数字图像处理技术在获取表面分形维数中的应用

李 鑫

(奇瑞汽车股份有限公司，安徽 芜湖，241000)

为了研究表面形貌对摩擦学的影响，Archard[1]提出了多尺度接触模型，将表面微凸体视作大小不等的半球体，通过给定半球体在表面上的分布密度构造表面形貌，但是，分布密度往往不能直接测量获得，所以，对表面构造存在一定的假设成分。Majumdar等[2]提出了基于接触表面分形几何的接触理论，接触面表面形貌用Weierstrass[3]提出的分形函数模拟，分形函数中的特征参数可通过测量手段获得，这样就作到了表面形貌模型与实际的统一，排除了对表面形貌的假设成分。

分形理论应用于生活中的许多领域[4]，分形维数是表面分形几何中的重要参数，它的大小直接反映了表面的粗糙情况[5～9]。通常，如果获得表面形貌轮廓曲线，可通过尺码法获得分形维数[10～13]。但是，实际测得的分形表面轮廓曲线往往致密繁乱，而尺码法是通过操作员利用尺规作图的方法进行测量，致密的轮廓曲线在很大程度上会影响操作员对曲线的辨识[14～16]，导致测量结果随机性大，直接影响其它涉及表面形貌的相关估算。

为了减少人为因素对表面形貌参数获取过程的影响，笔者在此提出利用数字图像处理技术对表面分形维数的获取方法。该方法利用尺码法测量分形维数的原理，对表面轮廓曲线进行二值化处理，并给出基于逻辑像素的寻点算法，最终展示了利用数字图像处理技术获取分形维数的实现流程。

1 分形表面形貌

分形的概念首先得到了Benoit B. Mandelbrot的印证[2]。起初，Benoit B. Mandelbrot通过测量地图上的海岸线长度发现，以不同的长度作为标尺丈量海岸线的长度，其结果是不同的，当选择的尺度越小，海岸线的细节特征(例如港口等)就会显现的越多，测量所得的海岸线长度就越准确。分形表面也具有类似的特征，当观察一个表面的形貌时，如果选择的观察尺度不同，所观察到的细节特征也不相同。譬如，当在一个尺度下观察到分形表面上的微凸体时，如果增大放大倍数重新观察该微凸体，就会发现，该微凸体内分布着许多更小的微凸体(图1)。

图1 分形表面计算机模拟

Weierstrass[3]指出，具有分形特征的表面轮廓曲线可以用下列函数表示：

(1)

其中：G为特征尺度系数，D为分形维数，其范围是1

图2 分形表面轮廓曲线

Weierstrass[3]通过研究发现，虽然在不同尺度下观察到的表面形貌不同，但是不同尺度下的表面形貌具有自相似性，即均可以通过统一的参数来表征不同尺度下的形貌，也就是说，分形表面具有尺度独立性，而分形维数就是具有尺度独立性的形貌特征参数。

2 分形维数的提取

2.1 尺码法提取分形维数

仿照Benoit B. Mandelbrot对海岸线长度的测量方法，可以选用不同的长度尺度ri对表面轮廓曲线长度Li进行测量(图3)，根据分形理论，长度与尺度之间的关系可以表示为：

图3 尺码法确定分形维数示意图 图4 表面轮廓曲线图像二值化处理

(2)

其中：k为比例系数，α为特征指数。

对上式取对数得：

lnLi=αlnri+lnk

(3)

可见，lnLi与lnri之间呈线性变化关系，如果在坐标系拟合出lnLi-lnri直线，即可得出直线斜率α，而α与分形维数D的关系是：

D=1-α

(4)

那么，就能根据拟合结果求出分形维数D。

2.2 数字图像处理在尺码法中的应用

通过将图2所示的轮廓曲线读入计算机发现，该图像在计算机中的表示是一个大型二维数组，数组中的元素是0～255范围内的数值(图像默认存储为RGB色系)，有轮廓曲线的像素数值偏低，背景的像素数值偏高，尽管轮廓曲线和背景的像素数值分化明显，但是每一部分的像素数值并不统一，轮廓曲线的像素数值相对集中在0～15区间内，背景的像素数值相对集中在230～255区间内。为了接下来使图像处理技术能在尺码法中得到应用，需要将轮廓曲线从背景中剥离出来，而且还需保证轮廓曲线的像素数值统一。于是，先对图像进行二值化处理，以RGB色系的中间数作为阈值，对图像进行判断，凡低于阈值的像素均设为逻辑0，高于阈值的像素均设为逻辑1。这样，一幅RGB色系的图像便被转化为仅由0和1组成的逻辑像素图像，轮廓曲线也都被统一成一个逻辑像素值0(图4)。

如果将逻辑像素图像局部放大，其中黑色像素代表逻辑值为0的轮廓曲线，白色像素代表逻辑值为1的背景。用A表示二值化图像后的数组，给定尺码尺度r，可仿照如下流程对满足尺码尺度的轮廓曲线像素点进行寻找(图5)：

图5 图像处理技术提取分形维数示意图

从轮廓曲线上某一个像素(i,j)向右出发((i,j)为像素坐标，i代表第i列，j代表第j行)，搜索第i+1列，从(i+1,j)开始向上搜索至(i+1,1)，如果发现逻辑值为0的像素(假设其坐标为(x,y))，然后进行判断；如果未发现逻辑值为0的像素，则开始向下搜索至(i+1,size(A(:,1)))，然后进行判断。判断的条件是：(x-i)2+(y-j)2>r2?如果判断结果为真，则存储当前像素坐标，并将其作为新的起点开始下一轮搜索；如果判断结果为假，则开始搜索第i+2列，搜索方法同上，直至到第i+r列。轮廓曲线的长度即可表示为：

(5)

其中，N代表搜索到的符合条件的节点个数。

2.3 数字图像处理对分形维数的提取方法

通过上面的介绍，能够得到图像处理技术获取分形维数的方法(图6)。首先，将图像做二值化处理，得到图像的逻辑像素数组，输入尺码r的值和初始节点的坐标值(i,j)，然后按照指定的搜索方向寻找下一个满足要求的节点。其中，满足要求是指要满足2个条件：(1)能够找到逻辑像素为0的节点；(2)到(i,j)节点距离满足(x-i)2+(y-j)2>r2的条件。如果找到这样的节点，则保存其坐标，并作为下一轮搜索的起始坐标；如果没找到这样的节点，则代表对轮廓曲线的长度测量工作已完成，那么输出轮廓曲线长度的测量结果(式(5))，同时存储此次测量的点对(L,r)。

图6 图像处理技术提取分形维数的流程

通常情况下，得到的分形表面轮廓曲线长度都较长，采用上述过程测量轮廓曲线长度的计算量较大。然而，根据分形理论，分形参数是具有尺度独立性的，所以，为减小计算量，可截取实际轮廓曲线的一部分进行上述计算过程。

3 结果与分析

笔者开发了“数字图像处理技术获取分形维数”的计算界面(图7)，界面包含初始节点坐标输入、尺码输入，还包括拟合点对数量输出、拟合分形维数输出、原始图像和拟合曲线显示。“提交”按钮根据输入的初始节点坐标和尺码执行一次计算过程，并记录该次结果：(L,r)。同时，“点对数量”从零开始，每点击1次“提交”按钮就自动加1。“拟合”按钮将“提交”按钮存储的点对进行双对数线性拟合，得到的斜率按照式(4)计算得出分形维数，在“分形维数”项后显示。

图7 图像处理技术提取分形维数的算例界面

本节首先根据已知的分形维数，按照式(1)在计算机上得到分形表面轮廓曲线，然后将其保存为图片，再读入到计算界面，通过相关计算得到拟合的分形维数，与已知的分形维数进行比较(表1)。

对比结果表明，利用图像处理技术提取分形维数能够得到较准确的结果，一般误差都在10%左右。但是，随着拟合点对数量的增加，所得到的拟合结果也越来越趋近于真实结果，误差在10%以内。如果有足够多的点对进行拟合，误差会更小。

利用粗糙表面轮廓曲线的功率谱密度表征表面粗糙程度的方法称为功率谱方法，该方法的提出解决了具有相同粗糙度值，但是却明显不同的两个表面形貌表征问题。《摩擦学的分形》[5]中作者展示了功率谱法测量分形维数的方法，通过对不同分形维数采用功率谱法和基于图像处理的提取法得到的误差分布可以发现，对于有些分形维数，功率谱法可能会获得更理想的测量结果(图8)。但是，功率谱法的测量结果变化范围较宽，测量稳定性稍显波动；相反地，如果选择足够多的测量点对，利用基于图像处理技术的分形维数提取法可以获得较稳定的测量结果，而且误差范围也在可接受的范围内。

图8 功率谱法和基于图像处理的提取法测量结果对比

笔者提出的基于图像处理的分形维数提取方法能够获得准确度范围可接受的分形维数测量结果。随着准确度的提升，需要采集的点对数量也会增加，在算法中所进行的计算量也会相应增加(计算量主要来源于对像素点的搜索和距离判断)。计算结果表明，点对数不需要采集过多即可获得满足工程精度需要的分形维数(表1)，所以笔者提出的基于图像处理的分形维数提取方法并不需要占用太多的计算机资源。

表1 不同分形维数提取结果比较

4 结论与讨论

本次研究提出了利用数字图像处理技术对表面分形维数的获取方法。该方法利用尺码法测量分形维数的原理，对表面轮廓曲线进行二值化处理，并给出基于逻辑像素的寻点算法，最终展示了利用数字图像处理技术获取分形维数的实现流程。结果表明，利用图像处理技术，可以保证获取分形维数的准确度在10%左右的误差范围内，而且随着拟合点数量的增加，准确度增加。通过比较发现，基于图像处理的分形维数提取方法具有较好的测量稳定性，而且无需占用太多的计算机资源即可获得较高精度。该方法的提出，能够很大程度上减少人为因素对获取分形维数的影响。

致谢：本研究成果感谢“安徽高校自然科学研究重点项目”(编号：KJ2020A0359)和“安徽高校协同创新项目”(编号：GXXT-2019-048)的支持。