单摆周期的系统误差分析

邵 云

(南京晓庄学院 电子工程学院，江苏 南京 211171)

一般来说，对单摆的周期产生影响的系统误差因素，包括摆角、摆球绕质心轴转动、摆线质量、空气浮力、空气阻力这5种．对于这个古老的问题，目前国内已有的研究文献众多．纵观这些研究文献，可以发现如下问题：1) 考虑得不够周全，漏掉了其中某些因素，尤其是空气阻力；2) 内容缺失，缺少必要的推理和计算过程，缺少必要的背景知识介绍(如大摆角椭圆积分)和图、表等；3) 缺乏必要的近似处理，使结论不够直观；4) 忽视了各种因素误差的符号及彼此间的相互抵消作用；5) 将空气阻力视作速度的一次函数而非实际的二次函数形式，进而缺失了对于空气阻力的正确判断．本文拟将尽量完善对于单摆周期系统误差的讨论，力争弥补以上缺陷，努力为读者呈现一个较为完整和正确的认识．

1 小幅、大幅单摆周期的理论值

设图1中单摆小球的质量为m，其质心到悬挂点O的距离为l(摆长)．当摆线偏离竖直方向θ角时，由力学知识可知，作用在小球上的重力G的切向分力大小为mgsinθ，方向趋向小球的平衡位置O′，此时小球运动的动力学方程为

(1)

图1 单摆

当θ<5°时，有sinθ≈θ，式(1)简化为

(2)

这是一个典型的简谐振动微分方程，其通解为

θ(t)=θmaxcos(ω0t+φ)

(3)

(4)

表1 小角度下θ与sin θ的差距

见表1，当θ>5°时，通常认为sinθ≈θ不再成立，此时微分方程式(1)不再是线性方程，其解实际是一包含椭圆积分的隐函数[1,2]．对于单摆自右侧最高点静止开始下摆的过程，式(1)的解可以表达为[2]

(5)

其中F是椭圆积分函数，θ0是初始摆角，变量ψ则为

(6)

显然，当单摆下摆至最低点时有θ=0,ψ=0，于是根据式(5)，即得此时单摆的1/4周期为[1]

(7)

表2 不同初始角θ0下的1/4周期和小角度近似值比较

续表

下面将讨论小球绕质心轴的转动、摆线质量、空气浮力及空气阻力对于单摆周期的影响．

2 小球绕质心轴的转动动能对于单摆周期的影响

单摆实验中的小球实际是有大小的，设其半径为r．可将小球和摆线即单摆系统看作刚体，则由刚体力学知识知，系统绕悬点O轴的转动惯量为

(8)

其中已忽略摆线的质量．于是，根据系统绕悬点O轴转动的角动量定理(即转动定理)可得

(9)

整理得

(10)

对比式(10)与式(1)即可发现，在考虑小球的半径r后，单摆的运动形式并没有变化，只是周期稍稍增大．再结合式(4)、(7)可知，无论摆长、摆角大小，在相同的摆长l及摆角θ0下，考虑与未考虑小球半径，周期的相对变化均可表达为

(11)

(12)

若取通常值r=0.01 m,l=1 m，则有

(13)

即使取r=0.01 m,l=0.2 m，依然有

(14)

可见，即使计入小球的自转因素，由于转动动能远远小于平动动能[参考式(8)]，因此小球自转所带来的对于周期的增加修正也微乎其微，完全可以忽略不计．

当然，摆长中必须计入小球的半径，这一点至关重要．

3 摆线质量对于单摆周期的影响

设摆线的质量为m′，那么系统绕悬点O轴的转动惯量变为

(15)

其中已将摆线长度设为摆长(下同)，由此带来的相应误差属于高阶小量，均可忽略．于是，根据系统绕悬点O轴转动的角动量定理又可得

(16)

由于m′<

(17)

设摆线的线密度λ=0.2 g/m[3]，长度l=1 m；小球的密度取ρ=8.9 g/cm3(纯铜摆球)，半径r=1 cm，则式(17)中的

(18)

将这里的结果与式(13)、(14)进行对比，可以发现，摆线质量对于周期的影响将随摆长而增加，而小球的自转对于周期的影响则随摆长的增加而迅速减小．此外，式(17)业已表明，这两种因素的影响均与摆角幅度θ0无关．

4 空气的浮力对于单摆周期的影响

设空气的密度ρ空=1.29 kg/m3(标准状态)，由于摆线通常较细，其体积远小于小球的体积，因此作为近似处理，可将式(16)、(17)中的重力加速度g置换成“视重力加速度”,有

(19)

于是，当继续考虑空气的浮力后，单摆系统的动力学方程需改为

(20)

再将式(19)代入式(20)，根据近似知识即可得

(21)

一个有趣的现象便是，从式(21)可见，小球自转、摆线质量、空气浮力这3种因素对于单摆周期的影响存在相消行为．以摆长l=1 m为例，从上文中的数据即可算出这3种因素最终对于周期T的影响合为

(22)

可见，这3种因素总体会导致单摆的周期T减小，其中摆线的质量是主导因素．

5 小幅度单摆受到的空气阻力及其力矩

其实无论小球还是摆线，空气对它们都会有阻力作用．此时摆线可视作圆柱体，图2为圆柱体做侧向垂直平动时空气阻力系数CD柱与雷诺数Re的关系[4-6]；而速度不大的小球的空气阻力系数则为[7]

(23)

图2 圆柱体侧向平动的空气阻力系数与雷诺数的关系

静止的空气中雷诺数的定义为

(24)

其中v为物体相应的特征速度；L为物体的特征长度，对于这里侧向平动的圆柱，L即为圆柱的直径，而对于摆球，L则为摆球直径；η空是空气的黏滞系数，在0 ℃时有[8]

η空=1.7×10-5Pa·s

(25)

对于通常摆长1 m的单摆，其周期为2 s，5°摆角小球的振幅约为0.09 m，因此小球在最低点的速度约为0.09π≈0.28(m/s)．现设小球的半径依然为1 cm，摆线阻力的有效直径d有效=0.5 mm，将诸数据代入式(24)，即得小球及摆线下端的最大雷诺数分别为:

(26)

(27)

由此可见，对于这里的小球，将空气阻力系数表达成式(23)是适当的，而图2中雷诺数的范围则显得过于宽泛，只需取其中(0.1,50)区间段即可．为了获得更好的相关系数R2，使其尽量趋于1，本文选择了图2也即文献[4]中插图7.7的Re∈(0.2,10)段曲线进行分立取点，作图并加以拟合，得到图3，所得拟合函数为

CD柱=10.705Re-0.622, 0.2≤Re≤10

(28)

除了极小和极大的速度外，运动物体在空气中受到的空气阻力一般表示为

(29)

其中S是物体在迎风面的最大投影面积．联立式(23)、(24)、(28)、(29)，结合其它相关知识，积分便得小幅度单摆受到的空气阻力大小为

(30)

计算整理得

(31)

再将l=1 m,r=1 cm,d有效=0.5 mm及相关数据代入式(31)，即得

(32)

另外，参照式(30)—(32)，亦可求得此单摆受到的空气阻力矩大小为

(33)

式(32)、(33)均采用了国际单位制.

6 小幅单摆较严格的理论周期及空气阻力影响

参见图1，设单摆的初始摆角θ0=-5°．综合考虑本文所讨论的各种因素，并参照上文已有的结论，包括式(16)、(19)，对于单摆向右摆的过程，根据角动量定理有

(34)

将l=1 m,r=1 cm,m=3.728×10-2kg以及式(18)、(19)、(33)代入式(34)，于是可得

整理得

(35)

考虑到单摆做往复摆动，式(35)应进一步修订为

(36)

这便是小幅单摆在上述5种因素共同作用下的动力学微分方程．据此，应用MATLAB软件，可作出小幅单摆在理论上的摆动图像，如图4所示．

图4 5种因素共同作用下5°单摆摆动的理论图像

由图4可见，即使是小幅度单摆，它在空气中摆动时摆幅的衰减也是较为明显的．经过仔细的考察可知，前100 s摆幅的衰减率约为-0.585°/102s，与文献[6]中秒摆-0.62°/102s的实测结果基本相仿，差异可能源自摆球材质、摆线粗细、空气密度等不同．此外，图4中单摆摆动的周期几乎不变：在0～100 s内的平均周期约为2.007 s，而在900～1 000 s内，平均周期则约为2.006 s．

从表2中可见，1 m长5°摆角单摆的理想周期为

(37)

(因g相同及比较需要，结果多取了几位有效数字)因此，图4中多种因素共同作用下的小幅单摆周期的相对误差(取前100 s)为

(38)

7 单摆周期系统误差的综合分析

(39)

单摆实验的确是一个系统误差极小的实验，因此它能够被用来测量重力加速度g．此时若以1‰的测量精度为目标，那么摆角θ0只能选择5°左右，而摆长l则须选择1 m及以上．

8 关于空气阻力的几点补充说明

需要指出的是，不少研究单摆的文献[3,9,10]都将空气阻力表达成斯托克斯一次正比黏滞阻力，这是不恰当的，因为该公式只能适用于雷诺数Re比1小很多时的情形[4,5,8]，如空气中十分微小的水滴或油滴等．事实上，从本文式(31)也能明确地看出这一点．在式(31)中，小球受到的空气阻力显然为

(40)

看起来，它和小球的斯托克斯一次正比黏滞阻力

(41)

颇为相似(确实存在联系[4,5])，但是实际数值却差别很大．根据式(40)、(41)并利用式(32)中的数值可得

(42)

图5 本文5°单摆下摆时小球所受风阻比(F风阻)球/F斯随角速度|dθ/dt|的变化

另外，从式(33)亦可看出，摆线与摆球受到的空气阻力矩之比为

(43)

图6 5°单摆的摆线与小球受到的空气阻力矩之比随角速度的变化