基于理论解的矩形明渠均匀层流阻力研究

姚 畅，周晓泉，周文桐，黄宇航，周芳龄

(四川大学水力学与山区河流开发保护国家重点实验室，四川 成都 610065)

在水力学中，把拥有自由表面的液体受重力驱动的流动称为明渠流。天然河道、输水渠道、渡槽等中的水流皆为明渠流[1]。研究明渠水流流动，不仅在水力学方面具有重要意义，并且在工程实际中也极其重要。在研究明渠水流流动问题时，明渠水流阻力一直是备受关注和讨论的问题。在明渠流中，阻力的影响因素繁多，比如阻力系数、宽深比、侧壁影响、床沙级配等等，这些众多因素使得众多学者前仆后继做出了大量的试验和研究。

Knight[2-3]根据试验资料得出了矩形渠道光滑壁面明渠床面阻力和两侧壁面阻力之间的相关关系，并列出了具体的计算公式。Elgamal Mohamed[4]针对Chezy公式进行修正，修正后的公式可用于计算具有加速减速流场的复杂流动条件下床层剪切应力的局部变化。Kennedy[5]提出了综合阻力问题，认为研究阻力无需区分床面阻力和边壁阻力，只需知道综合阻力的大小，为其他学者提供新的方向和思路。惠遇甲、胡春宏[6]发现无论是光滑明渠还是粗糙明渠其宽深比对阻力系数都有影响，对粗糙明渠的影响更大。杨树清[7]提出了流场中任一处所具有的机械能总是沿到边界最接近的方向向边界传递的假定，并依据该假定分别给出侧壁和床面糙率相同时以及侧壁和床面糙率不同时的切应力计算公式。胡旭跃[8]通过阻力面积划分，给出了床面和避免糙率相同时的切应力公式，同时通过分析资料表明爱因斯坦阻力公式可用于床面和边壁部分平均阻力计算。赵振国、黄春花[9]在假定矩形渠道底部阻力和边墙阻力相等的条件下，导出了矩形明渠均匀流的流速计算公式。

一维明渠、二维明渠断面流速的理论解虽然很早就开始研究，但是鲜有学者对该理论解进行解读，本文通过研究推导出的明渠断面流速的理论解，分析明渠立面阻力与床面阻力问题，同时还对矩形明渠中的湿周问题进行了探讨。

1 矩形明渠数学模型及其理论解

1.1 数学模型

一般的矩形明渠，沿程可以看成是有个坡度J的(如图1所示)，或底部倾角θ的，本文仍将流速定义为流量除以水深，相当于将流速定义为垂直水深的方向(如图2所示)，即流速方向(底部)垂直于水深方向底部垂直于水深，但底部是有坡度性质的，这样便于流动的分析。

图2 一般的解读方式

本文统一将流动方向(垂直于水深方向)定义为x方向，将水面定义为原点并沿水深H方向定义为y方向，将沿渠道宽度方向定义为z方向(如图3所示)，渠道宽为B，沿x方向有个坡度J的。

图3 矩形渠道

1.2 一维明渠

将x方向的流动假设成一个直线流动，且是均匀流，u(y，z)只是y和z的函数，水面线y=0是对称边界，可以将y=0～H对称(镜像)作镜像处理，便是y=-H～0，如图3所示，其中y=H为渠道床面(y=-H为其镜像床面)，z=-B/2和z=B/2为渠道立面一般我们理解的求解范围为z=0～B/2，y=0～H便可。

1.2.1控制方程

矩形明渠的范围在y=0～H，z=-B/2～B/2的范围，y方向为重力的方向。

因此，此流动在x方向的动量方程[10]为：

(1)

式中，ux—沿水流方向的断面流速；gx—沿水流方向的重力加速度；p—压强；ρ—水流密度；μ—动力黏度；y、z—坐标变量。

如果写成明渠流坡降J的形式，方程即为：

(2)

1.2.2边界条件

建立的数学模型的明渠边界条件[11]为：

(3a)

ux=0 ony=H

(3b)

(3c)

ux=0 onz=B/2

(3d)

当渠道宽B无穷大时，x方向的动量方程为：

(4)

边界条件为式(3a)、式(3b)。

我们将渠道宽无穷大时的矩形明渠流动称为一维的，因流速仅与坐标y有关，有宽度B的为二维的，流速与坐标y和z有关。

1.2.3一维模型理论解

一维明渠流动式(4)，边界条件式(3a)、(3b)的解比较容易给出：

(5)

式(5)的解为标准的抛物线方程，而断面(HB)总流量Q为：

(6)

1.3 二维明渠

1.3.1控制方程

二维明渠流动式(2)是标准的泊松方程，我们先将其转换为拉普拉斯方程，并设定：

(7)

将式(7)代入式(2)、式(3)中，我们得到：

(8)

1.3.2边界条件

相比于一维明渠，二维明渠的边界条件变为：

(9a)

u’x=0 ony=H

(9b)

(9c)

(9d)

1.3.3二维明渠理论解

上面的拉普拉斯问题便可以用分离变量法求解(过程略)，且解为：

(10)

则求得二维明渠的断面(HB)总流量Q为：

(11)

2 一维、二维明渠阻力求解

2.1 一维矩形明渠阻力分布

对渠道无穷宽的明渠，对式(5)求导，有：

(12)

(13a)

式(13)表明均匀流时河床的阻力(切应力)同位置无关，只是水深H和坡降J的函数，或者说明了明渠均匀流一个重要的原则，阻力同重力分量匹配，处处切应力一样。宽度B的河床阻力Fb为：

Fb=τbB=-ρgHBJ

(13b)

2.2 二维矩形明渠阻力分布

对于一般有限宽度的明渠流，根据矩形明渠流速分布理论解式(10)，可以求得壁面切应力及其分布，对于床面y=H，对式(10)求导，有：

(14)

(15)

由式(15)便可以求得床面任意位置的切应力：

(16)

显然，矩形明渠的床面切应力处处不一样，且为z的函数。床面总受力可以通过积分求得：

(17)

对于渠道立面z=B/2，对式(10)求导：

(18)

(19)

立面切应力为：

(20)

所以同样，立面上切应力τs处处不一，都是水深y的函数，立面总受力为：

(21)

将底面和两个立面的受力相加，即式(16)与式(20)相加，可以得到总受力F：

(22)

式(22)同样表明，阻力必须同重力分量匹配。

2.3 不同宽深比下床面与立面阻力比较

τ=-ρgRJ

(23)

通过矩形明渠切应力分布可以求得不同宽深比渠道的床面(式(17))和立面(式(21))的受力，现统计如下表，表中令式(17)、(21)中的ρgH2J=1，而求得的相对值：

由表1，可知矩形明渠的宽B不能和2H相加，因为阻力比Fb/2Fs与宽深比B/2H严重不相关，当B/2H>1时床面平均阻力大，B/2H<1时边壁立面平均阻力大，只有当B/2H=1的唯一条件下，立面与床面的平均阻力一致。所以在矩形明渠流动中，湿周计算X=B+2H是不严谨的，因此由此得到的水力半径R也缺乏严谨性，只能作为近似的估算。

表1 不同宽深比条件下床面与立面阻力比

3 对湿周的解读

水力学中的湿周问题常常遇到，它最初来源于管流，特别是圆管内的流动[12]。圆管内的流动，特指管内满流时，这时管内流动可以看成是轴对称的，在均匀流状态下，管壁内处处切应力τ一样，因此可以有湿周X=πD，管截面积S=πD2/4，对其均匀流作受力分析，仍然可以得到：

τX=ρgJS

(24)

所以有

τ=ρgJR

(25)

R=S/X=D/4

(26)

湿周X和水力半径R对圆管是成立的，因为切应力处处一样，故湿周可以相加。但对于矩形明渠却不成立，不管在底面b还是立面s，处处不一样，且平均切应力也不一样(B=2H时是唯一的例外)，故床面的长度或立面深度方向的湿周是不能相加的，所以水力半径也是有问题的，除非渠道宽为无穷大时可以。

4 结语

本文从明渠均匀层流理论解入手，推导出一维、二维明渠的流速、流量公式，在此基础上探寻一维明渠、二维明渠中的阻力分布。根据推导出的床面、立面任意位置的切应力公式分别为渠道宽度方向z、水深方向y的函数，并且矩形明渠的床面、立面切应力各处均不一致。通过对比不同宽深比(B/2H)下的床面与立面阻力比(Fb/2Fs)，可以发现只有在宽深比等于1时，床面阻力才与立面阻力相等。

本文研究结果反映了矩形明渠层流的阻力特性，针对湿周提出了新的解读，湿周X和水力学半径R是否适用在矩形明渠流动中还需继续研究。