数控机床滚珠丝杠副的系统刚度分析与研究*

李 帅，胡军旺

(广西科技师范学院职业技术教育学院，广西 来宾 546199)

0 引 言

对于用在高精度机械加工的数控机床来说，决定机床高精度传动的滚珠丝杠副自身系统刚度会直接影响数控机床的精密加工能力。如果在滚珠丝杠副系统刚度不足的情况下，就进行精密加工作业，那么丝杠整体会出现抵抗变形能力不足的情况。虽然满负荷工作不至于被损坏，但丝杠传动却不能及时达到所预期的位置。而随之受影响的还有丝杠的寿命，传动精度以及疲劳等其他关键参数，这在需要保持高精度的数控传动系统当中是致命的，所以要充分重视滚珠丝杠副的系统刚度。笔者通过对滚珠丝杠安装方式和预紧前后的分析，得出系统刚度的变化规律，这对于丝杠的精度，寿命，疲劳等特性具有一定的借鉴意义。

1 滚珠丝杠副的拉压刚度

现以南京工艺装备制造有限公司的内循环垫片预紧法兰螺母FFZD型滚珠丝杠副为研究对象。选丝杠的公称直径为40 mm，导程为10 mm。有效工作行程1 000 mm。

滚珠丝杠副的拉压刚度会随着螺母的位置变化而发生改变[1]。一般情况下，当螺母在丝杠两端极限位置时，滚珠丝杠的拉压刚度会达到最大值，而当螺母处于丝杠中间位置时，滚珠丝杠的拉压刚度会达到最小。

根据一端固定一端自由安装方式下的滚珠丝杠副拉压刚度表达式[2]：

(1)

式中：R1为滚珠丝杠在一端固定一端自由安装方式下的拉压刚度，N/μm；d2为丝杠螺纹小径，mm；L为滚珠丝杠副螺母中心点到支承轴承间的距离，mm。

而根据两端固定安装方式下的滚珠丝杠副拉压刚度表达式[2]：

(2)

式中：R1′为滚珠丝杠在两端固定安装方式下的拉压刚度，N/μm；L′为丝杠两端轴承支撑点间的距离，mm。

如图1所示，在不同安装方式下的滚珠丝杠副拉压刚度随螺母中心点到丝杠两端轴承支撑点间的变化关系。但因安装方式不同，而产生两种截然相反的变化情况。其中丝杠采用一端固定一端自由安装方式时，丝杠的拉压刚度会随着螺母中心点到轴承支撑点间的距离增加而迅速降低。但当采用两端固定安装方式时，丝杠会随着螺母中心点到两端轴承支撑点间的距离增加而增加。

图1 滚珠丝杠副在不同安装方式下的拉压刚度变化

这是因为当丝杠采用一端固定一端自由的安装方式时，丝杠的静态稳定性[3]和动态稳定性[4]都较低，并且轴向刚度也不高。丝杠在轴向载荷作用下，随着螺母中心点到轴承支撑点间的距离逐渐增加，丝杠抵抗接触变形的能力会逐渐减弱。而采用两端固定的安装方式时，丝杠的静态稳定性和动态稳定性都相对很高，并且轴向刚度也很大。所以丝杠在轴向载荷作用下，随着螺母中心点到轴承支撑点间的距离逐渐增加，抵抗接触变形的能力会逐渐增强。

2 滚珠丝杠副两端支撑轴承刚度

2.1 推力球轴承刚度

滚珠丝杠副的系统刚度同时与两端支撑轴承刚度有关。为了满足数控机床高精度，高刚度进给的要求，则需要选取轴向刚度高，转动精度高，摩擦力矩小的轴承来作为丝杠两端支撑。

根据所研究滚珠丝杠副加工零件的工况，选取推力球轴承作为丝杠两端支撑。依据机械设计手册[5]，丝杠公称直径为40 mm，与其两端配合的支撑轴承选取内径为30 mm。

根据安装方式为一端固定一端自由时的推力球轴承刚度计算表达式[6]：

(3)

式中：R2为轴承刚度，N/μm；dQ为轴承内滚动体直径，mm；Z为滚动体个数；Fa为轴向载荷，N。

根据安装方式为两端固定的推力球轴承刚度计算表达式[6]：

(4)

式中：R2′为采用两端固定安装方式时的推力球轴承刚度，N/μm。

如图2所示，轴承刚度与轴承滚体个数有直接关系。轴承内滚体个数越多，则轴承刚度就越好。根据表达式(3)、(4)，在两端支撑轴承采用安装方式为一端固定一端自由的情况下，轴承的刚度要比采用两端固定安装方式下的轴承刚度要小1倍。

图2 丝杠两端轴承滚体数目与轴承刚度间变化关系

如图3所示，轴承刚度还与轴承外径大小有关。在轴承内径一定的情况下，随着轴承外圈增大，为了保持轴承外圈尺寸协调，轴承外圈内径也逐渐增加。这样以来，滚体的外形尺寸也随之增加。

图3 丝杠两端轴承外径与轴承刚度间变化关系

因为原有滚体尺寸已经不能满足轴承外圈尺寸增加后的载荷承载需求[7]。所以随着轴承外径尺寸增加，最后导致了轴承滚体尺寸增加。这样以来滚体数量就开始出现减少的现象。滚体在圆周排列密度就开始降低，这样以来轴承刚度也就开始下降[8]。事实上，滚体的尺寸增加，排列密度就开始减少，但轴承的外形尺寸还在增加，所以导致轴承刚度非但没上升，反倒会下降。如果滚体尺寸单纯地增加，而轴承外形尺寸不变的情况下，那么轴承的刚度才会提升。

2.2 角接触球轴承刚度

根据安装方式为一端固定一端自由的角接触球轴承刚度计算表达式[9]：

(5)

式中：R2′为安装方式为一端固定一端自由的角接触球轴承刚度，N/μm；α为轴承接触角，(°)。

根据安装方式为两端固定的角接触球轴承刚度计算表达式[9]：

(6)

式中：R2′′为安装方式为两端固定的角接触球轴承刚度，N/μm。

图4 角接触球轴承的接触角与轴承刚度间变化关系

根据表达式(5)、(6)所示，与采用一端固定一端自由的安装方式相比，当轴承采用两端固定的安装方式时，轴承的刚度数值是前者的一倍。这与安装方式当中的自由端位置存在一定间隙有着很大关系[10]。这是导致了采用一端固定一端自由的安装方式下的轴承整体刚度下降的主要原因。

2.3 圆锥滚子轴承刚度

根据安装方式为一端固定一端自由的角接触球轴承刚度计算表达式[11]：

(7)

式中：R2''为采用一端固定一端自由的圆锥滚子轴承的刚度，N/μm；α为轴承接触角，(°)；ξ为滚体的有效长度，mm。

根据安装方式为两端固定的角接触球轴承刚度计算表达式[11]：

(8)

如图5所示，圆锥滚子轴承的刚度与接触角之间的变化关系。轴承刚度与滚体有效长度成正比关系。滚体有效长度越长，则轴承刚度就越好。与此同时，轴承接触角越大，则轴承的刚度就越大，随着滚体有效长度增加，则轴承刚度增加就越快。这是因为轴承的接触角越大，则轴向承载能力就越强，那么轴向刚度也就越大。同时，圆锥滚子轴承的刚度还与安装方式有关。根据表达式(7)、(8)所示，采用两端固定方式要比采用一端固定一端自由安装方式的轴向刚度高一倍。

图5 圆锥滚子轴承刚度与接触角间的关系

2.4 轴承刚度的有限元分析

如图6所示，以推力球轴承为例，滚珠丝杠两端支撑为推力球轴承，依照材料力学形状改变比能理论(第四强度理论)[12]，对轴承的疲劳和破坏进行评价分析。当采用一端自由一端固定的安装方式时，同时在机床强力切削环境下，丝杠所受轴向载荷为3000 N。根据机械设计手册，以及丝杠两端轴径大小，选取推力球轴承内径为30 mm，外径为47 mm，厚度为11 mm。

图6 推力球轴承疲劳分析

从实验结果来看，推力球轴承所承受的载荷等级基本处于较低水平，低于了使得推力球轴承发生滚体金属疲劳的程度。

2018-06-27李春燕（1986-），女，山东菏泽人，硕士研究生，河北旅游职业学院酒店管理系教师、助教。

3 滚珠丝杠副的轴向刚度

滚珠丝杠副由于受到轴向载荷的作用，所以其轴向刚度的高低决定着丝杠是否可以抵抗拉伸，弯曲，变形的能力强弱。滚珠丝杠副的轴向刚度越强，则说明丝杠抵抗拉伸、弯曲、变形的能力就越强。反之则说明丝杠抵抗拉伸、弯曲、变形的能力就越弱。

根据滚珠丝杠副在预紧环境下轴向刚度表达式[13]：

(5)

式中：R3为轴向刚度，N/μm；Ra′为滚珠丝杠副的轴向接触刚度N/μm；FP为滚珠丝杠预紧时的预紧载荷，N；Ca为滚珠丝杠的额定动载荷，N。

根据滚珠丝杠副在不预紧环境下轴向刚度表达式[13]：

(6)

式中：R3′为滚珠丝杠副在不预紧环境下的轴向刚度，N/μm。

如图7所示，滚珠丝杠在预紧前后所受轴向刚度变化情况。当丝杠在预紧前时，轴向刚度上升很缓慢，当丝杠公称直径达到d=50 mm后，轴向刚度开始急速升高。当丝杠公称直径达到d=80 mm后，轴向刚度开始上升平缓。这是因为滚珠丝杠在预紧前会存在一定量的轴向间隙，所以阻碍了丝杠轴向刚度增加的速度。待丝杠直径超过50 mm后，轴向间隙开始明显变小，所以丝杠的轴向刚度开始迅速提高。当丝杠直径达到80 mm后，轴向间隙已经达到较小的程度，所以丝杠的轴向刚度变化速度开始放缓。

图7 滚珠丝杠在预紧前后轴向刚度的变化情况

而滚珠丝杠在预紧后时，比预紧前的轴向刚度上升更加迅速。当丝杠公称直径达到d=50 mm后，轴向刚度开始急速升高。当丝杠公称直径达到d=63 mm后，轴向刚度开始上升平缓。这是因为丝杠预紧之后使得轴向间隙很小，所以阻碍了丝杠轴向刚度增加的趋势明显减小。值得注意的是，当丝杠公称直径d=50 mm时，预紧前后的滚珠丝杠轴向刚度值相差最大，较预紧前的滚珠丝杠相比，滚珠丝杠预紧后的轴向刚度会高出47%。这是因为滚珠丝杠在预紧后时，较预紧前缩小了丝杠的轴向间隙，提高了整体的疲劳强度和轴向刚度，所以加快了丝杠轴向刚度增加的速度。

4 滚珠丝杠副的系统刚度

滚珠丝杠副的系统刚度与自身拉压刚度，两端支撑轴承刚度以及自身轴向刚度有关。

根据采用一端固定一端自由安装方式时的滚珠丝杠副系统刚度计算公式[14]：

(7)

式中：R为滚珠丝杠副采用一端固定一端自由安装方式时的系统刚度，N/μm。

根据采用两端固定安装方式时的滚珠丝杠副系统刚度计算公式[14]：

(8)

式中：R′为滚珠丝杠副采用两端固定安装方式时的系统刚度，N/μm。

如图8所示，当丝杠两端采用推力球轴承进行支撑，使用一端固定一端自由的安装方式时，在不预紧的状态下，滚珠丝杠副的系统刚度随自身公称直径增加而加大。当滚珠丝杠副螺母中心点靠近两端轴承时，则系统刚度就越大。远离两端轴承时，则系统刚度就越小。当螺母处于丝杠两端极限位置时，则此时滚珠丝杠副的系统刚度达到最大，而当螺母接近丝杠中点位置时，则此时滚珠丝杠的系统刚度达到最小。

图8 滚珠丝杠的系统刚度随螺母中心点到支撑轴承距离间的变化

螺母距离丝杠两端越近，则滚珠丝杠的系统刚度变化会随着自身直径的增大而增加的越发明显。而当螺母接近丝杠中点位置的时候，此时滚珠丝杠的系统刚度会随着自身直径增大而增加得缓慢。

5 结 论

文中分别对滚珠丝杠的拉压刚度、支撑轴承刚度、轴向刚度进行了研究。通过对滚珠丝杠安装方式和预紧前后的分析研究，得出以下结论。

(1) 滚珠丝杠的拉压刚度受安装方式的影响。当采用一端固定一端自由的安装方式时，其拉压刚度会随着螺母中心点到两端轴承支撑点的距离增加而减小。而采用两端固定的安装方式时，其拉压刚度会随着螺母中心点到两端轴承支撑点的距离增加而增加。

(2) 滚珠丝杠两端支撑轴承的刚度与其内部滚珠数量成正比关系。滚珠的数量越多，则轴承的刚度越好，反之则越差。在轴承内圈内径一定的情况下，外径越大则轴承刚度越低。

(3) 滚珠丝杠的轴向刚度在预紧前后过程中，会有较大差异。预紧后的滚珠丝杠轴向刚度要比预紧前的轴向刚度最高可高出47%，约为预紧前轴向刚度的一半。

(4) 滚珠丝杠的系统刚度随螺母中心点到丝杠两端距离增加而降低。当螺母位于丝杠两端极限位置时，丝杠此时的系统刚度达到最大。当螺母处于丝杠中点时，此时丝杠的系统刚度达到最小。