基于参数辨识与补偿的永磁伺服系统自校正ADRC

张 臻，周扬忠

(福州大学 福建省新能源发电与电能变换重点实验室，福州 350116)

0 引 言

工业机器人、数控机床等高性能交流伺服应用，往往对系统的动态响应特性以及运行可靠性均有严格要求[1]。欲实现永磁同步电机(以下简称PMSM)高性能位置伺服控制，不仅需对电机转子位置角采用先进的控制策略[2]，还需克服系统自身参数变化及负载突变等不确定扰动对控制精度的影响。在实际工程运用中，电机各参数值会随运行工况的不同或材质的退化而发生改变[3]，造成被控对象建模不准确，进而影响控制系统的稳定性。因此，对电机参数进行快速、准确的辨识并及时对控制器参数进行自整定，具有重要的研究应用价值。

在各类非线性控制策略中，自抗扰控制(以下简称ADRC)具有较好的鲁棒性、较高的控制精度、较强的抗扰性能以及较弱的模型依赖度，在PMSM控制领域得到了广泛应用[4-6]。ADRC通过扩张状态观测器(以下简称ESO)实时观测系统的内外总扰动并进行前馈补偿，将系统整定为积分串联系统，从而实现高性能控制。其中文献[7]给出PMSM调速系统非线性自抗扰控制的设计方案及参数整定的方向和规律；文献[8]对自抗扰控制器进行了改进，在实现位置、速度复合控制的同时，解决了传统二阶ADRC在伺服系统中转速不可控的问题；为减轻ESO观测扰动的负担，文献[9]采用模型补偿ADRC策略，以提高系统的抗扰动能力。此外，ADRC的控制性能还受ESO观测精度的影响，而ESO的观测精度又依赖于转动惯量的大小[10]。

为获得准确的转动惯量值，常采用在线辨识方法来捕获系统动态信息，进而得到实时的转动惯量值，如最小二乘法、卡尔曼滤波器和模型参考自适应法等。相较最小二乘法和卡尔曼滤波器进行辨识时需进行复杂的数学计算和非线性滤波处理，模型参考自适应算法不仅理论简单，便于程序实现，且辨识收敛速度快。文献[11]在忽略负载转矩影响的情况下采用模型参考自适应算法实现对转动惯量的辨识，并将辨识值用于负载转矩观测器的实时校正。又因PMSM非线性、强耦合的特点，文献[12]通过串联离散时间模型参考自适应法实现对转动惯量和负载转矩的同步辨识，解决了辨识参数耦合的问题。文献[13]针对负载扰动与摩擦系数偏差对转动惯量辨识造成的影响，提出在转速相等、角加速度大小相等而方向相反的条件下对辨识结果进行补偿。但传统基于模型参考自适应法进行转动惯量辨识通常是根据转速环设计的。

为实现伺服系统的高性能控制，本文提出一种基于参数辨识与扰动补偿PMSM位置伺服自校正ADRC方案。利用二阶非线性自抗扰控制实现位置、速度的复合控制，在位置环中采用朗道离散时间递推算法对转动惯量进行实时估计；同时为减少负载扰动对控制系统性能的影响，依据PMSM机械运动方程设计了负载观测器[14]。并将获得的参数信息代入到自抗扰控制器中，实现模型补偿和参数校正，进而提高系统鲁棒性。仿真和实验结果表明，在参数摄动和负载突变的情况下，进行参数辨识和模型补偿的自校正ADRC系统，抗扰性能得到改善。

1 基于模型补偿的PMSM非线性ADRC设计

1.1 PMSM数学模型

本文研究的是面装式PMSM，采用id=0的矢量控制策略。为简化分析，在同步旋转d-q坐标系下，PMSM的机械运动方程如下式：

(1)

式中:θm为转子位置角；ωm为机械角速度；Jm为系统的转动惯量；B为系统的粘滞摩擦系数；TL为负载转矩；iq为q轴定子电流；p为极对数；ψf为转子永磁体磁链。

设状态变量xp1=θm，xp2=ωm，则系统内部扰动fp(ωm)=-(Bωm)/Jm，外部扰动wp(t)=-TL/Jm，位置控制增益bp=(1.5pψf)/Jm，则式(1)可简写：

(2)

考虑到参数失配的情况，实际的位置控制增益bp未知，设bp0=(1.5pψf)/Jm为bp的估计值，则可得增益扰动σp和广义总扰动ap1(ωm,t)分别：

(3)

将广义总扰动扩张为新的状态变量xp3，系统输入量iq用变量up表示，系统输出量θm用yp表示，则可得:

(4)

1.2 基于模型补偿的ADRC数学模型

自抗扰控制主要包括跟踪-微分(以下简称TD)模块、ESO模块和非线性状态误差反馈控制(以下简称NLSEF)模块三个环节。

TD方程：

(5)

其中最速函数fst(x1,x2,r,h)具体表达式如下：

(6)

式中:x1,x2为输入变量；fst为输出变量；r为跟踪加速因子，决定跟踪给定信号的速度；h为滤波因子，决定噪声的滤波效果。

ESO方程：

(7)

NLSEF方程：

(8)

式中:εp1为位置角跟踪误差；εp2为机械角速度误差；kp1,kp2为比例系数；up0和up分别是ADRC输出的基本控制量和经过模型补偿后的控制量。

其中fal最优控制函数的具体表达式：

(9)

式中:e为输入误差变量；α为非线性系数；δ表示为滤波因子。

图1 基于模型补偿的二阶自校正ADRC结构

2 参数辨识与校正

2.1 基于离散模型参考自适应的转动惯量在线辨识原理

为获得准确的转动惯量值，基于朗道离散时间串联模型参考自适应算法设计的转动惯量辨识器结构框图如图2所示。在参考模型确定后，选择与参考模型具有相同数学形式但包含待辨识参数的数学方程作为可调模型，再利用两模型间输出量的误差设计自适应机制来实时调节、更新待辨识参数值，直至输出间的误差收敛至0，辨识即完成。具体原理阐述如下。

图2 转动惯量辨识结构框图

将式(1)改写为如下二阶状态方程：

(10)

认为辨识算法对位置的采样频率足够快，将上式离散化后可得：

(11)

式中:Tc为辨识算法控制周期。

由式(11)可推得，在k时刻与k-1时刻时的运动方程分别如下：

θm(k)=b[Te(k-1)-Td(k-1)]+

2θm(k-1)-θm(k-2)

(12)

θm(k-1)=b[Te(k-2)-Td(k-2)]+

2θm(k-2)-θm(k-3)

(13)

式中:b=Tc2/Jm。

将式(12)与式(13)作差可得：

θm(k)=b{[Te(k-1)-Te(k-2)]-[Td(k-1)-

Td(k-2)]}+3θm(k-1)-3θm(k-2)+

θm(k-3)

(14)

本文未直接选用PMSM的机械运动方程作为参考模型，而采用式(14)作为自适应参考模型，因与直接采用输入变量前一时刻的值进行迭代计数相比，将电磁转矩以及观测的负载转矩的前后两个时刻的变化量代入运算，可减少负载剧烈变化对辨识结果造成的影响。此时可调模型可设计如下：

(15)

(16)

根据所设计的可调模型输出，求得其与实际模型输出间的误差：

(17)

ΔT(k-1)

(18)

式中:eθ表示先验误差；e′θ代表后验误差；ΔT(k-1)=[Te(k-1)-Te(k-2)]-[Td(k-1)-Td(k-2)]。

基于Popov超稳定理论，采用先验误差设计可得自适应机制的辨识算法迭代公式:

(19)

2.2 串联离散模型参考自适应收敛性证明

因先验模型与后验模型的自适应过程是等价的，且为满足Popov不等式，以可调模型的后验输出与参考模型的输出偏差为依据，通过建立一个描述后验误差e′θ动态特性的微分方程，来等效模型参考自适应系统，图3即为以后验误差方程等价的离散非线性反馈系统。根据自适应律和式(18)可以确定等价系统的非线性反馈环节：

(20)

图3 离散非线性反馈系统

为分析简单，未采用线性补偿器，即D(z)=1。此时有v(k)=e′θ(k)，由式(18)和式(20)求得：

(21)

G(z)=Ge(z)D(z)=1

(22)

由式(22)可知,此时线性定常方框等价的正向传递函数G(z)满足严格正实的条件。

根据离散Popov超稳定性定理可知，当等效非线性反馈系统的输入与输出的内积满足Popov不等式(23)时：

(23)

式中：ρ0是一个任意有限正常数。

系统辨识才能稳定。从不等式可知，η(0，K)中的变量v(k)、ω(k)均表示当前时刻的值，故证明过程需采用后验误差验证。

将式(17)与式(18)作差，结合式(19)可得下式：

(24)

则先验误差与后验误差的关系：

(25)

再将式(25)代入式(19)中，可得采用后验误差表示的辨识算法迭代公式：

(26)

联立式(20)、式(26)和式(23)可得：

(27)

又已知对于任意n个实数xi(i=1,…,n)有：

(28)

2.3 负载转矩观测器设计

抑制负载扰动对控制系统的影响，根据PMSM的机械运动方程，构建了负载转矩观测器。将PMSM的机械运动方程重新描述如下：

(29)

在实际带载状态下，iq可通过电流传感器经坐标变换后获得，而转速以及加速度信息可通过ESO获取，为消除观测噪声，添加了以T0为滤波因子的一阶低通滤波器，通过Laplace变换后可得负载转矩观测值如下：

(30)

2.4 基于模型补偿的二阶ADRC参数自校正制系统

图4 系统控制框图

3 仿真验证

为验证本文的基于转动惯量辨识的参数自整定自抗扰控制器的效果，在MATLAB/Simulink进行仿真研究，仿真用PMSM的参数如下：电机的额定功率为370 W；额定电压为48 V；额定转速为3 000 r/min；额定转矩为1.2 N·m；极对数为4；定子电阻为1.18 Ω；d，q轴电感为2.2 mH；转动惯量为2.68×10-3kg·m2；粘滞摩擦系数为1.69×10-4N·m·s/rad；永磁磁链为0.146 67 Wb。其中自抗扰控制器的参数取βp1=1 000，βp2=750 000，βp3=125 000 000，rp=500，h0=0.000 1，kp1=8 000，kp2=3 000，δ=0.000 1，α=0.5；转动惯量辨识算法参数取β=8，Tc=1 μs。

3.1 负载转矩观测仿真分析

图5 负载转矩观测波形图

3.2 转动惯量辨识仿真分析

图6 转动惯量辨识波形图

3.3 位置跟随仿真分析

图7(a)为给定位置按照(π/6)sin(0.5πt)变化时，电机转子位置θ跟踪曲线图当电机运行至4 s时，突加3 N·m的负载。从图7(a)可知，未对ADRC控制器参数进行校正和扰动补偿的θ2，抗扰性能会差一些，其最大跟踪误差约为7.374×10-3rad；而θ1因引入了负载转矩观测器，通过将观测的负载变化补偿到ESO中，增强了系统的抗扰性能，其最大的跟踪误差为6.043×10-3rad。

图7 位置跟踪波形图

电机空载起动，在相同位置给定条件下运行至4 s时，将转动惯量突变为原来数值的10倍，转子位置跟踪波形图如图7(b)所示。从图7(b)可知，当转动惯量突变时，没有对控制器参数bp0进行校正的控制系统都出现了不同程度的抖振。其中只进行了模型补偿的ADRC控制策略的位置信号θ3抖振最为严重，这是因为模型补偿的量也涉及到了Jm参数，而该系统只进行补偿而没有对补偿环节的Jm进行校正；因此同只采用普通ADRC控制策略的θ2相比，跟踪效果变差。而θ1为有进行校正系统的位置跟踪波形，在Jm突变后依然能够准确地跟踪给定值，因此校正后的系统具有更强的抗干扰能力。

4 实验验证

本文对控制方案进行了实验验证。图8为基于DSP2808系统设计的实验平台，其中伺服控制对象是型号为ASM370(48 V/370 W)的PMSM，并采用无刷直流电机作为负载使用。PMSM参数：额定功率为370 W；额定电压为48 V；额定转速为3 000 r/min；额定转矩为1.2 N·m；极对数为4；定子电阻为0.173 Ω；d，q轴电感为0.132 mH；编码器线数为2 500线；永磁磁链为0.012 405 Wb。实验中控制周期取为210 μs；自抗扰控制器的参数取βp1=1 500，βp2=1 000 000，βp3=650 000 000，rp=1 000，h0=0.000 1，kp1=1 100，kp2=1 000，δ=0.000 1，a=0.5；转动惯量辨识算法参数取β=0.08，Tc=0.42 ms。

图8 实验平台

4.1 负载转矩观测实验分析

由PMSM拖动无刷直流电机运行，通过突加无刷直流电机定子侧串联的电阻实现负载突变，此时电磁转矩与观测的负载转矩如图9所示。从图9可知，未对控制器参数和负载观测器参数进行校正时，负载转矩观测器的观测精度并不高；尤其是负载突变后，观测误差进一步增大。通过对系统参数进行校正补偿，观测的负载转矩能够较好地跟踪上电磁转矩。

图9 负载转矩观测曲线图

4.2 转动惯量辨识实验分析

图10对比了在不同β取值下对转动惯量辨识结果的影响。当β取0.02时，辨识参数b经过大概6.5 s稳定在6.126×10-4s2/(kg·m2)，辨识误差为9.577%；当β取0.03时，经过大概6 s后b稳定在6.219 25×10-4s2/(kg·m2)，此时辨识误差约为8.338%；当取β为0.05时，辨识参数b经过大概2.5 s后稳定在6.281 032×10-4s2/(kg·m2)，但此时辨识结果的幅值脉动增大，辨识误差约为7.33%；比较结果可知，在一定范围内自适应系数β取值越大，辨识收敛速度越快，但辨识结果的脉动会随之增大。

图10 β取值对Jm辨识结果的影响

4.3 位置跟踪实验分析

位置给定信号为(π)sin(πt)的正弦信号，从图11可知，此时最大位置跟踪误差约为0.308 rad；运行一段时间后突加负载，位置跟踪效果变差，最大跟踪误差增加到0.346 rad，其最大跟踪误差增大了12%，在73 s左右对自抗扰控制器进行校正补偿，此时位置跟踪误差降为0.303 7 rad。

图11 转子位置跟踪波形图

5 结 语

为实现高性能伺服系统控制，针对时变惯量，本文采用模型参考自适应法实现转动惯量的辨识；针对时变负荷，根据机械运动方程设计了负载转矩观测器，并将辨识的模型参数代入二阶位置ADRC控制器中进行校正和补偿。仿真和实验结果表明：

1)在位置闭环控制系中，采用朗道离散时间递推算法设计的转动惯量辨识器不仅收敛速度较快，且辨识误差较小。

2)校正后的负载转矩观测器具有较强的抗扰能力，且观测精度较高。

3)经模型补偿和参数自整定后的二阶ADRC系统，抗扰性能得到提升，位置跟踪效果更好。