虚拟孔径高分辨测角方法

徐彦钦，崔国龙，余显祥，葛萌萌，杨晓波

(电子科技大学信息与通信工程学院 成都 611731)

波达方向(direction of arrival, DOA)估计作为阵列信号处理中的一个研究方式，已经被广泛应用于雷达探测、无线通信、电子侦察等领域[1-3]。DOA估计的分辨率主要受限于阵列孔径，天线阵元个数或阵元间距的增加可以有效增大阵列孔径，提高DOA 估计的分辨率[4]，但同时也极大增加了天线阵列的物理尺寸、复杂性以及成本。

文献[5-7]研究出虚拟天线阵列技术可以在不改变物理阵列的前提下形成虚拟孔径，从而增大阵列孔径，获得更高的角度分辨率。文献[8]通过联合未经调制的接收信号及经过调频、调幅和调相等处理的接收信号，形成虚拟阵列接收信号构造出较大的虚拟阵列孔径。文献[9]通过虚拟阵列变换，将实际物理阵列变换为阵列孔径更大的虚拟阵列，提高了DOA 估计精度，但该方法性能受观测区间影响。文献[10-12]利用高阶累积量的统计特性增加虚拟阵元实现阵列扩展，有效扩大了阵列孔径，但该方法需要较多的快拍数，运算量大，且形成的虚拟孔径大小有限。文献[13-14]提出了一种基于Khatri-Rao (KR 积)的虚拟阵列构造方法，使得虚拟孔径大小最多提升至实际物理阵列孔径的两倍。文献[15-18]采用线性预测的方式进行虚拟阵元的外推，从而实现了DOA 估计的高分辨性，但其外推虚拟阵元个数有限，且受信噪比影响较大。文献[19]通过合成孔径(synthetic aperture radar, SAR)方式形成虚拟孔径，在汽车雷达体制下实现了运动目标的超分辨DOA 估计，然而该方法模型较为简单，无法满足实际汽车运动场景。而多输入多输出(multiple input multiple output, MIMO)雷达作为一种典型的具备虚拟孔径特征的雷达体制，其构建的虚拟孔径的大小取决于发射阵元个数、接收的阵元个数以及阵元间距[20]。

为了形成更大的虚拟孔径，本文提出了一种基于信号宽频跳变相位补偿的虚拟孔径重构方法。首先建立宽频跳变信号的接收信号模型；然后对各频点的窄带接收信号加入补偿相位进行虚拟孔径重构处理，从而形成远大于实际物理孔径的虚拟孔径，其频点个数越多，形成的虚拟孔径越大；最后，采用单快拍的空间非均匀傅里叶变换实现高分辨DOA估计。

1 信号模型

假设由单个天线分时发射如图1 所示的宽频跳变信号，该信号有N个频点，采用步进频方式，则发射信号可表示为：

图1 宽频跳变信号示意图

式中，s(t)为 第i个 频点信号的复基带包络；f0为信号起始频率；fN−1为 终止频率；Δf为频率步进间隔；fi=f0+iΔf为第i个 频点；τ为各频点信号持续时间；TP为 载频间隔时长；r ect(t/τ)为矩形函数。

考虑由M个阵元组成的均匀接收线阵，其间距为d，假设从空间远场观察到有K个方向的宽频跳变信号(k=1,2,···,K)入射到该阵列，且每个入射的宽频跳变信号都由N个频点的窄带信号sk(t)ej2πfit(i=0,1,···,N−1) 组成，则N个频点的阵列接收信号可表示为：

式中，[·]T表 示转置操作；sk(t)为第k个宽频跳变信号中的复基带包络；xi(t)为 频点fi处的接收信号向量；vi(t)为M个阵元的高斯白噪声矢量，满足均值为零，方差为；θk为 第k个信号的入射角度；向量ai(θk)表示第k个信号在频率点fi处的导向矢量，定义为：

式中，φi(θk)=2πdsin(θk)/λi为频率fi处的空间相位；λi=c/fi为载波波长；c为光速。

2 基于虚拟孔径的高分辨DOA 估计

2.1 虚拟孔径重构原理

根据式(3)的导向矢量模型，可知空间相位φ与阵元间距d的变换关系为：φ=2πdsin(θk)/λ。根据此变换关系，若在接收信号中加入补偿相位 φ，可得到平移间距：

式中，dmove为物理阵列与虚拟阵列之间的平移间距。

对N−1个频点的接收信号分别加入不同的补偿相位 φi，使得物理阵列在不同频点处产生不同的阵列平移di,move，以此达到阵列扩展的目的，从而实现虚拟孔径的重构。

假设在第n次采样快拍中，对第k个宽频跳变信号进行相位补偿，其中第i个频点信号的补偿相位为 φi，如图2 所示。

图2 虚拟孔径重构示意图

最后对补偿后的N个频点信号进行重构排序。则第k个宽频跳变信号在虚拟孔径上的接收信号向量可表示为：

2.2 相位补偿原理

图3 相位补偿的虚拟孔径重构框图

对第一个频点信号的导向矢量a1(θk)分析可得，向量a1(θk)可 等效为复正弦信号的M次时域采样序列，其信号频率为f=dsin(θk)，采样间隔为1 /λ1。因此，各频点的导向矢量可等效为周期是T=1/f的复正弦信号的M次时域采样序列，且第i个频点的采样间隔为1 /λi，如图4 所示。其中，第i个频点的导向矢量ai(θk)对 应的M个采样值yi(n)表示为：

因此，第i个采样序列可表示为：

将所有频点的采样序列yi(i=0,1,···,N−1)在时序上直接排列成一组间断的非均匀采样序列y=，同时定义y为虚拟导向矢量等效的采样序列。其中，y的 实部采样序列如图4所示。

图4 采样序列 y的实部采样时序图

在上述采样时序中，各频点的采样序列起始采样值为1，且第M个采样值为 e−j2πf(M−1)/λi。对序列yi的 起始采样值加入补偿相位值 φi，使其等于序列yi−1的 第M个采样值。由于加入相位补偿后，序列yi在 时序上进行平移，从而连续地拼接在序列yi−1之后，因此，加入N−1个补偿相位后，各频点的采样序列能完全重构为连续的复正弦信号的采样序列，如图5 所示。

图5 重构后虚拟导向矢量的实部采样时序图

以y0、y1为 例，对y1的采样序列进行相位补偿后，有：

可得到y2采 样序列对应的补偿相位φ1=2πf(M−1)/λ0=(M−1)φ0(θk)。此时，补偿相位为第零个频点信号在第1 个阵元与第M个阵元之间的空间相位差。

再对y2进行相位补偿，即：

可得到y2对应的补偿相位为：

同理，可推导出采样序列yi的 补偿相位 φi是第1 个阵元与第M个阵元之间的空间相位差，并依次相加：

通过比相单脉冲测角法[21]可得到阵元1 与阵元M之间的相位差 Δψi−1=(M−1)φi−1(θk)，然后对空间相位差依次相加，即可得到各个频点信号的补偿相位：φi=Δψ0+Δψ1+··· +Δψi−1。

为保证采样序列重构的连续性，本文对后N−1个 采样序列中的前M−1个采样值进行相位补偿，使其重构为复正弦信号的时域采样序列y¯，其采样个数为N(M−1)。定义y¯为等效的虚拟导向矢量：

综上所述，通过对各频点信号进行相位补偿，使得物理孔径重构为更大的虚拟孔径，从而获得更高的角度分辨，其孔径大小主要取决于重构频点个数N。虚拟孔径重构算法的具体步骤如下：1)测量前N−1个 频点信号在第1 个阵元与第M个阵元间的空间相位差；2)取各个频点导向矢量前M−1个值进行排列，形成采样序列；3)将测量得到的空间相位差作为补偿相位 φi加入到采样序列，使其重构为一条复正弦信号的非均匀采样序列；4)得到虚拟导向矢量。

2.3 多目标相位补偿性能分析

在单目标的相位补偿原理中，可知补偿相位与目标角度有关，本节对多目标的相位补偿进行性能分析。假设阵列接收到来自 θ1、θ2方向的两个入射信号，则式(2)中的第i个频点的接收信号在第n次的采样快拍模型可表示为：

同理，第i个频点的补偿相位 φi可表示为：

根据式(16)，可知 e−jφ1由两个相位差叠加形成，因此，加 入补偿相位 φ1后，可得到导向矢量如下：

式(18)中，前两项分别为不同目标的导向矢量通过相位补偿重构形成的虚拟导向矢量，而最后一项为多余的交叉项。在此交叉项中，由于补偿相位中的角度与目标导向矢量的角度不匹配，因此会对DOA 估计性能以及其旁瓣形状造成不同程度的影响。

3 仿真结果

本节主要通过仿真实验分析评估所提方法的有效性及性能。设置阵元个数为M=16，其余参数如表1 所示。

表1 仿真参数表

3.1 单目标场景

假设单目标的入射角度为 θk=20°，信噪比设为 20 dB，采用相位补偿的方法对各频点信号向量进行虚拟导向矢量的重构。图6a 表示了第一个频点a1(θk)的实部采样序列，而图6b 表示了前4 个频点重构之后的虚拟导向矢量的实部采样序列。

从图6b 的仿真结果可知，对前4 个频点导向矢量进行补偿相位后，能有效地将采样序列重构为一个更长的正弦信号的采样序列，此序列为虚拟导向矢量的采样序列。由于不同频点序列采样间隔不一致，所以该序列是一个非均匀的采样序列。

图6 重构前后导向矢量的实部采样序列对比图

接下来，对虚拟孔径重构的接收信号进行空间非均匀傅里叶变换。图7 表示了对虚拟导向矢量进行空间非均匀傅里叶变换的归一化DOA 估计图，其中虚线为物理孔径的DOA 估计图，实线为虚拟孔径的DOA 估计图。

图7a 的虚拟孔径使用了4 个频点进行重构，然后使用虚拟孔径进行DOA 估计，其中物理孔径方向图的主瓣宽度约为 6.8°，而虚拟孔径DOA估计图的主瓣宽度约为1 .8°，其角度分辨率大约提高了4 倍。图7b 的虚拟孔径重构了10 个频点，其主瓣宽度能达到 0.7°，角度分辨率大约提高了9倍。因此，在单目标的场景下，通过虚拟孔径的重构可有效地提高角度分辨率，其提升的倍数约为重构的频点数。

图7 空间非均匀傅里叶变换的DOA 估计对比图

3.2 多目标场景性能分析

假设阵列接收到两个信号，其入射角度分别为θ1=20°、θ2=25°，信噪比均为 20 dB，同样使用单目标的相位补偿方法对两目标的各频点导向矢量进行重构，从而构建虚拟孔径。图8 为重构了4 个频点的导向矢量后的归一化DOA 估计图。

图8 两目标空间非均匀傅里叶变换的DOA 估计对比图

由图8 可知，实际的物理孔径已无法有效区分两个目标，而通过单目标的相位补偿方法重构形成虚拟孔径，可有效地分辨出角度相近的两个目标，其DOA 估计的角度分别为1 8.8°、2 6.3°。但由于交叉项的影响，DOA 估计角度与实际目标角度存在1°左右的误差。

若设置阵元个数为M=50，其目标角度分别为θ1=20°、θ2=21.5°。图9 为重构了10 个频点导向矢量的DOA 估计对比图，从图中可知，通过虚拟孔径的重构，有效地实现了目标角度相差1 .5°的分辨，同时由交叉项带来的误差仅有 0.4°左右。所以，其角度分辨率也会受实际物理阵元个数的影响，物理阵元越多，由交叉项引起的多目标DOA估计误差越小。

图9 两目标空间非均匀傅里叶变换的DOA 估计对比图

4 结束语

本文针对阵列孔径有限而导致DOA 估计角度分辨率较低的问题，通过利用虚拟孔径重构的思想，提出了一种基于信号宽频跳变的相位补偿虚拟孔径重构方法。通过对宽频跳变信号的各个频点进行相位补偿，使物理阵列发生平移，然后进行虚拟孔径重构，实现了虚拟阵列的扩展，从而达到了形成远大于物理孔径的虚拟孔径的目的，有效地提高了DOA 估计的分辨率，且计算较为简单。通过仿真实验和数值分析，证明了该方法的有效性。