动态拣选系统下订单分批问题研究

周 丽，张 雪，杨江龙

（1.北京物资学院信息学院，北京 101149；2.首都经济贸易大学管理工程学院，北京 100070）

1 引言

拣选成本在仓储成本中占据较大比例，而应用分批策略又可进一步减少拣选作业的总时间。国内外关于订单分批的研究从未停止，研究的内容也随着解决问题方法的改变更契合实际变的更加深入。文献[1]以最小化平均有效订单服务时间为目标，构建了一个考虑订单完成期限的在线订单分批混合整数规划模型；文献[2]提出了一种能够有效求解波次分批拣选以及提高拣选效率的启发式聚类算法；文献[3]针对订单分批处理问题，运用可变邻域搜索的方式，实现最大化订单关联或最小化订单差异，以最少拣选次数实现订单的分批处理；文献[4]提出了一种订单分批处理的优化模型，将其拓展到具有多个仓库分区的情况，并提出了一种元启发式方法；文献[5]研究了拣选器路由的订单批量问题，提出了消除对称性以及显著提高线性规划松弛值的约束条件，设计了一种基于部分整数优化的启发式算法，适用于网格型布局的仓库或存储区域。

然而，关于随机性订单分析尚处在起步，虽然有的学者考虑到了随机性的影响，但大多局限在参数的引入上[6]，而把整体在线订单处理看作排队系统并与分区策略相结合的研究不多。因此，需要进一步分析分区拣选系统中随机到达的订单特性，研究考虑订单到达随机性的订单分批策略，为物流企业的基本运作提供新的思路和方法。

在随机存储策略、S型拣选路径下，将电商仓库的在线订单拣选整个过程看作一个随机服务系统，通过构建串行分区下订单分批与不分批的随机服务系统模型，将单个订单拣选系统的平均服务时间等效率指标，同批订单的相应效率指标做对比，寻找最优的分批方式，期望可以为仓储分区拣选系统的效率管理和优化控制提供决策依据，进一步丰富订单拣选随机服务系统的理论研究。

2 串行分区订单拣选随机服务系统模型

2.1 模型假设与符号说明

2.1.1 模型假设条件

在建立模型前，对这里的仓库拣选作业选取的各种策略进行描述并做相应假设：（1）仓储布局、存储与拣选路径策略：在串行分区拣选系统、随机存储策略、S型拣选路径下研究仓库到达订单分批。（2）订单情况：这里研究单个订单输入过程符合泊松分布，订单中包含的物品件数Si假设服从泊松分布。（3）服务方式：这里的订单服务规则采用先到先服务对订单进行拣选服务；分区拣选系统的每个区有一位拣选者，而若每x个订单成一批则拣选者的拣选能力一次可以完成拣选x个订单的任务。（4）分批方式：分区拣选系统按照固定时间窗分批方式进行分批。批订单的到达服从参数为λtf泊松分布，假设最初系统中无订单，随着第一个订单到达才开始服务订单，拣选者完成当前批次任务后方可拣选下批次订单。

为了进一步简化研究问题，假设建立模型的其他条件为：（1）仓库中储存货物的空间在此只考虑货架的长度，其高度不被考虑；（2）拣选作业时间除考虑拣选者行走时间外，还分析到货架上拣取物品花费的时间，拣取一件物品时间包括抓取与寻找时间，拣取货物时间设为常数；（3）每个订单间物品件数相互无关系且随机的；（4）每种货物按随机存储策略等可能的被存储在各个通道；（5）每种货物具体存储货位是均匀随机的分布于整个货架；（6）每种货物在货位的存储数量足够满足随机到达订单包含的物品数量需求，不会有缺货现象；（7）假设拣选者的行走速度设为常数。

2.1.2 模型符号说明

为了统一计算，对模型中所要用到的符号进行的定义，如表1所示。

表1 模型符号汇总表Tab.1 Summary of Model Symbols

2.2 订单不分批拣选随机服务系统模型

每个区到达的订单按其所包含的物品种类选择依次经过Z1、Zi、Zn所有n个区中的某几个区，如果订单中没有Z1区的物品，则可以直接进入Zi区进行拣选，不会涉及订单的分割。订单进入第i个区的概率为pi，订单的输入流符合λ泊松分布，则进入每个区的相当于泊松过程的分流，进入Z1、Zi、Zn区的订单输入流符合λZ1=λp1，=λpi，=λpn。

2.2.1 订单输入过程

就外部订单输入符合泊松过程进行研究，串行分区拣选系统整体的订单到达个数N(x)的概率计算方式为：

其中，λ＞0为符合泊松过程外部订单到达率的均值。

2.2.2 平均服务时间

串行分区拣选系统的订单拣选时间的计算需要考虑i个区的各自的拣选时间，整个订单的完成时间是n个区拣选时间的加和［7］。拣选行走距离记为D(S)，拣选时间由拣选距离、行走速度以及拣取每件货物时间决定，即：

基于式（2），可求出每个区的拣选时间(S)，进而可得到一个订单的期望拣选时间：

设期望拣选时间相对应拣选时间的分布为G(t)，计算得到所有订单的拣选时间υ1，υ2，…这些取值独立同分布为一组离散时间序列，记为tk(k=1，2，…kmax)。

由拣选时间的分布计算串行分区所有单个平均服务时间，记为1μ，μ为单位时间内服务的订单个数，表示单个订单依次进入串行分区系统拣选时的n个订单的总平均服务时间。

2.2.3 平均队长

把第n个订单被拣选服务完成离开串行分区系统时所留下的队长记为qn，平均队长为：

其中，串行分区拣选系统的服务强度ρ=λμ，σ2是服务时间分布G(x)的方差。

2.2.4 平均等待时间

串行分区拣选系统中在订单拣选时间υn内到达的订单数加上等待时间wn内到达的订单数即为队长qn。wn与υn独立，令Wq(x)是wn的分布，则：

再结合式（6），得到平均等待时间：

2.3 订单分批拣选随机服务系统模型

在串行分区拣选系统中按照固定时间窗方式进行订单分批。假设订单符合λ的泊松分布，只要时间长度够tf（tf为常数）则该时间段内到达的订单成为一批。此时进入Z1、Zi、Zn区的订单输入流符合

本节订单分批拣选随机服务系统模型中平均服务时间的研究思路与计算方法与上节订单不分批拣选随机服务模型中相对应的部分基本一致，本节不再赘述。

2.3.1 批订单输入过程

对于串行分区拣选系统，固定时间窗的批订单的整体输入流是符合λtf的泊松分布，批订单到达个数Nf(x)的概率计算方式为：

其中，λtf＞0为符合泊松过程外部订单到达率的均值。

2.3.2 平均队长

把第n个订单被拣选服务完成离开串行分区系统时所留下的队长记为，则平均队长为：

2.3.3 平均等待时间

根据平均队长与平均等待时间的关系以及先到先被拣选服务规则，可以求出串行分区拣选系统的平均等待时间，此部分计算流程与上节订单不分批拣选随机服务模型中相对应的部分基本一致，不再赘述，直接写出求解公式。

再结合式（10），得到平均等待时间：

综上可以得出串行分区拣选系统的批订单平均服务时间、平均队长与平均等待时间，根据这些指标可以与上节不分批拣选的方式进行对比。

3 串行分区拣选系统订单分批拣选仿真研究

3.1 仿真系统参数设计

研究人工拣选随机服务系统的订单分批问题，涉及过程较多，需对参数进行合理设计。经过实地调研某连锁超市，将仓库通道总数、货架长度、货架宽度、两排货架间的通道宽度、两个存储区域间的过道宽度以及货架的后部过道宽度分别设置为72条、6m、0.8m、1.5m、3m以及1.5m。

假定在人工拣选情况下，仓库一位拣选者行走速度V=50m/min，而拣取单件货物所花费的时间tp，经过多次参数调试的仿真验证，并根据实际情况判断选出参数数值在0.3min/件比较合适。此外，需进一步确定订单到达率以及订单中包含的货品件数。根据调研结果，发现订单到达率按泊松分布均值最大取2个/min，顾客买商品的件数一般在5件左右，因此，订单包含物品件数的均值λs按泊松分布设计为5。

3.2 仿真结果分析

分析对于串行分区的仓库布局是三个分区是水平左中右并排放置，订单依次通过三个区被拣选服务。三个分区的面积与所包含货物周转率都相同，此时每个订单的拣选时间为三个区各自拣选时间的总和。

根据仿真系统参数设计及以上信息，在MATLABR2019a软件环境下，以订单到达率为0.2个/min为例，对固定时间窗订单分批串行分区拣选随机服务系统进行仿真，从下文图表中可以看到固定时间窗订单分批操作下，服务系统各种指标的变化情况。

3.2.1 服务时间分析

当固定时间窗值＜50min时，订单的平均服务时间随着时间窗的增大而快速下降，如图1所示。当固定时间窗值＞50min之后，串行分区服务时间随着时间窗取值的变大而缓慢减小，但整体还是下降趋势。这是因为在服务时间内只有部分行走时间受分批时间窗取值的影响，而拣货时间不受影响。随着固定时间窗的逐渐增加，该时间窗内包含的订单个数也不断增多，分批后所有订单的总行走拣选距离随着时间窗的增大而逐渐减少，行走时间缩短。因此，串行分区平均服务时间呈现下降的趋势。

图1 串行分区平均服务时间变化图Fig.1 Change Chart of Average Service Time of Serial Partition

3.2.2 平均队长分析

当固定时间窗为50min时，单个订单的平均队长大约为10个，当固定时间窗为360min时，订单的平均队长大约为55个，串行分区平均队长整体随着固定时间窗的增大而增大，呈现上升趋势，如图2所示。这是因为串行分区单个订单到达必须等够规定时长后，该时间段内的订单才能成一批进入系统并依次通过三个区被拣选。随着固定时间窗的取值增加，每个订单需要等待时间也越久，相应的该时间段内等待的订单数量会越多，整体队长会变大，因此串行分区平均队长后呈现逐渐上升的趋势。

图2 串行分区平均队长变化图Fig.2 Change Chart of Average Queue Length of Serial Partition

3.2.3 平均等待时间分析

当固定时间窗为50min时，串行分区单个订单的平均等待时间大约为20.90min，当固定时间窗为360min时，串行分区订单的平均等待时间大约为174.65min，串行分区订单平均等待时间随着固定时间窗的增大而逐渐增大，如图3所示。等待时间由等待批订单形成时间和批订单形成后等待的服务时间两部分组成，随着固定时间窗的增大，每个订单需要等待的机率越大，等待一批订单形成的时间增加，总的等待时间变长，因此串行分区的平均等待时间逐渐上升。

图3 串行分区平均等待时间变化图Fig.3 Change Chart of Average Waiting Time of Serial Partition

3.2.4 综合指标分析

当固定时间窗值小于50min时，串行分区订单的综合指标随着批量的增大而快速下降，如图4、图5所示。当固定时间窗值为210min时，综合指标下降到最低点；当固定时间窗值大于210min，随着固定时间窗值的增加，综合指标逐渐上升，此时串行分区系统订单分批的最优固定时间窗为210min。不同的时间窗分批操作，实际变换的是订单成批的数量大小，以单个订单维度看，其总的订单个数是不变的，因此，单个订单平均服务时间的变化趋势与总服务时间是一致的。

图4 串行分区单个指标变化图Fig.4 Change Chart of Single Index of Serial Partition

图5 串行分区综合指标变化图Fig.5 Change Chart of Comprehensive Index of Serial Partition

继续分析订单到达率为0.08、0.1、0.2、0.5、0.8、1、1.5、2时，对应的串行分区拣选系统订单不分批和按固定时间窗分批的服务系统的指标变化情况，分别汇总，如表2、表3所示。

表2 串行分区订单不分批拣选结果汇总表Tab.2 Summary of Batch Picking Results of Serial Partition Orders

表3 串行分区固定时间窗订单分批拣选结果汇总表Tab.3 Summary of Batch Picking Results of Serial Partition Fixed Time Window Orders

其中，串行分区固定时间窗的最高限制为360min。

其中，串行分区固定时间窗的最高限制为360min。

与串行分区订单不分批的系统指标相比，虽然订单分批后的平均等待时间与平均队长都是呈现增加趋势，但单个订单的平均服务时间是呈下降的趋势，说明在串行分区拣选系统中，固定时间窗订单分批方式优于单个订单依次拣选处理方式。另外，订单到达率为0.2个/min时，串行分区单个订单处理的系统服务强度大约为94%，采用固定时间窗分批后，系统服务强度减少至39%，相当于串行分区3个区的3位拣选者在有大量休息时间的情况下即可完成这么多订单拣选任务量。

此外，只有极少数论文将整体在线订单处理视作排队系统并采用时间窗分批方式进行订单拣选。文献[8]对订单分批研究是近年来该领域中较为全面的研究，他假设订单到达是泊松输入、订单分批是先到先服务的随机服务系统（M/Gk/1），采用2-阶矩近似计算公式，依据文献[9]所设计的拣选系统的参数对模型进行了仿真计算。文献[10]又在前面的基础上进一步设计出一个基于2个分区的仓库系统模型，并计算出每个订单的平均拣选时间，估算最优批量的大小和随机订单的等待时间，仿真结果，如图6所示。

图6 不同服务时间分布的平均吞吐量时间（服务时间的近似值）Fig.6 Average Throughput Time for Different Service Time Distributions（with the Approximation Value of the Service Time）

订单成批的等待时间、服务的等待时间和拣选时间是影响订单平均吞吐量时间的主要因素。当订单批量较大时，订单成批的等待时间和拣选时间较少，但服务的等待时间可能会较多，这种情况下可以说明存在最优订单分批。在模型设计中，他们分别模拟了含有2个分区的仓库6通道、10通道、16通道的情况，虽然结果较为精确，可实际应用，但现在随着电商的日益发展，他们设计的参数和估算的最佳批量已不能满足现在仓库的需求。另外，他们并没有对仓库的两个分区进行详细的设定，例如是串行分区还是并行分区，忽略了可能存在多个订单拣选者同时在同一个拣货区拣选货物的情况，这会导致通道内过度拥挤。在所模拟的串行分区拣选系统下，拣选者只有在一个区域内完成拣选工作才会进入到下一个区域，通道数多达72条，模拟了多种订单到达率，设定的其它参数大小更加贴合现在一般电商仓库的需求，所采用的固定时间窗分批方式在提高拣选效率的同时也有效避免了通道拥挤的情况。

4 总结

分析了串行分区拣选系统下不采用订单分批方式与采用固定时间窗订单分批方式服务系统各种指标变化情况，并与其它方法进行比较分析。总的来看采用的固定时间窗订单分批操作的服务系统强度更小，大约能降低30%左右，说明固定时间窗分批方式对于串行分区是有效的，合理结果同时也说明了模型的有效性。

拣选成本在仓储成本中占据较大比例，而应用分批策略又可进一步减少拣选作业的总时间。在考虑订单到达随机性情况下研究分区拣选系统的订单分批策略，对企业而言，可以进一步提高拣选效率，优化拣选作业系统，提高客户服务满意度。而对于整个物流行业仓库拣选环节的优化，物流拣选效率的有效提升以及最大化减少物流成本而言也是很有现实意义的。