“初见函数”教学设计和思考*

仓万林 (江苏省江阴市要塞中学数学写作工作室 214432)

1 学情分析

教学对象是三星级普通高中高一学生，数学基础一般，刚刚进入高中不到一个月的时间，处于从初中到高中数学学习的转折阶段．

2 教材解读

本节课是第三章“函数的概念与性质”第一节内容．函数是高中数学的核心概念，也是普通高中人教A版数学教材第一册的主体内容，包括函数概念和性质、常见类型的函数(幂函数、指数函数、对数函数和三角函数).因为函数是贯穿高中数学课程的主线，所以函数内容在高中数学课程中具有奠基地位，对培养学生的数学抽象、直观想象、数学运算和数学建模等素养有重要意义．

教学目标 (1)阅读函数历史相关材料，感受函数概念的发展脉络，用集合语言和对应关系刻画函数；(2)了解构成函数的要素，会求简单函数的定义域；(3)了解函数的主要内容和学习方法，提升逻辑推理等学科核心素养．

教学重点 函数的概念和函数概念理解．

教学难点 函数概念中对应关系f和函数记号y=f(x)的理解．

3 过程实录

(课前循环播放视频：函数历史人物)各位同学，下午好，今天我们一起“初见函数”(课题取自清代著名词人纳兰性德的词：“人生若只如初见”)．

3.1 教学环节1：漫话函数

函数是中学数学中最常用也是最重要的概念，已经有三百多年历史．17世纪中叶，数学从常量数学发展到变量数学时期，函数的概念应运而生．1637年前后，法国数学家笛卡尔(图1)在《几何学》中已注意到一个变量y对另一个变量x的依赖关系，这是函数思想的萌芽．17世纪后期，牛顿、莱布尼兹(图2)出场．1694年，莱布尼兹首次使用function(函数)表示“幂”，如x,x2,x3都叫函数．牛顿在讨论微积分时，使用“流量”来表示变量间的关系．

图1 笛卡尔

1718年，瑞士数学家约翰·贝努利(图3)对函数概念进行了定义：“由任一变量和常数的任一形式所构成的量”．变量x和常量构成的式子都叫做x的函数．函数从此进入解析式时代．1837年，德国数学家狄利克雷(图4)认识到如何建立x与y之间的对应关系无关紧要，因而创立了现代函数的正式定义：“如果对于x的每一个值，y总有一个完全确定的值与之对应，则y是x的函数．”这个定义抓住了概念的本质属性．初中函数的定义就是这个版本．

图3 约翰·贝努利

20世纪初，德国数学家康托尔(图5)创立的集合论在数学中确立了重要地位，数学家们用“集合”和“对应”的概念给出了近代函数定义．现在高中课本采用的就是这种形式．

图5 康托尔 (1845—1918)

一般地，设A,B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x∈A．其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．

如今是一个大数据的时代，算法为王，苏教版教材上的函数概念解读方式如图6，秒懂．

图6 图7 李善兰(1811—1882)

函数(function)，由中国的数学家李善兰(图7)翻译．李善兰十分贴切地创译了大批科学名词，如代数学中的代数、函数、常数、变数、系数、已知数、未知数、方程式、单项式等．

设计意图通过函数历史的梳理，使学生体会到函数的历史就是一个函数内涵不断被挖掘、丰富和精确刻画的历史过程，同时也可以看出数学并非生来就有、一成不变，数学也在与时俱进．

3.2 教学环节2：概念理解

为什么高中把“对应”叫做函数，而初中把y叫做x的函数呢？高中将函数的记号写成“y=f(x)，x∈A”，y=f(x)的形式颇令人费解．

f(x)=4x与f(t)=4t，甚至f(2x)=4(2x)都表示同一对应关系(表示一个函数)：□→4×□，意味着将任一实数扩大到原来的4倍，与选用什么字母表示输入值没有关系．

函数，作为对应关系，实现了“将每一个输入值x变为与之对应的唯一输出值y”的功能．好像把猪送进一种机器加工，出来后变成令人垂涎的“香肠”(图8)．函数，就如同香肠加工的机器，实现了“变猪为香肠”的功能．

图8

有正向的函数加工过程，反过来就有反函数，我们可以把猪变成香肠，但反过来不一定能做得到．一个函数是否存在反函数是要看是否具备了一定条件的，后面我们会继续学习．

设计意图通过简单的案例，从不同的视角认识函数对应的本质，复合函数和反函数的出现更能体现对函数对应本质的理解．

3.3 教学环节3：内容扫描

(1)函数的概念

一般地，设A,B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x∈A．

函数的定义域、对应法则、值域称为函数的三要素，当定义域和对应法则确定之后，值域也就确定了．判断两个函数是否为同一个函数，只要看函数的定义域和对应法则是否相同．

例1(人教B版第一册第87页)求下列函数的定义域：

例2下列函数中哪个与函数y=x是同一个函数：

例题讲解(略).

(2)函数的性质

在初中原有函数性质基础上作进一步抽象和延伸．

·单调性

如图9，一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I：如果∀x1,x2∈D，当x1

图9 图10

如图10，一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I：如果∀x1,x2∈D，当x1f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减．

·奇偶性

如图11，一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有-x∈I，且f(-x)=f(x)，那么函数就叫做偶函数．

图11 图12

如图12，一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有-x∈I，且f(-x)= -f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．

·周期性

如图13，一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x)，那么函数f(x) 就叫做周期函数．非零常数T叫做这个函数的周期．

图13

设计意图让学生了解函数研究的主要内容，同时掌握简单函数的定义域的求解方法，会辨析两个函数是否为同一个函数，兼顾眼前的“苟且”与“诗和远方”．

3.4 教学环节4：学习指南

设计意图立意在引领学生从方法角度审视高中数学学习．

3.5 课堂小结(略)

3.6 课后作业

(1)阅读课本相关内容，完成第72页习题3.1练习1～4．

(3)(选做题)数学阅读与写作题：阅读函数等相关材料，写一篇题为《函数面面观》或者《邂逅函数》的文章，文体不限，可以参考微信公众号“数学写作”中的学生作品．欢迎投稿至：sxxzlm@163.com，优秀稿件可以在微信公众号“数学写作”推送或者推荐到数学杂志发表．

设计意图作业1，回归课本阅读，培养学生的自学能力．作业2，狄利克雷函数是体现函数发展的重要经典函数之一．作业3，数学阅读与写作题，意在引领学生关注数学阅读和写作．同时，“邂逅”在语境上对应前面的初见，再次点题．

4 教学思考

本次《中学数学月刊》“走进课堂”活动，同时也是“数学写作”学校联盟“进入课堂的数学写作”系列活动之一，在前期，已经有6篇教学设计和思考的系列文章发表．下面从本节课的课型确定、设计思路、内容选择等方面呈现笔者的思考．

4.1 对章节起始课的理解

章首课，是一种新型教学形式，其基本目标是让学生对即将学习的内容有一个宏观的了解，对整章知识结构进行初步的思维建构，促进学生有意义的学习．随着课程改革的不断深入，教与学的行为逐渐聚焦“核心素养”，我们越来越重视教学过程中的返璞归真．课本中章头图、章首语等隐性课程元素也逐渐体现出应有的教育价值，于是在传统课型之外，章节起始课应运而生．虽然章节起始课的研究和实践时间不是很长，但其重要性和价值正逐渐为广大一线教师所慢慢接受．事实上，章节起始课的教学可以促进新知识的学习，具有先行组织者的作用．章节起始课教学能够帮助学生构建良好的数学认知结构，掌握基本的思想方法，感受数学应用的广泛性，对培养学生的数学核心素养大有裨益，应得到足够重视．

4.2 本节课的设计思路

本节课选用了“4W”设计法，紧紧围绕是什么(what)、为什么学(why)、学什么(what)和怎么学(how)四个环节展开，让学生整体把握全章的相关背景知识、知识内容之间的相互联系、逻辑体系以及知识背后的文化与应用，明晰本章的学习特点和学习方法．[1]

章节起始课的设计应追求大利益、高境界，勾勒出特定内容的研究蓝图．根据目前的研究成果来看，章节起始课一般分为两种类型：章节内容和第一自然小节整合型章节起始课和大单元视角下的章节起始课．笔者尝试贴近实际，整合多个版本教材，如例题1和苏教版教材上函数概念的理解等，进行跨章节视角下的章节起始课教学，试图向学生传递数学的整体观和研究数学新问题的基本意识．对函数而言，它的知识生长点是函数的概念、函数的基本性质、基本初等函数等等，课堂教学时需要引导学生回顾已有的对函数概念的认知和熟悉的研究路径，一方面可以整体认识单元的学习内容，另外一方面可以让学生初步了解问题的研究思路．选择跨章节视角下的章节起始课的原因在课题设计中已有所暗示，本节课安排了多个数学阅读环节，比如函数的发展历史、函数概念等，体现了教学中对文本阅读的训练，另外从学生已有的知识储备来看，函数的简单概念和性质等在初中已经有所接触．至于学习方法建议中的猜想-证明的思路，其实前两个步骤在其他内容中已广泛应用，因此从跨章节视角来设计函数单元起始课是基本符合学生的认知规律的．

本节课按一明一暗两条线索展开教学活动．第一条是明线：知识的线索．主要回答以下几个问题：为什么要学习函数？(数学内部发展的需要．)函数中学习什么？(函数概念、函数性质等．)如何学习函数？(重视定义域，函数性质的证明，用好技术手段等．)第二条是暗线：数学欣赏的线索．从视频片段欣赏到图片欣赏，在数学阅读中，结合科普化的图片案例，潜移默化中完成了系列的数学阅读和欣赏过程．函数中有丰富的数学文化的内容，这些需要我们在日常教学中引起足够重视．在本次章节起始课中，引导学生“用数学的眼光观察世界、用数学的思维分析世界、用数学的语言表达世界”[2]，或多或少，我们接近和初步达到了核心素养下的课程目标．

4.3 本节课的内容选择

本节课的一个最大尝试在于教学内容的选择，主要说明两点：

(1)章节视角下的章首课教学，一般以整章内容为范围，将基本的幂函数、指数函数、对数函数内容整体纳入本节课．本课设计在内容上进行了舍取，去掉了幂函数、指数函数、对数函数，补充了三角函数中才出现的函数的周期性，这也是课后争议比较多的地方．

(2)在函数概念理解中引入了复合函数和反函数的概念．通常认为这两个难点内容不应该出现在概念课上，尤其是反函数的概念．本节课中，笔者从简单的案例出发，用对应的观点解读复合函数概念，这与传统的复合函数教学方式有较大差异．对于反函数，本节课留给师生们印象最深的是科普化的卡通猪变香肠的案例(当然，这里的类比推理是否合适，有值得讨论的地方)，这也是当初教学设计时没有想到的，或许也启示我们课堂教学探索可以没有禁区，更不能主观地画地为牢．反函数概念的引入，恰恰帮助我们理解了函数中对应的概念本质，有降维打击的效果．

4.4 本节课的不足

在授课后笔者认为需要改进的地方有如下两处：(1)函数性质中概念理解的抽象化程度较高，从图的视角呈现概念，一定程度上脱离了学生的知识实际．在函数性质中，可以选择讲透函数的一个性质，而不是一一简单罗列．(2)函数的概念引入中，历史材料的简单罗列并未在学生思维上形成函数概念的认知冲突．或许可以从函数历史发展过程中的问题出发引进函数概念，引发函数概念的历史升级，比如作业中的第2个问题．