘插值法，使得形成的形函数具有高阶连续性，很大程度上提高了计算精度与收敛速度；（2）运用矩阵函数与Schur分解并行的求解技术，避免出现平行特征向量问题，保证了数值解的准确性与稳定性。目前这种方法已被成功应用于稳态热传导问题分析中，并通过具体的数值算例验证了其高精度的特点。王峰、陈佳莉与陈灯红等建立了以滑动Kriging插值为基础的无单元伽辽金比例边界法，并采用这种方法准确地分析了有限域及半无限域热传导问题。王晓飞、李兴国、任红萍提出了求解瞬态热传导问题的插值型复变量伽辽金法，为验证此方法在二维热传导问题中的有效性，对两个瞬态热传导的第一类边值问题运用CVEFG方法进行求解。首先运用插值型复变量伽辽金法推导二维瞬态热传导问题的控制方程，然后对该控制方程进行伽辽金积分弱离散化，经过一系列的流程实施，最后通过数值算例，对二维热传导问题进行求解，最终得出结论，对求解二维瞬态热传导的第一类边值问题，运用插值型复变量伽辽金法具有较好的拟合效果。总的来说，在用无网格法在求解二维热传导问题时，具有一定的优势。

6 结语

有限元法、比例边界有限元法、有限差分法、有限体积法及无网格法等数值方法都存在自身的优势与不足，在未来研究发展方向上，有必要不断改进方法，完善解析路线减弱缺点带来的不利影响甚至是消除缺点。其中插值型无单元伽辽金比例边界法在解决稳态热传导问题上相比其他方法具有一定的优势，说明了该方法在热传导问题分析上的可行性，故采用该方法进一步处理瞬态热传导问题将具有一定的理论意义和实际价值。