关注模型建构 凸显深度学习

赵销燕

【摘   要】小学数学教学不但要关注学生数学知识的习得，而且要关注学生数学思想方法的培育。模型思想是重要的数学思想方法之一。学生经历数学模型的建构过程，可以深度理解数学知识，发展和提高思维能力。以“归一问题、归总问题”的教学为例，教师可通过建构指向图式表征的图式模型、指向思维表达的思维模型和指向知识建构的知识模型，帮助学生加深对数学问题本质的理解，进而感悟模型思想，提升数学素养。

【关键词】数学模型;深度学习;图式模型;思维模型;知识模型

一、理性思考

建模是数学核心素养中十分重要的组成部分，通过建立模型解决问题，感悟模型思想，是学生体会数学与生活联系的有效途径，建立模型也是数学应用和解决问题的核心。以“归一问题、归总问题”的教学为例，笔者进行了如下思考。

（一）基于图式模型：抽象→可视

图式模型就是将问题提供的信息用图式表征出来并在脑中进行建构的数学模型。根据小学生年龄和思维的特点，他们在认识概念、解决问题等数学学习中都离不开直观图像的支撑，而形象的“图式”就发挥着不可估量的作用。在教学中可以从图式表征入手，帮助学生在“抽象”和“可视”之间架起桥梁，以便更清晰地表明数量之间的关系，从而建构问题的模型。

（二）基于思维模型：粗浅→深刻

思维模型就是由形象的符号、图形和结构化语言等要素组成的可视化模型。数学深度学习特别强调把握数学本质，而清晰的思维过程是数学模型建构中最核心的部分，所以应引导学生在图式表征的基础之上，揭示图式背后隐含的思维路径，以形成解决问题的思维模型。在教学中以思辨为支点，深度剖析问题的特征，帮助学生从本质上理解问题的内部结构，由此达到融会贯通的目的。

（三）基于知识模型：分散→结构

知识模型就是将知识进行形式化和结构化抽象建构的数学模型。在数学知识体系中，各个知识点之间既有相对独立性，又有相互关联性。教师要有意识地引导学生从多个维度对所学知识进行比较和整理，了解它与前后知识点之间的联系与区别，使分散的知识点在脑海中连成线、结成网，建构完整的知识模型，形成整体性知识结构。

二、实践研究

笔者以“归一问题、归总问题”的教学为例，从建构指向图式表征的图式模型、指向思维表达的思维模型和指向知识建构的知识模型三个方面探讨如何帮助学生加深对“归一问题、归总问题”本质的理解，感悟模型思想，提升数学素养。

（一）聚焦图式模型：多元化表征，凸显图式结构

图式表征是指学生在阅读文字材料的基础上，根据问题所提供的条件和自身已具备的知识经验，将抽象的数学概念、数学规律、较复杂的数量关系等通过清晰的图式表示出来，从而对数学知识有比较形象、直观、整体的认识和理解。结构化的图式，凸显了数学模型的形式化意义，它能直观地表示题意，有序地表示数量之间的关系，从而引导学生逐步形成解题的策略。

1.示意图过渡到线段图，助力结构清晰化

小学阶段的学生已经具备了一定的图式表征能力。在数学问题的图式表征中，主要涉及示意图、线段图两大类。相对而言，学生关于示意图的生活经验更为丰富，所以大多数学生会选择用简单的示意图来表征题意。但其实在“倍的认识”的教学中学生对线段图已经有了一定的接触和了解，因此在“归一问题”的教学中可以顺势借助迁移能力将示意图逐步过渡到线段图。

在“归一问题”的教学中，教师呈现例题：“妈妈买3个碗用了18元。如果买8个同样的碗，要用多少钱？”（人教版教材三年级上册第71页例8）让学生画图表征题意，学生主要呈现了以下几种情况（如图1）。

反馈时，教师组织学生先对前三幅图进行评价，明确画图要完整，表示题意不能遗漏信息或问题。再着重观察后两幅图，探讨从“同样的碗”中怎样提取、归纳共同的特点，即每只碗的单价不变。在归纳的基础之上，引导学生的理解从示意图表征法过渡到线段图表征法，并建立线段图与示意图、文字、算式之间的联系，明确碗的单价不变，在线段图中要用等长的线段表示，逐步清晰并构建归一问题的图式模型（如图2）。

从示意图逐步过渡到线段图，不仅发展了学生用图式表征题意的能力，也为下一课时“归总问题”的学习积累了丰富的经验，促使数学模型结构更清晰地呈现。

2.一维图延伸至二维图，促进表征多元化

用线段图表征帮助学生把抽象的文字变成直观的图式，使他们的思维过程有了形象的外显。但是，单一的图式表征会限制学生对模型的理解和更深層次的建构。因此，在后续的学习中可以进行图式的多元表征，从一维的线段图延伸到二维的几何图，来实现空间上不同维度的思考，让学生在多元表征中完成对问题的直观原型的理解，加深对模型的感悟。

在“归总问题”教学中，主要也以线段图进行表征。教师呈现例题：“妈妈的钱买6元一个的碗，正好可以买6个。用这些钱买9元一个的碗，可以买几个？”（人教版教材三年级上册第72页例9）着重解读“这些钱”的含义，把关注点聚焦到“怎样用线段表示总量相等”上。学生主要呈现了以下几种表征困难（如图3）。

引导学生展开讨论：妈妈买碗的总价钱不变，用来表示这些钱的两条线段应该画得一样长。帮助学生梳理画图步骤和信息之间的内在联系，更全面地表达题意，逐步构建归总问题的图式模型（如图4）。

在后续的练习中补充二维的几何图（如图5）来表征“归总问题”，引发学生不同维度的思考。教师以“在图形中也有这样的数学问题。它与前面线段图的表示方法有什么相同和不同的地方”等问题，引导学生观察并思考。

在几何图表征法和线段图表征法之间建立联系，丰富了模型的表征形式，让学生在收获解题方法的同时，也积淀受益终身的数学思想方法，最终促进核心素养的养成。

（二）聚焦思维模型：结构化思辨，揭示思维本质

数学模型的建构是在学生原有认知水平上进行的，是一个逐步“数学化”的过程。在教学中应抓住恰当的时机，运用合适的方式引导学生经历整个模型建构的过程。让学生从问题间的联系和矛盾中理解问题的本质，通过观察、分析、概括等方式，在某种程度上克服思维定式，深刻地理解数学问题，亲身经历“模型化”的过程，拥有真正的学习体验。

1.结构化习题对比，拓展思维宽度

拓展思维宽度需要建立在学生已有思维经验的基础之上，因此，教师需要帮助学生在结构化的习题之间不断地进行对比与沟通，引导学生多方位、多角度、多路径地思考问题，让学生多探究、多讨论、多思辨，有针对性地训练学生的思维，帮助学生更好地融合新知和旧知，找到思维背后所存在的共同点与差异点。

在“归一问题”例题教学之后，教師可将例题进行改编（如图6），通过说题意、讲思路、辨算法等形式，对比这一题与例题的异同，让学生明白例题要求的是“买8个这样的碗需要多少钱”，而此题要求的是“30元钱能买几个这样的碗”，但不管最后要解决的是什么问题，都需要先求出一个碗的价钱，因为碗的单价是不变的。学生由此感悟到虽然两题看上去稍有不同，但其实它们的基本模型是一样的。通过这样有结构的习题对比，突出了“归一问题”的结构特点与解题规律，学生的模型思想得到了有效提升。

结构化的习题对比，帮助学生明晰了习题呈现方式上的异同，促使学生在脑中形成全新的知识链，从而更为深入地感悟模型，提升解决问题的能力。

2.结构化材料梳理，挖掘思维深度

寻求问题的内在规律，揭示问题的本质，这需要学生不断地对不同的数学问题进行比较和分析，在不同的情境中寻找相同的模型结构。此时教师应为学生提供结构化的材料，让学生能够主动运用数学模型去观察、比较、梳理一类现实问题，寻找不同数学问题之间的异同，找到不同问题中的本质属性，进而窥探到数学模型的影子，深刻理解数学模型思想。

在“归总问题”的教学中，通过例题的学习，学生已经感知到解决问题的关键是先求出总价钱，因为总价钱不变。接下来将结构相似的习题采用不同的情境进行呈现（如图7）。通过对比、分析，建立数与形之间的关系，学生发现题中的总量都像例题中的总价钱一样保持不变，所以解决这类题的关键点都是先求出它们的总量，比如书本的总页数、学生的总人数、图形的总面积等等。学生发现“抛开情境，这类问题的本质与结构其实都是一样的”。

将看似独立的若干问题提炼成一类问题原型，促使学生跳出情境看本质，从而进一步深化“归总问题”的思维模型，实现深度学习。

（三）聚焦知识模型：多维度沟通，内化知识联系

教师在教学中应有全局观，要考虑到本节课的知识与前面已学的知识之间有怎样的关联，本节课的知识对后续学习的知识发挥着怎样的作用，如何设计结构化的教学，让前后的数学知识相互融合……只有系统整体地加以掌握，才可能将知识转化为能力，使得学生在学习知识的过程中发展思维，提升素养。

1.横向联系，促使知识立体化

横向联系的学习就是指通过知识的组合串联，将相关联的知识点进行对比迁移，从而了解知识点之间的内在差异，达成新知和旧知的融合，避免认知上的局限与狭隘，从而更好地把握数学的知识结构和方法结构。

“归一问题”和“归总问题”是一组相关联的数学问题。当学生已经熟悉了两类问题的基本模型后，教师可引发学生深入思考，虽然例题使用的都是同样的购物情境，但数量关系和模型结构是完全不同的，因此解决问题的方法也不同。“归一问题”中单一量不变，也就是前后两次的商一定，□÷□=□÷□，所以要先求单一量;而“归总问题”中总量不变，也就是前后两次的积一定，□×□=□×□，所以要先求总量。课堂上学生借助学习经验，给这两类问题分别命名为“每份数不变问题”和“总数不变问题”，可以看出，他们已经在这样的模型对比中强化了对这两类问题的认知。

这样的横向联系，促使学生将所学知识放到全局、整体中去思考，将前后的知识进行立体沟通，这样学生对数学问题的理解才会更深刻。

2.纵向沟通，推动知识系统化

数学知识之间有着内在的逻辑关系，前面知识是后续知识的基础，后续知识又是前面知识的发展与延伸。纵向沟通的学习就是将原本分散的、孤立的知识点进行联系与整合，逐步形成整体、系统、结构化的知识串，形成螺旋上升的知识结构体系，让数学学习变得有厚度。

“归一问题”和“归总问题”是后续进一步学习用正比例、反比例解决问题的重要基础。在课堂上结合图式将知识点进行有深度的延伸和沟通，学生在学习正比例、反比例知识时，就能追溯它们之间的联系，从而形成系统化的知识体系。

在“归一问题”的练习环节，教师以表格形式呈现习题（如图8），学生发现，每天读的页数一定，读的天数越多，总页数就越多;读的天数越少，总页数就越少。

在“归总问题”的教学中，学生已求出用这些钱买9元一个的碗，能买4个。教师将线段图进行调整（如图9），追问：还是这36元钱，如果每个碗12元，还买得了4个吗？如果每个碗18元呢？学生发现，碗的单价越贵，买到的数量就越少;碗的单价越便宜，买到的数量就越多，因为题中始终用的是“这些钱”。

像这样借助数与形的变式，上下联通，既挖掘了教材本身蕴含的知识内容，又让学生深刻感知了知识点之间的联系，为后续学习做好了渗透和铺垫，实现了知识的系统化与思想方法的结构化，帮助学生深刻理解模型。

数学是从现实生活中抽象出来的，数学模型则是沟通数学与生活之间联系的重要工具。模型的建构可以促使学生学会从数学的角度看待问题，并用数学的思维方式去分析问题和解决问题。“数学建模”已经成为新课程改革的一个重要方向和主要内容，一线教师应高度重视数学建模方法的深入研讨和归纳总结，从真正意义上促使学生核心素养的养成。

参考文献：

[1]葛素儿.指向思维可视化的数学概念教学[J].教学月刊·小学版（数学），2020（1/2）.

[2]杨豫晖.义务教育课程标准（2011年版）案例式解读·小学数学[M].北京：教育科学出版社，2013.

（浙江省杭州市富阳区富春第六小学    311400）