非均匀噪声条件下的互质阵列欠定DOA估计方法

孙 兵 阮怀林 吴晨曦 钟 华 吴世龙

(国防科技大学电子对抗学院 合肥 230037)

1 引言

波达方向(Direction Of Arrival, DOA)估计广泛应用于雷达信号处理、目标检测、导航等诸多领域，是阵列信号处理领域的核心研究内容之一。现代电磁环境信源密集且复杂多变，往往需要利用有限的阵元实现多信源测向。经典的超分辨算法多是针对均匀线性阵列设计，自由度受阵元个数限制，由N个阵元组成的均匀阵列的可达到的自由度限制为N −1，难以实现欠定条件下的DOA估计。为解决这一问题，文献[1]提出互质阵列结构模型，相较于传统均匀阵列，N阵元的互质阵列，其自由度可以达到O(N2)。互质阵列之所以具有这一优势是因为其差联合阵中拥有大小为O(N2)的虚拟均匀线阵部分。故该理论框架一经提出便受到了广泛的关注[2-5]。目前，基于互质阵列的欠定DOA估计经典算法主要包括空间平滑算法[6]、稀疏算法[7]和数组插值算法[8]。这些算法均假设噪声为高斯白噪声，当噪声模型不满足高斯白噪声时，基于互质阵列的DOA估计算法性能会严重下降。在实际应用中，由于阵元间相互耦合、非理想的接收通道以及阵列未校准等因素，相关色噪声常常出现，一般情况下，相关色噪声结构未知，但某些情况下，如阵元稀疏布置，色噪声可以进一步简化为非均匀噪声[9-11]。

对于非均匀噪声条件下的DOA估计问题，文献[12]对非均匀噪声进行预白化，进而实现鲁棒的DOA估计，但该方法要求阵元数量至少是信源数量的3倍。文献[13]推导了基于最大似然的DOA估计方法，使用迭代方式估计非均匀噪声参数，具有很高的计算复杂度。文献[14]提出了基于子空间的DOA估计方法，但同样需要迭代过程。文献[15]提出了一种非迭代方法，从而降低了计算复杂度并避免了收敛问题。但是，文献[13-15]提出的方法均要求阵元数大于信源数，无法适用于欠定DOA估计。为此，文献[16]提出一种基于压缩感知的DOA估计算法，该方法适用于互质阵列，并在文献[17]进一步扩展到宽带信号，然而，该方法直接从数据协方差矩阵中删除了对角线元素，导致性能下降。文献[18]提出了一种非均匀噪声条件下的互质阵列DOA估计方法，但该方法仅使用差联合阵中连续的虚拟阵元，舍弃了非连续部分，因此无法获得最佳性能。文献[19]针对非均匀噪声背景下欠定DOA估计，提出了基于全变分范数最小化的估计方法，但该方法同样无法利用非连续虚拟阵元。文献[20]充分利用了所有虚拟阵元，然而，该方法为构造无噪声协方差矩阵，直接移除采样协方差矩阵对角线元素，导致对角线元素中的有用信号成分也被移除，造成了信息损失。

针对上述问题，为实现互质阵列在非均匀噪声条件下的鲁棒DOA估计，本文提出一种基于协方差矩阵重构和矩阵填充的DOA估计方法。首先将接收数据协方差矩阵分解，得到包含非均匀噪声项的对角阵。然后选取对角线元素中的最小值替换其余对角线元素得到重构后的协方差矩阵，实现了噪声协方差矩阵预白化，并等效提高了信噪比。最后，为实现欠定DOA估计，对重构后的协方差矩阵进行扩展和矩阵填充，结合子空间方法进行DOA估计。相对于现有方法，该方法充分利用了所有虚拟阵元，有效抑制非均匀噪声的同时不丢失有用信息，提高了估计性能。

2 互质阵列信号模型

互质阵列模型如图1所示，该阵列由两个线性均匀阵列组成，子阵1中包含N个阵元，间距为Md。子阵2中包含2M个阵元，间距为Nd，两个子阵共用第1个阵元。其中，M与N是两个互质的整数，d=λ/2，λ为入射信号波长。各阵元位置集合可表示为P={nMd,0≤n ≤N −1}∪{mNd,0≤m ≤2M −1}。

图1 互质阵列示意图

假设有L个远场窄带信号分别入射至互质阵列，到达角为：θ=[θ1,θ2,...,θL]，则阵列输出数据可表示为

3 非均匀噪声条件下的互质阵列DOA估计方法

3.1 差联合阵列的数据预处理

为了直观分析互质阵列，给出差联合阵列概念，定义集合S 为

其中， P 为互质阵列各阵元位置集合，pi和pj分别表示第i和第j个阵元位置。S 为各阵元位置差构成的集合， S中存在相同元素值，将S 中所有不同元素值px构成的集合定义为Sx，px在S 中重复出现的次数定义为ω(px)。由互质阵列性质，集合Sx中各元素值即差联合阵列的虚拟阵元位置，其中非负元素数为阵列自由度，直接决定了互质阵列的最大可估计信号数。

由式(2)可得互质阵列接收数据协方差矩阵

3.2 基于协方差矩阵重构和矩阵填充的DOA估计方法

为了减少非均匀噪声影响，先对数据协方差矩阵进行重构，将R分解为如下两个矩阵之和

其中，R1和R2具体表示为

步骤 4 通过式(14)，进一步得到重构后的协方差矩阵Rˆ。

步骤 5 通过式(1 6)将Rˆ扩展成维数为(2MN −N+1)×(2MN −N+1)的Toeplitz 矩阵RE。

步骤 6 将RE的矩阵填充问题转化为式(17)秩函数最小化模型，再利用式(19)核范数最小化对式(17)进行凸松弛，最后基于奇异值阈值算法实现矩阵填充，得到目标矩阵RV。结合MUSIC算法进行DOA估计。

4 仿真实验

4.1 可行性分析

将所提算法的性能与3种经典互质阵列DOA估计算法进行比较，包括SS-MUSIC算法[6]，COLasso算法[7]和Interpolation算法[8]。设置MUSIC算法的角度搜索间隔为0.1°, CO-Lasso算法的完备字典间隔设置为0.1°。设有1 6 个均匀分布于-42°～48°方向的远场窄带信号，信噪比SNR=0 dB，快拍数L=300。非均匀噪声协方差矩阵Q=diag{31,20,5,13,16,37,1,27,9,13}。4 种算法的实验结果如图2所示。

由图2可以看出，3种经典互质阵列DOA估计算法效果均不理想，其中SS-MUSIC算法只能对少数信源实现DOA估计，CO-Lasso算法和Interpolation算法对于部分信源估计误差较大，而本文算法可以对全部信源进行较准确的DOA估计。这是因为3种经典算法的基本假设是均匀白噪声背景下，而在非均匀噪声情况下，估计性能下降，本文通过对接收数据协方差进行矩阵重构和填充，有效地抑制了非均匀噪声。

图2 幅相误差条件下的归一化空间谱

4.2 估计精度分析

将本文所提算法的性能与3种非均匀噪声条件下互质阵列的DOA估计算法进行比较，包括CCVS[18]算法，TVNM[19]算法和CMRCS[20]算法。设有12个均匀分布于-42°～35°方向的远场窄带信号。图3和图4分别为均方根误差随信噪比和快拍数的变化关系。图3中，设置快拍数为600，信噪比变化范围为-15～15 dB，进行300次蒙特卡罗实验。图4中，设置信噪比SNR为5 dB，快拍数变化范围为100～700，进行300次蒙特卡罗实验，快拍数变化对DOA估计均方根误差的影响。假设非均匀噪声协方差矩阵Q各对角线元素为[1,10]，在每次实验中，从[1,30]范围随机选择各对角线元素。

图3 均方根误差随信噪比变化

图4 均方根误差随快拍数变化

由图3和图4可知，在相同条件下，提高信噪比或增加快拍数，4种算法的角度估计精度均逐步提高，在设置较高信噪比和快拍数情况下，CCVS算法和TVNM算法估计精度明显低于CMRCS算法和本文算法。这是因为CCVS算法和TVNM算法仅利用了差联合阵列中连续的虚拟阵元，舍弃了非连续部分，导致损失了部分有用信息；并且，这两种算法本质上是通过平均协方差矩阵对角线元素来实现噪声协方差矩阵白化，对噪声抑制效果有限。CMRCS算法和本文算法均充分利用了所有的虚拟阵元，其中，CMRCS算法通过移除采样协方差矩阵对角线元素来构造无噪声协方差矩阵，移除噪声协方差矩阵对角线元素的同时，也移除了信号协方差矩阵对角线元素，造成了信息损失。本文算法则通过选取对角线元素中的最小值替换其余元素，抑制非均匀噪声的同时保留了有用信息，因而估计效果更好。

4.3 分辨概率分析

由图5可知，本文算法角度分辨概率最高，在信噪比增加至0 dB时，本文算法和CMRCS算法角度分辨概率均趋于100%，而CCVS算法和TVNM算法分辨概率相对较低。由图6可知，在角度间隔增加至1.4°时，本文算法和CMRCS算法分辨概率趋近100%，且本文算法分辨概率最高，相比于CCVS算法和TVNM算法有明显的分辨优势。因此，本文算法在不同信噪比和不同角度间隔情况下均具有明显的高分辨优势。

图5 分辨概率随信噪比变化

图6 分辨概率随角度间隔变化

5 结束语

为了解决互质阵列欠定DOA估计方法在非均匀噪声条件下性能下降的问题，本文提出一种基于协方差矩阵重构和矩阵填充的DOA估计方法。通过重构接收数据协方差矩阵，有效抑制了非均匀噪声，并将重构后的协方差矩阵进行扩展和填充，实现欠定DOA估计。理论分析和仿真实验表明，在非均匀噪声条件下，该方法保证了互质阵列欠定DOA估计的鲁棒性。相对于现有方法，该方法充分利用了所有虚拟阵元，有效抑制非均匀噪声的同时不丢失有用信息，提高了估计性能。