基于粘结-滑移的FRP 筋钢纤维轻骨料混凝土梁裂缝宽度计算方法

孙艺嘉，吴 涛，刘 喜

(1. 燕山大学亚稳材料制备技术与科学国家重点实验室，河北，秦皇岛 066004；2. 长安大学建筑工程学院，陕西，西安 710061)

由于耐久性能不足，大量钢筋混凝土结构提前失效，需进行维护、加固甚至重建，为国家带来巨大的经济损失。与传统钢筋相比，纤维增强筋(FRP 筋)具有轻质高强、抗疲劳性能优等特点，且在抗腐蚀性能与抗电磁干扰能力上具有巨大的优越性[1−2]，钢纤维增韧轻骨料混凝土具有轻质高强、抗冻性能好、抗弯拉性能优等特点[3−5]，将其与FRP 筋结合应用于桥梁结构体系能够降低结构自重、提高抗裂性能的同时，使构件更好地适应潮湿、侵蚀以及对电磁有要求的特殊环境。

FRP 筋强度较高但弹性模量较低，引起FRP筋受弯构件在其服役过程中挠度与裂缝发展迅速[6−7]，设计时一般以正常使用阶段的性能作为控制条件[8−10]。因此，揭示该类构件裂缝开展机制，进而实现对裂缝宽度的预测和控制是其设计的重要前提。近年来，为提高FRP 筋强度的利用水平，采用纤维对混凝土进行改性以控制构件裂缝宽度的方法受到广泛认可，Yang 等[11]、Abed等[12]和Wu 等[13]均通过试验证实了掺入纤维对FRP 筋梁裂缝开展的抑制作用。

裂缝分析的有粘结理论与国内外学者的研究结果共同表明，FRP 筋受弯构件裂缝宽度开展受筋体与周围混凝土粘结性能影响显著。考虑FRP筋材料组分与表面形态的多样性，美国ACI 440.1R[8]与加拿大CSA S806[9]均建议通过FRP 筋与混凝土的粘结-滑移试验获取裂缝宽度粘结系数。部分研究人员通过FRP 筋梁受弯试验结果对粘结系数进行校核。El-Nemr 等[14]对玻璃纤维增强筋(GFRP筋)与碳纤维增强筋(CFRP 筋)高强混凝土梁开展受弯试验研究，指出美国ACI 440.1R 建议的粘结系数kb=1.4 偏于保守；在另一项研究中，El-Nemr等[15]发现，相较于螺旋表面的CFRP筋，喷砂表面的GFRP 筋粘结系数较低；Liu 等[16]对14 根FRP 筋轻骨料混凝土梁的裂缝宽度开展理论分析，建立了掺钢纤维与未掺纤维试件服役阶段最大裂缝宽度计算模型。

现有FRP 筋混凝土梁最大裂缝宽度计算模型主要采用单值型系数描述粘结的作用，未能合理考虑筋体与混凝土粘结-滑移过程对裂缝开展的影响。考虑此，建立了基于粘结-滑移的FRP 筋钢纤维轻骨料混凝土梁裂缝宽度求解方法，该方法亦兼顾了无粘结理论中裂缝位置对宽度的影响，具有明晰的物理意义。

1 粘结-滑移试验简介

本文建立的FRP 筋钢纤维轻骨料混凝土梁裂缝宽度计算方法以FRP 筋与钢纤维轻骨料混凝土的粘结-滑移关系为基础。因此，本节开展了相应粘结-滑移试验，为建立适用于裂缝分析的粘结-滑移本构方程提供依据。

1.1 材料性能

轻骨料选取湖北宜昌页岩陶粒，具体性能见表1。其中，堆积密度为750 kg/m3的页岩陶粒–1用于CFRP 筋试件，堆积密度为860 kg/m3的页岩陶粒–2 用于GFRP筋试件。细骨料采用渭河中砂，基本性能见表2。钢纤维为平直型，表面光滑并镀有铜膜，纤维物理力学性能指标见表3。轻骨料混凝土配合比见表4，钢纤维体积掺量选取0.6%[4]。

表1 轻骨料性能Table 1 Properties of lightweight aggregates

表2 细骨料性能Table 2 Properties of fine aggregates

表3 钢纤维物理力学性能Table 3 Physical and mechanical properties of steel fibers

表4 轻骨料混凝土配合比Table 4 Mix proportion of lightweight aggregate concrete

CFRP 筋直径选取8.65 mm，表面为纤维束缠绕挤压而成的螺旋肋；GFRP 筋直径选取9.87 mm和13.77 mm 两种，表面带肋且做喷砂处理。FRP筋表面形态见图1。根据《纤维增强复合材料筋基本力学性能试验方法》(GB/T 30022−2013)[17]对FRP 筋力学性能进行测定，结果见表5。

表5 FRP 筋力学性能指标Table 5 Mechanical properties of FRP bars

图1 FRP 筋外观形态Fig. 1 Appearance of FRP bars

1.2 试件设计

根据《混凝土结构试验方法标准》(GB 50152−2012)[18]，选取混凝土尺寸为200 mm×200 mm×200 mm，试件设计见图2。图中db为FRP 筋直径，la为锚固长度，c为保护层厚度。试件左端FRP 筋伸出30 mm 用以测定自由端位移变化，右端预留270 mm 作为加载端，并采用环氧树脂粘贴钢片以测量加载端位移。未与混凝土粘结的FRP筋采用硬质PVC 套管隔离。试验共设计10 组试件，每组3 个试件，具体参数见表6。

表6 试件参数Table 6 Parameters of the specimens

图2 试件尺寸Fig. 2 Dimension of the specimens

1.3 加载与量测方案

采用电液伺服万能试验机对试件进行加载，加载装置见图3。为避免试件在加载过程中产生偏心受拉，加载架上板与试验机采用活动夹头连接。加载速率为0.8 mm/min，加载过程中设置位移计对混凝土块顶面、FRP 筋自由端和钢片的位移进行测量。则FRP 筋加载端滑移量sa可按下式计算：

图3 加载装置图Fig. 3 Test setup

式中：ss为钢片处位移计读数的均值；sc为混凝土块顶面位移计读数的均值；F1为拉拔力；ld为钢片与混凝土块底面的距离；Ef为FRP 筋弹性模量。

1.4 试验结果

图4 给出了各组试件加载端粘结应力-滑移曲线。由图可知，峰值荷载下，各试件加载端FRP筋滑移量均超过1 mm，该滑移量明显高于混凝土受弯构件最大裂缝宽度限值[8−10]。以建立裂缝宽度计算方法为研究目的，峰值荷载前粘结-滑移关系足以提供研究所需信息。考虑此，本节仅对峰值荷载前的曲线特征与粘结机理进行分析。加载前期，曲线的斜率较大且基本保持不变，粘结力主要由化学胶结力提供；继续加载，滑移量增长速率加快，曲线斜率随之降低并表现出非线性特征，直至粘结应力达到峰值点，该阶段混凝土与FRP 筋之间的化学胶结力减小，粘结应力主要由机械咬合力和摩阻力提供。

图4 粘结应力-滑移曲线Fig. 4 Bond stress-slip curves

2 基于粘结-滑移的裂缝宽度模型

2.1 基本假定

受材料性能差异影响，受弯构件中FRP 筋与周围混凝土存在相对滑移，构件裂缝的开展过程可视作FRP 筋由两侧混凝土中拔出的过程，裂缝间FRP 筋与周围有效受拉混凝土的变形差即对应着裂缝宽度[19]，分析模型如图5 所示。

图5 基于粘结-滑移的裂缝宽度分析模型Fig. 5 Analytical model of crack width considering bond-slip behavior

基于此，引入FRP 筋轻骨料混凝土粘结-滑移本构模型，定量描述各微段FRP 筋与周围混凝土的应变差。结合钢纤维混凝土残余应力模型[20−21]，裂缝宽度计算的基本假定如下：

1) 忽略弯曲作用，FRP 筋与周围混凝土仅存在轴向粘结力；

2) 不考虑泊松效应的影响；

3) 不考虑受拉区混凝土的塑性变形，混凝土拉、压弹性模量一致；

4) 划分混凝土有效受拉区遵从《混凝土结构设计规范》(GB 50010−2010)[22]；

5) 不论是否掺入钢纤维，按对称结构分析最宽裂缝所在隔离体。

2.2 粘结-滑移微分方程

取FRP 筋与其周围有效受拉混凝土隔离体，建立ox坐标系，如图6 所示。裂缝处单根FRP 筋所受拉力为F。在裂缝间，拉力通过粘结传递至周围混凝土，假定混凝土拉应力均匀分布，则有：

图6 隔离体内应力分布Fig. 6 Stress distribution in isolator

式中：Ef和Ec分别为FRP 筋与混凝土弹性模量；εf和εc,t分别为FRP 筋与混凝土拉应变；Af1为单根FRP 筋面积；Ac1为单根FRP 筋对应的混凝土有效受拉面积，可按式(3)进行计算。

式中，Lper为FRP 筋周长。

通过对长度x内FRP 筋与混凝土应变差进行积分，可得由该区段滑移引起的FRP 筋端部滑移量s：

2.3 “低滑移”阶段粘结-滑移(τ-s)本构模型

对于FRP 筋轻骨料混凝土构件最大裂缝宽度的计算，仅关注正常使用阶段。中国GB 50608[10]给出的裂缝宽度限值为0.5 mm，美国ACI 440.1R[8]与加拿大CSA S806[9]的限值则为0.7 mm。由此可知，裂缝宽度达到限值前，FRP 筋滑移量仍处于较低水平。为避免加载后期试验数据的影响，需引入基于“低滑移”阶段数据的粘结-滑移本构模型。滑移量上限的确定考虑以下2 个方面：

1) 为确保“低滑移”阶段粘结-滑移本构模型具有足够的涵盖范围，按各规范裂缝宽度限值wlim中的较大值0.7 mm 确定滑移量上限；

2) 通过计算可知，FRP 筋重心处的裂缝宽度与梁底裂缝宽度的放大系数h2/h1的最小值为1.28[24]，则FRP 筋重心处裂缝宽度限值wlim,f=0.7 mm/1.28=0.55 mm，考虑结构对称，选取wlim,f/2=0.28 mm 作为滑移量上限。

根据1.4 节给出的粘结-滑移试验结果，τ-s曲线在“低滑移”阶段并未表现出显著的非线性。因此，选取线性拟合方法建立τ-s本构关系，拟合结果表明纤维掺量的影响并不显著。究其原因，钢纤维主要通过阻断裂缝发展路径、承担拉力起到增强增韧混凝土的作用。滑移量较低时，FRP筋体与混凝土间的粘结力主要由化学胶结力提供，应力水平低且粘结界面应力集中不显著，纤维对其影响较小。考虑此，未对掺纤维与未掺纤维试件“低滑移”阶段τ-s模型加以区分。CFRP筋和GFRP 筋轻骨料混凝土τ-s模型见下两式：

2.4 特征裂缝间距与最大裂缝宽度

将建立的“低滑移”阶段τ-s本构模型引入粘结-滑移微分方程(式(8))，通过积分可求解任意截面FRP 筋滑移量与粘结应力：

由图5 可知，x=0 处FRP 筋所在位置的裂缝宽度wj可表示为FRP 筋相对其两侧混凝土的滑移量之和，即：

式中：sl(0)与sr(0)分别为x=0 处FRP 筋相对其左、右两侧混凝土的滑移量；ll与lr分别为x=0 处裂缝左、右两侧裂缝间距。

合理确定式(17)中的裂缝间距ll与lr是准确计算最大裂缝宽度的前提条件。tanhx为单调递增函数，则裂缝宽度随裂缝间距的增大而增大。基于此，将最大裂缝宽度两侧的裂缝间距均取为最大裂缝间距lmax。根据文献[25]，lmax与平均裂缝间距lave的关系可表示为：

式中，lave可按文献[24]给出的FRP 筋轻骨料混凝土梁平均裂缝间距公式进行计算。

考虑wj仅能够反映FRP 筋重心位置处的裂缝宽度，而最大裂缝宽度wmax一般出现在试件底部，假设构件侧表面裂缝宽度与该点至中和轴的距离呈正比[26]，则wmax可表示为：

式中：h1为受拉区FRP 筋合力点距中和轴的距离；h2为混凝土受拉区边缘距中和轴的距离。

3 考虑纤维作用的迭代算法

3.1 FRP 筋钢纤维轻骨料混凝土梁应力与应变分布

FRP 筋钢纤维轻骨料混凝土构件开裂后，裂缝截面桥接的钢纤维仍可提供拉力，正常使用阶段构件应变与应力分布如图7。根据应变协调条件可得：

图7 使用荷载下掺纤维试件应力与应变分布Fig. 7 Strain and stress conditions at service load level of steel fiber-reinforced specimens

式中：Ma为实际施加弯矩；h0f为截面有效高度；c为混凝土受压区高度；Af为FRP 筋面积；εc为混凝土压应变；σfib为钢纤维混凝土残余应力。

3.2 钢纤维轻骨料混凝土残余应力模型

因裂缝截面处的钢纤维随裂缝开展而拔出失效，σfib并非一定值，需定量描述σfib随裂缝宽度的变化规律。Li 等[20− 21]基于细观力学原理对裂缝处纤维桥接应力进行分析，引入纤维锚固长度和倾角概率密度函数，建立的σfib表达式为：

式中：k1、k2为常数系数；w∗为钢纤维完全脱粘时的裂缝宽度；w1为纤维拔出残余阶段起点对应的裂缝宽度。

已有研究表明：对于给定的钢纤维和混凝土，二者粘结参数受粘结长度的影响较小[27]。基于此，借鉴与本试验物理特性相近的钢纤维与强度等级相近的水泥基体的粘结试验结果[27−28]，选取特征参数如表7 所示。通过计算发现，构件正常使用阶段裂缝宽度较小，即使裂缝形态呈“上窄下宽”，裂缝截面不同高度的残余应力未见显著差异。考虑此，式(23)与式(24)中的裂缝宽度w均取裂缝底部宽度，文献[28]也采取了相似的研究手段。

表7 钢纤维-基材界面参数Table 7 Interface parameters between steel fibers and cement paste

3.3 裂缝宽度迭代算法

通过以上分析可知，基于粘结-滑移的裂缝宽度的计算过程涉及函数分段、积分等，难以直接联立求解。考虑此，引入迭代算法，编制计算程序，具体步骤如下：

1) 根据构件尺寸、配筋信息、材料本构和施加弯矩等已知条件，整理数据，假定最大裂缝宽度初始值wmax1；

2) 结合式(23)与式(24)，计算裂缝截面钢纤维轻骨料混凝土残余应力σfib；

3) 联立式(20)～式(22)，为简便计算，将受拉区混凝土面积近似为混凝土有效受拉面积Ac，建立一关于c的一元三次方程(式(25))，进而求解未知量c、εf与εc；

4) 采用式(2)求解裂缝处单根FRP 筋拉力F；

5) 根据式(18)计算最大裂缝间距lmax；

6) 基于建立的“低滑移”阶段FRP 筋轻骨料混凝土本构模型，通过式(17)与式(19)计算最大裂缝宽度wmax2；

7) 判定是否满足|wmax1−wmax2|≤0.01 mm。若满足，计算结束，输出结果wmax1；若不满足，将得到的wmax2作为新初始值，重复步骤2)～步骤6)，循环迭代直至满足条件。

4 模型验证

4.1 试验简介

试验设计了9 根配GFRP 筋和6 根配CFRP筋的轻骨料混凝土梁。架立筋、箍筋均采用HRB400 级钢筋，GFRP 筋与CFRP 筋选取粘结-滑移试验的同批筋材，轻骨料混凝土与粘结-滑移试验同期浇筑。构件尺寸及配筋信息见表8 与图8，各试件纯弯段长度均为净跨的4/15。

图8 试件尺寸及配筋图Fig. 8 Dimension and reinforcement of the specimens

表8 试件尺寸及参数Table 8 Details of the tested specimens

4.2 对比分析结果

Bischoff 等[29]将FRP 筋混凝土受弯构件极限荷载的30%定义为正常使用极限状态下的荷载(简称使用荷载Ms)。中国GB 50608[10]考虑FRP筋的抗腐蚀特性，将裂缝宽度限值较钢筋混凝土结构的0.4 mm 放宽至0.5 mm；美国ACI 440.1R[8]与加拿大CSA S806[9]均建议室外环境下裂缝宽度限值为0.5 mm，室内环境下为0.7 mm。鉴于使用荷载下部分试件最大裂缝宽度wmax已超过规范限值，除该荷载水平外，对wmax实测值为0.5 mm和0.7 mm 状态下模型的准确性进行评估。需指出，因裂缝发展迅速，试件LCG–1.64–3 处于0.1 mm～0.7 mm 间的裂缝宽度未捕捉到。

模型计算结果与试验结果的比值(wmax,Pred/wmax,Exp)见表9 与图9，图中实心点与空心点分别表示掺纤维与未掺纤维试件，对比可知：

图9 试验与模型计算裂缝宽度对比Fig. 9 Comparison between tested and predicted crack width

表9 裂缝宽度建议模型计算值与试验值对比Table 9 Comparison between experimental wmax and those predicted based on proposed model

1)wmax实测值为0.5 mm 时，建议模型对于掺纤维与未掺纤维试件的计算结果均较为准确，wmax,Pred/wmax,Exp的均值分别为0.94 与1.06。

2)wmax实测值为0.7 mm 时，掺纤维与未掺纤维试件的预测结果均稍显不安全，wmax,Pred/wmax,Exp的均值分别为0.83 与0.85。此外，两类试件wmax,Pred/wmax,Exp的变异系数均低于20%，表明计算结果离散程度较低。

3) 使用荷载下，对于裂缝宽度实测值未超0.5 mm 限值的试件，模型预测值较为准确甚至偏于保守；对于裂缝宽度实测值高于0.5 mm 的试件，计算结果偏于不安全。

同时，采用建议模型对试件各受力阶段最大裂缝宽度进行计算，结果见图10。由图可见：

图10 试验与模型计算弯矩–裂缝宽度曲线对比Fig. 10 Comparison of moment–crack width curves obtained from experiments and predictions

4) 总体上，wmax处于0.5 mm 限值以内时，理论曲线与试验结果吻合较优；wmax处于0.5 mm～0.7 mm 时，计算结果随弯矩的提高逐渐倾向于不安全。

5 结论

本文建立了FRP 筋钢纤维轻骨料混凝土“低滑移”阶段粘结-滑移本构方程。基于此，提出了FRP 筋钢纤维轻骨料混凝土梁最大裂缝宽度模型。得出结论如下：

(1) 轻骨料混凝土掺入钢纤维对低荷载水平下FRP 筋轻骨料混凝土粘结-滑移关系无显著影响。以0.28 mm 作为滑移量上限的“低滑移”阶段粘结-滑移线性本构方程适用于FRP 筋钢纤维轻骨料混凝土梁最大裂缝宽度的分析。

(2) 建立了基于粘结-滑移的FRP 筋钢纤维轻骨料混凝土梁最大裂缝宽度模型。最大裂缝宽度为0.5 mm 时，建议模型对于掺纤维与未掺纤维试件的计算结果均较为准确，计算值与试验值比值的均值分别为0.94 与1.06；最大裂缝宽度处于0.5 mm～0.7 mm 时，计算结果随弯矩的提高逐渐倾向于不安全。