例谈指数、对数比较大小问题的处理策略

杜成珍

摘要：比较大小问题是每年高考必考内容之一，指数和对数的比大小问题是比较大小问题中的一个热点问题。这类问题题号靠后，难度较大，对思维能力要求高，成为了近几年高考的一些拉档题。笔者通过整理近几年高考试题及模拟试题浅析指数、对数比较大小问题的解题策略，与大家共同交流。

关键词：指数;对数;比较大小

中图分类号：G4 文献标识码：A

本文就指数与对数的大小比较提出以下几种方法，下面就一些常见题型及其解法作如下分析。

一、纯指数式比较大小

1.设，试比较的大小关系.

分析：与可为同底数的指数形式，可利用指数函数的单调性比较，易得，对于发现与指数相同，进而形成两种比较思维：①.利用幂函数的单调递增可得：利用不同底的指数函数底数变化规律，利用与的图像与直线的交点高低进行大小比较可得：，进而得到：

已知，则的大小关系是：

分析：与为同底数的指数形式，可利用指数函数的单调性比较，易得，与不同底不同指，可采用中间量1，易得进而得到：

总结：指数式大小比较方法

①单调性法;②中间量法;③分类讨论法。

二、纯对数式比较大小

1.设，，，试比较的大小.

分析：与底数可利用化为同底数，则，，故，又，故，即.这种办法可称为同步升（降）次法.

2.（2013新课标）设，试比较的大小

分析：对于均可以去掉常数，，，

，可利用對数底数变化规律，对同真数的对数比较大小，易得，这种办法可称为去常数化比较大小.

三、指数、对数混合比较大小

1.（2014安徽）设，，，则（   ）

A. B.

C. D.

分析：因为，，，所以，选B

2.（2012天津）已知，，，则的大小关系为（   ）

A. B.

C. D.

分析：因为，所以，，所以，选A.

四、附带条件的比较大小问题

1.（2020全国Ⅲ理12）已知.设，则 （   ）

A. B.

C. D.

分析：由题意可知，

则则，对于继续考虑用基本不等式，发现不等式传递方向不符合，也是命题人设计的数据难点，因此考虑指数与对数转化，进而使用题目中给出的已知的大小关系，

路线一：对数化指数比较大小，由得，由得，即;由，得，由，得，，可得综上所述，.故选A.

路线二：指数化对数比较大小，由两边取以8为底的对数得即

，由  两边取以为底的对数得即

2.（2017·全国Ⅰ）设、、为正数，且，则（    ）

A. B.

C. D.

分析：（1）设，因为为正数，所以，则，，，考虑作商法，则，通过换底公式则，排除A、B;则只需比较与，，则，选D.

因为、、为正数，则若令，则，取对数可得，，，所以，，，因为，所以只需要比较的大小，在这里引入一个经典的函数，求导易得在单调递增，在上单调递减，且，所以，进而，即.

以上，就是关于指数，对数比较大小的方面的一些方法，不足之处还请读者指正。