渐开线圆柱外齿轮磨前滚刀加工齿形计算*

郑守帮，杨顺成，周立轩，乔永钦，李仕林，付蔚萍

(1.郑州机械研究所,河南 郑州 450001; 2.长安大学 工程机械学院，陕西 西安 710000)

0 引 言

齿轮是极重要的机械元件，在机床、汽车、航空、造船、兵工、仪表等众多工业领域都大量使用。齿轮的精度和质量可以直接影响整台机械的性能[1]。随着新装备、新工艺的出现，弯曲强度和接触强度极佳的硬齿面齿轮得到日益广泛应用的同时，滚齿加热处理加磨齿的工艺也越来越多的被使用[2]。为保证齿轮齿面具有良好的接触性能，同时不影响弯曲性能，磨齿时应避免齿根磨削，这就要求齿轮在滚齿时要有一定的沉切量，为此滚齿刀具应采用考虑留磨量和凸起量的磨前滚刀[3]。

根据以往生产经验，有客户要求成品齿轮渗碳层深度需有较高一致性，尤其对于某些军品，其相应等级要求更高。但由于齿廓各处曲率差异，使得不同位置渗碳层深度具有不均匀性[4]。为满足既定要求，应具体剖切分析不同位置处的渗碳层深度[5]，使磨前齿轮齿廓不同位置留有不同的磨削余量。而由于磨前滚刀法向齿廓含有两段齿形角不等的刀刃部分[6]，其啮合线与用标准滚刀切制时有较大差异，而且其刀刃连接尖点处的具体切制原理相关研究较少，故文中依托实际生产，综合考虑留磨余量、凸起量以及变位系数的复合影响[7]，详细探讨了此给定各种生产参数的磨前滚刀切制渐开线圆柱外齿轮的切制原理，使用参数化方程推导其整个过程，力求为研究者提供更贴近实际的理论模型，以便解决实际生产。

1 磨前滚刀法向基准齿廓

齿轮滚刀是按展成法加工齿轮的刀具。它可以用来切制直齿轮，也可以切制斜齿轮，可以加工非变位齿轮，也可以加工变位齿轮。加工方式如图1所示。

图1 齿轮滚刀加工齿轮 图2 滚刀基本蜗杆与齿轮啮合

滚刀的法向齿形相当于一齿条，滚刀加工齿轮的过程其本质就是齿条齿轮的啮合过程。后面为了方便理解与推导，这里将滚刀的回转运动转换成齿条的水平移动来进行详细的探究，如图2所示[7]。

在某些特殊要求下(例如航空工业中)某些磨齿的齿轮要求高抗弯强度，齿根过渡曲线应有最大曲率半径，这种磨前齿轮可用齿顶为大曲率圆弧的滚刀加工[8]。这种磨前滚刀加工出的磨前齿轮表面处应有留磨余量，同时齿根处还需有少量根切以使得磨削齿形时砂轮的顶部不参与磨削工作[9]。这种带圆头的滚刀刀齿，可采用图3所示的齿形作为滚刀法向基准齿形[10]。

图3 带圆头滚刀的法向齿形

该齿形分三部分，一部分是齿形角为α的直线齿形部分，即图中的K1K3段齿形，这一段与一般齿轮滚刀的齿形是一样的；第二部分是半径为r0的齿顶圆弧部分，即K4K6段齿形，该齿形用来切制齿轮的槽底曲线，由啮合原理可知，切制出来的曲线为延伸渐开线的等距线[11]；中间K3K4段齿形为以上两部分的连接线，这部分直线的倾斜角为αy，根据齿形角α的数值，一般来说αy=7°～12°，以便使这一段刀刃具有必要的后角。

2 刀具参数

现将刀具法向齿廓放大，如图4所示。

图4 滚刀的法向齿形放大图

2.1 滚刀齿顶为全圆弧

变位齿轮的分度圆齿厚为：

(1)

(2)

(3)

在三角形AK6K5和BK6K5中分别使用余弦定理可得：

(4)

(5)

(6)

K3J=K4G-K4H

(7)

2.2 滚刀齿顶为非全圆弧

滚刀齿顶圆弧的半径r0需给定。

(8)

(9)

(10)

K4G、K4H及K3J的求法同全圆弧，这里不再赘述。

3 动态切制过程

3.1 坐标系的建立

图5显示了磨前滚刀切制外齿轮的动态加工过程[13]。

设齿轮的中心为O2，分度圆半径为r2，节点为P，以P为原点作空间固定坐标系(P(O)-x,y)，y轴与O2P方向一致，如图5中的y轴，x轴则与它垂直，如图5中的x轴，再作一个与滚刀固连并随滚刀一起移动的坐标系(O1-x1,y1)，在初始位置，y1轴与y轴重合，由变位系数确定O1点沿y轴移动的距离。以O2点为原点，作与齿轮2固连并随它一起转动的坐标系(O2-x2,y2)，在起始位置，y2轴与y轴重合，x2轴与x轴平行[14]。

图5 动态切制过程

设齿轮2由起始位置沿顺时针方向转过φ2角，与此同时，滚刀由起始位置移动的距离为r2·φ2。则：

由(O1-x1,y1)变换到(P(O)-x,y)的变换矩阵M10为：

(11)

由(P(O)-x,y)变换到(O2-x2,y2)的变换矩阵M02为：

(12)

由坐标变换性质经矩阵运算可得：

M01=M10-1，M20=M02-1

M12=M10·M02，M21=M12-1

具体推导过程不再赘述。

N1N2为齿形角为α的K1K3段直线齿廓与齿轮的啮合线，由啮合原理分析可得，由于传动比不变，齿形角为αy的过渡刀刃直线在切制时与齿轮的啮合线应通过节点P，且啮合线的压力角与过渡刀刃齿形角相等，图5中线段N3N4即为过渡刀刃K3K4与齿轮啮合的啮合线。

3.2 滚刀齿廓的方程建立

在滚刀坐标系(O1-x1,y1)下；

令齿顶圆弧圆心在y1轴上，如图5中的位置(0)，刀具齿顶圆弧中心A点的坐标为：

(13)

此时，滚刀齿顶圆弧与齿轮啮合点M的坐标为：

(14)

式中：α0是齿顶圆弧中心A点与节点P的连线与x轴的夹角，如图6所示，且-π/2≤α0≤-α，具体推导过程可参看齿轮啮合原理。这也是滚刀齿顶圆弧的方程。

图6 滚刀齿顶圆弧啮合点位置

齿顶圆弧与过渡刀刃的切点K4的坐标为：

(15)

由点斜式方程可得K3K4段齿形方程为：

(16)

同理可得K1K3段齿形方程为：

(17)

其中：

O2J=r0·cosαy+K4H·tanαy

(18)

3.3 切制临界点的确定

压力角为α的啮合线N1N2与齿轮齿顶圆交于N1点，滚刀上K1K3段齿形从N1点(图5位置(1))位置开始切制齿轮上压力角为α的渐开线部分，当K1K3齿形上K3点与啮合线N1N2相交于N2时(图5位置(2))，压力角为α的渐开线部分切制结束。由齿轮啮合原理知，传动比不变的前提下，啮合线的压力角等于齿条齿形角，且啮合线始终过同一节点P。由此可知过渡刀刃K3K4齿形上K3点与啮合线N3N4相交于点N3时(图5位置(3))开始切制齿轮上压力角为αy的渐开线部分，当K3K4齿形上K4点与啮合线N3N4相交于N4时(图5位置(4))，压力角为αy的渐开线部分切制结束。

当齿条坐标系(O1-x1,y1)的y1轴与固定(P(O)-x,y)的y轴重合时(图5位置(0))，滚刀齿顶圆弧最低点K6开始切制齿根过渡曲线，刀具继续移动，直到齿顶圆弧与过渡曲线的切点K4与啮合线N3N4相交于N4时(图5位置(4))，齿顶圆弧K4K6切制过渡曲线完毕，滚刀与齿轮毛坯在此处脱离啮合，完成全部切制过程。

3.4 齿轮齿廓方程的推导

齿轮齿廓完全由滚刀切制，即齿轮齿廓上任意一点在滚刀上均有与之对应的唯一啮合点。齿轮转动φ2角，滚刀齿廓水平移动r2·φ2的距离，每给定一个φ2角，求出滚刀齿廓与齿轮在固定坐标系里的啮合点N，并将固定坐标系中的N点由坐标转换方程转换到齿轮坐标系中即为该φ2角下的齿轮齿廓点。

由此，先分别求出固定坐标系下两段啮合线N1N2和N3N4的方程如下：

(19)

其中：

(20)

由上述3.3中的论述，切制齿轮上压力角为α的渐开线部分对应的转角φ2的范围为：

(21)

此时滚刀坐标系下的K1K3段齿形在固定坐标系中的方程为：

(22)

联立方程与方程可解出固定坐标系下K1K3段齿形与啮合线N1N2交点方程如下：

(23)

同理，切制齿轮上压力角为αy的渐开线部分对应的转角φ2的范围为：

(24)

由此解出固定坐标系下K3K4段齿形与啮合线N3N4交点方程如下：

(25)

当φ2≥0时，齿顶圆弧开始切制齿根过渡曲线，图6中啮合点M对应的α0与转角φ2的关系为：

将方程转换到固定坐标系中得：

(26)

将上述方程借由软件绘制，如图7所示。

图7 固定坐标系下各啮合点

将固定坐标系下K1K3段齿形与啮合线N1N2的交点方程转换至齿轮坐标系中为：

(27)

同理可将方程也转换至齿轮坐标系中，此时将转换后方程借由软件绘制，如图8所示。

图8 齿轮坐标系下各啮合点

这里，对于齿根过渡曲线各点处的曲率可由曲线参数方程求导法求得如下：

(28)

进而可求得曲率K的极值和极值点。

4 完整齿廓的绘制

以上推导的齿轮齿廓都是以圆弧圆心A处在坐标系y轴上完成的，为了更加方便实际应用，应将齿廓方程旋转一个角度从而使得齿槽中线与y轴重合。

使齿槽中线与固定坐标系y轴重合的旋转矩阵M为：

(29)

最终的齿廓方程为：

(30)

将最终的齿廓方程沿y轴的对称，并将对称后的两个完整齿槽方程依次旋转2·π/Z2角，即得到完整齿廓。如图9、10。

图9 滚刀齿顶为指定圆弧半径的完整齿廓 图10 滚刀齿顶为全圆弧的完整齿廓

5 结 语

在研究磨前滚刀齿形对齿轮齿廓的影响时，应该注意到齿形角不同的齿廓部分对应的啮合线压力角与齿形角相等，并且啮合线都是经过同一节点的，滚刀齿顶圆弧啮合点与圆心的连线也经过节点。对于渗碳层深度一致性要求较高的齿轮，可通过实物分析和基于文中原理的参数调整，最终实现渗碳层深度的一致性要求。

文中综合考虑实际生产因素，推导过程全程使用参变量，可直接精确求解实际齿廓各点曲率。此对于研究齿廓曲率对于渗碳层深的具体影响亦有一定帮助。最后结合加工数据，校验了计算机绘图参数，证明原理的正确性，在结合实际生产设计磨前滚刀齿形方面有一定的参考价值。