再谈“流浪地球” ——让地球脱离太阳系最少需要做多大的功?

于凤军,田俊龙,汤振杰,鞠 林

(安阳师范学院 物理与电气工程学院，河南 安阳 455000)

2019年春节期间, 国产科幻大片《流浪地球》在全国上映, 它设想在2075年, 太阳即将毁灭, 人类为谋求生存, 带着地球奔向距太阳系最近的一颗恒星附近“安家”. 央视《焦点访谈》评论:“《流浪地球》的科幻热，还带动了科学热”. 借助该影片在国内外青少年中的巨大影响,文献[1]进行了教学讨论：从其中的设想出发, 针对设想的第一步——让地球停止转动, 计算为实现它最少需要做多大的功, 并从能源角度讨论让地球停转的可行性问题. 这引起了学生浓厚的探讨兴趣. 该影片设想的第二步是, 建设10000个地球行星发动机, 这些发动机朝恒星目标方向的反方向喷射物质, 利用火箭反冲原理[2]让地球朝目标运动(见图1). 要实现朝目标方向的运动, 地球必须先摆脱太阳引力束缚. 本文假定第一步可以实现, 计算在地球质量能够满足生命存在需要的条件下, 让地球刚好能摆脱太阳束缚, 最少需要做多大的功, 并从能源角度讨论其可能性.

图1

1 限定条件、近似说明和概念准备

1.1 维持生命存在所需要的地球最小质量

先说明为什么本文讨论的前提条件是地球质量能够满足生命存在的需要. 第一，人们经过长期观察发现，太阳系中，质量较大的行星上有大气，质量较小的行星或卫星上无大气，如月球，在无大气的天体上不能存在生命. 那么，在质量多大的行星上才有可能存在大气呢？对于这个问题，文献[3]、[4]用定性和半定量的方法进行过研究, 给出一个结论：地球维持生命存在所需要的质量必须满足：m>3.05×1023kg. 第二，带着地球去“流浪”的目的，是为了生命生存. 然而，为了逃离太阳系，必须抛射物质，这将导致地球质量必然减少.根据上述结论，地球质量不能太小, 太小不能满足生命存在的需要. 基于以上两点考虑，有了上述前提条件. 根据上述不等式可知，维持生命生存所需要的地球最小质量值为m1=3.05×1023kg. 它与目前地球质量m0=5.98×1024kg之比为

(1)

1.2 近似说明

“地球流浪”伴随着复杂的物理过程，有多种因素影响计算的结果. 从本文后边的推导结果将会看到，行星发动机做的功与地球的末质量与初质量之比有关，做的最小功与式(1)有关. 而式(1)中m1是由文献[3]、[4]用定性和半定量的物理方法估算得到的，一般只能在数量级上与实际一致，故本文的计算结果也属于估算结果. 因此，没有必要考虑每一种因素，当某种因素对结果的影响较小时，就把它忽略掉. 下面作具体说明.

如图2，太阳和地球都看作质点，分别由S和E表示，rse表示地球轨道半径. 我们设想的地球逃离方案是，让行星发动机使地球在目前的轨道位置，沿运动方向、即轨道的切线方向进行加速，经过不长的时间Δt，使其从目前的轨道速度v0达到脱离太阳系的最低速度——逃逸速度v2(图中Δv=v2-v0)，之后关闭发动机，凭借惯性运动到达距离太阳无限远的地方. 当然这不是唯一的方案. 本方案的出发点：一是沿轨道切向加速可以节约发动机能量，原因是这可以最大限度地利用地球原有的速度或动能(这与沿赤道向东发射卫星可节省能量的理由一样)；二是能用低年级大学生知道的普通物理力学[2]知识、和较简单的方法处理问题. 这种方案伴随着两个因素需要权衡和作近似处理. 一是惯性力，二是太阳引力.

图2

当地球加速时，在地球参考系中，地球表面上的各种物质如人、物品、空气、海洋等都会受到惯性力的作用，在前方表面上的物体会超重，后方表面上的物体会失重.如果地球在太阳参考系中的切向加速度aτ超过重力加速度g，则惯性力大于地球引力，后方表面上的上述物质会离开地球飞向太空，前方表面上的人类会感到非常不适. 因此我们假定发动机总功率可控，可以使aτ足够小，小到它对包括空气在内的生活环境的影响可以被人们接受. 但aτ也不能太小，太小则需要加速的时间太长，太长会导致地球脱离原来的轨道太远，以致由原来轨道确定的逃逸速度不能适用，这是因为逃逸速度与rse有关(详见1.3节的有关公式). 作者认为，如果超重或失重部分为原重的3%，对人、空气等都不会有太大的影响，故取aτ≈3%·g=0.294 m/s2，它约为民航客机起飞加速度的1/3. 经计算知，地球从这个aτ开始运动，达到逃逸速度时，产生的切向位移相对于太阳的张角Δφ<0.6° (见图2)，rse的变化远小于轨道半径，故原来确定的逃逸速度变化不大.

当地球加速时，地球不仅受反冲推力，还受太阳引力. 反冲推力正比于切向加速度aτ，太阳引力正比于轨道法向加速度an. 经计算知，an=0.0059 m/s2，an/aτ=2%，故太阳引力远小于反冲推力，可忽略太阳引力的作用.

地球在加速时需要抛射物质, 其运动与火箭一样，属变质量物体的运动, 以下简称“地球火箭”. 火箭运动的处理方法[2]是，取物体和喷射的物质dm为研究系统，如果不受外力，则系统动量守恒, 文献[2]由此可以导出“火箭运动的微分方程” (见1.4小节式(5)). 在工程问题中，绝对不受外力的系统是没有的，比如重力不可回避. 通常，在工程问题中，当内力远大于外力时，就认为系统的动量守恒. 对于本文研究的“地球火箭”，反冲推力是地球与抛射物质dm间的相互作用力，属于内力，太阳引力是外力，根据上段的讨论，反冲推力远大于太阳引力，故可以忽略太阳引力、近似认为动量守恒，从而可以使用火箭运动的微分方程.

在使用动量守恒定律时还有一个规则：当外力在某方向的投影为0时，则在该方向的动量守恒，如光滑水平面上的两个小车碰撞问题，在水平方向动量守恒. 在图2中，“地球火箭”在加速阶段、即抛射物质阶段对应的Δφ<0.6°，这意味着太阳引力方向与“地球火箭”的运动方向几乎垂直，即在运动方向的投影几乎为0 . 因此，即使太阳引力不能忽略，在轨道的切线方向，由地球与抛射物质dm组成的系统的动量也几乎守恒. 再加上太阳引力相对于内力很小，应用动量守恒和火箭运动的微分方程引起的误差几乎可以不计.

顺便说明，基于上边二段给出的同样理由，可以得出：“地球火箭”在加速阶段，太阳引力对由地球与抛射物质dm组成的系统做的功也可忽略不计.

行星发动机抛射的物质要经过大气层，将受到空气阻力，如同文献[1]一样，忽略它的作用. 此外，地球逃离太阳系是以质量减少为代价的，这对山水、土壤、海洋等必然造成影响. 本文主要考虑力学范围内的问题，不考虑除保留大气以外的其它环境科学问题，也不考虑发射物质的开采、运输等所有工程技术方面的难度问题和能耗问题。

1.3 逃逸速度

由于存在引力,某物体欲脱离某星球, 物体相对于星球的速度有一最小值, 这个最小速度叫逃逸速度. 本文涉及的逃逸速度有二种, 第一种与地球脱离太阳对应, 第二种与物体脱离地球对应.

(2)

Δv≥Δvm=v2-v0=12337 m/s

(3)

需要强调当地球速度达到v2时, 它刚能脱离太阳引力束缚, 还不能向目标恒星运动.

(4)

总而言之, 欲使地球摆脱太阳引力, 须先使被抛物质摆脱地球引力, 可见逃逸速度在本问题中的重要性.

1.4 有效反冲喷射速度

火箭的运动原理是利用其尾部喷射物质的反冲作用推动火箭向前运动, 被喷射物质相对于火箭的速度vr叫做喷射速度. 这是变质量物体的运动, 根据动量守恒可以推出火箭的运动微分方程为[2]

dv=-vrdm/m

(5)

其中m是t时刻火箭的质量, dv、dm分别是dt时间内火箭的速度增量和质量增量,v是火箭在某惯性系中的速度.

行星发动机使地球运动的原理与火箭相同, 都是变质量物体的运动, 我们把“流浪”的地球看作一个巨大的火箭. 然而, 地球火箭与现有火箭有一点很大的不同: 在无阻尼情况下, 由式(5)可知, 现有火箭只要vr≠0,它就可持续加速运动. 而地球火箭却不一定. 关于这一点, 上边介绍地球的逃逸速度时曾指出,vr

选择太阳参考系. 鉴于上述分析, 对于地球火箭, 应该把方程 (5)中的喷射速度vr换成有效反冲喷射速度vr∞，得其运动微分方程：

(6)

对上式两边积分, 可得地球火箭的速度增量：

(7)

其中m2是地球运动速度为v2时的质量. 根据式(3)可知, Δv=Δvm=12337 m/s时地球火箭刚好能摆脱太阳引力, 故由式(7)得

(8)

由上式看出, Δvm一定时，地球末质量与初质量之比m2/m0越小, 有效反冲喷射速度vr∞越小, 但该比值的最小值由式(1)决定:m2/m0=m1/m0=1/19.6, 由此计算出vr∞的最小值为4146 m/s, 这是对有效反冲喷射速度的限定条件.

1.5 目前人类可预期的地球上最大的可利用能量

目前人类可预期的地球上最大的可利用能量是海水中氘核的聚变能, 该能量数值由文献[1]给出

ED=1.68×1031J

(9)

2 地球刚好能摆脱太阳引力需要做的功

先考虑t时刻附近、dt时间内地球火箭喷射质量为|dm|的质元所需要的行星发动机做的功. 取此时质量为m的地球和质元|dm|为研究系统. 在下面的讨论中，如1.2节指出的那样，太阳引力对系统做的功忽略不计，并忽略其它天体的作用. 行星发动机包含在地球m之内, 故它做的功是内力做功. 内力总是成对出现的, 做功与参考系无关. 为方便起见, 取系统质心参考系. 在质心系中, |dm|被抛出发动机之前, |dm|和m合为一体, 速度、动量和动能都是0, 设|dm|抛出后在发动机出口处的速度为V2, 而此时m的速度为V1(见图3) ,由动量守恒得

mV1+|dm|V2=0

(10)

图3

|dm|被抛出前后系统的动能增量

(11)

|dm|相对于地球的速度为vr=V2-V1, 将此式与式(10)联立求解，得到V1、V2后，代入式(11)化简, 同时考虑|dm|→0, 得

(12)

由于太阳和其他天体的引力做功可以忽略, 故由质点系的动能定理[2]可知, 系统动能的增量等于内力所做的功. 本问题中的内力包括行星发动机提供的推力、以及|dm|与m之间的引力.从|dm|在发动机内开始加速处到抛出在发动机出口处的这段位移中, 推力远大于内部引力, 内部引力做功可以忽略不计, 故系统动能的增量dEk等于行星发动机所做的元功dA. 考虑到上式中的vr由式(4)决定, 可得

(13)

对上式积分, 同时考虑到R=R0(m/m0)1/3和式(8), 可得行星发动机所做的总功

(14)

将m0=5.986×1024Kg,R0=6371000 m,G=6.672×10-11Jm/(kg)2, Δvm=12337 m/s代入上式, 再以m2/m0为横轴,A为纵轴画出A随m2/m0变化的曲线, 见图4. 可以看m2/m0越小,A越小.但m2/m0最小值由式(1)决定：m2/m0=m1/m0=1/19.6,由此计算A的最小值

Am=0.49×1032+2.23×1032=

2.72×1032(J)

(15)

图4

这就是在地球质量能够满足生命存在需要的条件下, 让地球刚好能摆脱太阳束缚, 行星发动机最少需要做的功.

3 讨论

1) 由式(9)和式(15)可知, 目前人类可预期的地球上最大的可利用能量仅为1.68×1031J, 即使它100%可以转化为机械功仍比Am小1个数量级, 何况能量转换效率小于100%. 所以, 就目前已探明的能源状况, 人类让地球脱离太阳系是不可能的——如同悟空逃不出如来手掌, 更谈不上带着地球“流浪”到其它恒星附近“安家”.

2) 从式(14)、式(15)可以看出, 第一项含有地球的速度增量Δvm，表明此项对应让地球加速需要做的功；第二项含有引力常数和地球质量，表明它是因地球引力存在而需要做的功，其大小为2.23×1032J, 占总功的82%.因此对于本文研究的问题，“地球火箭”所耗费能量的绝大部分用于被抛物质摆脱地球的引力，这是地球火箭的特别之处.

4 结语

本文是文献[1]的姊妹篇, 从科普作品《流浪地球》中让地球“流浪”的话题出发, 结合其中涉及到的力学概念、定律、定理进行教学讨论. 在太阳参考系中研究“地球火箭”这样一个特殊的变质量物体的运动, 特别是引入有效反冲喷射速度的概念，这是本文的主要创新点;在质心系应用动量守恒定律和动能定理, 导出行星发动机喷射质元|dm|时所做的元功, 积分计算总功,并指出“地球火箭”在能耗方面的特殊性.最后从能源角度分析得出结论: 就目前已探明的能源状况, 人类让地球脱离太阳系是不可能的. 本文和文献[1]在处理问题时, 抓住学生感兴趣的话题，应用了多个力学定律、定理、概念以及其它物理学知识, 不仅能拓展学生的想象空间，也是培养学生运用多种物理知识综合分析、解决问题能力的教学案例.