基于数学理解的函数概念教学

□严兴光

（杭州第十四中学，浙江杭州310023）

《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称“《课标》”）对高中函数概念的教学目标作了如下阐述[1]：

在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念，体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域.

那么，初中基于变量依赖关系描述函数概念对进一步学习函数有哪些局限性呢？高中基于“对应关系说”的函数概念有哪些优点？教学中需要注意一些什么问题？应该如何培养学生的数学抽象素养？

一、从“变量说”到“对应关系说”

函数是高中数学的主线，初中阶段基于“变量说”的函数概念虽然较为一般地定义了两个变量之间的关系，但是依然可以感知鲜明的物理背景.史宁中教授认为，凡是用具体背景刻画的数学概念必然会有表达不确切的地方，不可能实现数学原理的一般化[2].可见，“变量说”的函数概念阻碍函数概念的进一步抽象，不利于对函数性质的研究，在函数形式的把握和函数性质的研究方面带来了很大困难，例如函数“y=1”和函数“y=sin2x+cos2x”是不是同一函数就很难回答.

而用对应关系定义函数，不仅可以摆脱物理背景的束缚，还可以摆脱具体表达式的束缚，这意味着，研究函数时只需要思考是否存在一个对应关系，而不用考虑是否有具体表达式，即只需要抓住两个本质要素——定义域与对应关系，这就为研究函数带来了极大的方便.同时，确定了函数的定义域，就可以在定义域上研究函数的性质，为后续的函数研究打下基础.

虽然用对应关系定义函数可以使函数的概念具有一般性，消除了用变量定义所引发的弊端，但在教学中必须解决定义过于抽象的问题.初中对函数的抽象过程可以理解为从感性具体到理性具体，而高中则是从理性具体到理性一般.因此，在教学过程中，必须先回顾初中阶段关于函数的那些直观内容，降低起点，引发学生思考与交流，在对“对应关系说”充分理解的基础上，体会数学概念逐渐抽象的必要性.

二、基于数学理解的函数概念教学策略

函数是现代数学中最重要、最基本的概念之一，也是描述客观世界中变量关系和规律的最为基本的数学语言和工具，在解决实际问题中发挥着重要作用.但是函数概念抽象、严谨的特点，使得其成为高中数学教学的难点之一.建构主义理论认为“数学知识不可能以实体的形式存在于个体之外”，真正的理解只能由学习者基于自己的经验背景而自主建构.因此，教师必须列举一些具体的函数表达式，说明抽象与具体之间的关联，引导学生在认识函数的基础上建构理解，并以理解带动对函数的深入认识.

（一）熟读课标，研透教材

《课标》是教学的纲领性文件，它要求学生不仅把函数理解为刻画变量之间依赖关系的数学语言和工具，也把函数理解为实数集合之间的对应关系.教材是《课标》意图的直接反映，普通高中教科书《数学》从具体实例进入知识的学习，从函数的现实背景实例出发，通过数学建模，归纳、抽象、概括出函数的三要素，层层引导学生建立“对应关系说”的函数概念.整个研究过程体现了从具体（背景实例）到抽象（函数定义）的基本思路.

（二）合理设问，突破难点

函数概念非常抽象，教学中会碰到很多难点，比如如何让学生通过比较、归纳、概括不同实例的共同特征，并由此抽象出函数概念.再如符号“y=f（x）”的含义，学生认识不到函数概念的整体性，而将函数简单地认为就是对应关系，甚至认为函数就是函数值.如何把教材的知识内容在课堂上呈现，突破难点？这需要教师巧妙地在教材的知识点间搭建容易让学生攀爬的阶梯，引导学生通过思考，从分析单个实例上升到概括一类实例具有的共同特征，理解函数概念的内涵，得到研究方法的系统训练，培养数学思维能力，发展独立解决问题的能力.

三、基于数学理解的函数概念教学片段

在函数概念教学中，需要先从初中已学习内容以及日常经验中举例，突出“在学生初中已有函数认识基础上，通过实例归纳概括出函数的基本特征（要素），用集合与对应的语言建立函数的概念”这一教学重点，体现“具体函数→一类函数→‘变量说’→‘集合—对应说’”的抽象过程.

【片段一】请阅读教材（注：普通高中教科书《数学》必修一“3.1函数的概念及其表示”，以下问题均出自本节，不另作说明）中的“问题1，问题2”，你能从函数的角度说说这两个实例的同异点吗？

生：相同点：解析式一样，所以函数一样.不同点：涉及的问题情境不一样，并且自变量一个连续取值，一个离散取值，实例1中自变量取值为0≤t≤0.5，实例2中自变量取值为1，2，3，4，5，6.

师：我们学习了集合表示法，以后表达自变量的范围通常都用集合表示，比如实例1中自变量取值为{t|0≤t≤0.5}，实例2中自变量取值为{1，2，3，4，5，6}.

问题1.1：对实例1，你能确定列车运行1h后所行驶过的路程吗？对实例2，你认为有工人一周所获取的工资为2450元吗？为什么？

生：不能，实例1列车只匀速运行了半小时，实例2工人一周最多只能拿到6天工资，即350×6=2100元.

问题1.2：如果将实例2中工人每天的工资改为400元，而其他条件不变，你认为可用同样的函数确定工人的一周工资吗？为什么？

生：不能，函数的表达式变了，350元乘以天数应该改为400元乘以天数.

问题1.3：修改工资标准后，在确定工人一周工资的函数中，自变量的取值范围与实例2中函数自变量的取值范围是否一致？

生：一致，都是{1，2，3，4，5，6}.

问题1.4：你认为是什么因素导致修改工资标准后，用以确定工人一周工资的函数不一样？

生：函数的解析式（表达式）不同.

设计意图：数学课堂需要站在学生的角度，基于学生已有的认知水平开展教学，设计“基于学生”的问题开展教学.通过问题串1.1，1.2引导学生发现，自变量取值范围、函数值取值范围是确定函数的要素，使学生体会用集合语言和对应关系重新定义函数的必要性，又给出了用更高层次的数学语言抽象具体问题中对应关系的示范.通过问题1.3和1.4，使学生在认识函数自变量的取值范围、函数值取值范围是确定函数要素的基础上，进一步认识对应关系是确定函数的另一重要因素.

【片段二】阅读教材中的“问题3”，你认为AQI的值I是时间t的函数吗？如果是，你会如何确定自变量的取值范围？你认为函数值的取值范围是B3={I|0

生1：I是时间t的函数.

生2：I不是时间t的函数，因为无法写出解析式.（众点头）

师：解析式是函数的一种表示方式，但并不是唯一表示方式，图象、表格也可以表示函数，是不是函数关键在于对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应.

问题2.1：你能用集合与对应关系的语言描述一下实例3中的函数吗？

生：对于数集A3={t|0≤t≤24}中的任意一个值t，都有唯一的元素（函数值）与它对应.

设计意图：通过问题让学生从图象中进一步体会函数对应关系的重要性，以及对应关系呈现方式的变化，初步理解函数的值域的概念，问题2.1帮助学生最终用集合与对应关系的方式去理解I是时间t的函数做铺垫.

【片段三】在教材中的“问题4”中，你认为按表格（略）给出的对应关系，恩格尔系数r是年份y的函数吗？如果你认为是函数，可用怎样的语言来刻画这个函数？

生：恩格尔系数r是年份y的函数，因为对于每一个确定的年份，都有唯一确定的恩格尔系数与其对应.

问题3.1：你认为实例4中函数的对应关系是什么？与实例1~3相比较，你对函数的对应关系有什么认识？

生1：实例4中函数的对应关系是年份和恩格尔系数之间的关系，通过表格描述这种对应关系，与实例1~3相比较，对应关系具有唯一的特征.

生2：年份具有任意性的特征.

问题3.2：你认为实例4中函数值的取值范围是B4={r|0

生：是的，应该能取到0

设计意图：通过问题使学生明确函数对应关系不仅可以用解析式、图象表示，还可以用表格表示，为抽象出函数对应关系f做铺垫.通过问题3.2，让学生进一步体会对应关系、自变量取值范围、函数值取值范围是确定函数的三个要素.

【片段四】请对实例1~4中的函数进行归纳，你能得到哪些共同特征？你能用比初中更精确的语言刻画函数的本质特征吗？

［给学生提供充分思考的时间，引导学生重新回顾用集合与对应关系刻画函数的过程.如果学生归纳、概括有困难，可以给出相关图表（略）帮助学生思考.］

生1：都包含两个非空数集（用A，B来表示）.

生2：都有一个对应关系（为了表示方便，我们用符号f统一表示对应关系）.

生3：尽管表示方式不同，但它们都有如下特性：对于数集A中的任意一个数x，按照对应关系f，在数集B中都有唯一确定的数y和它对应.

师：（介绍函数、自变量、值域等定义，略）我们把定义域、值域、对应法则称为函数的三要素.

问题4.1：你认为由函数的定义域与对应关系可以确定函数吗？由函数的值域与对应关系呢？

生1：由定义域与对应关系确定函数应该可以.

师：为什么？

生2：一个函数如果定义域与对应关系定下来了，函数的值域就确定了，函数的值域与对应关系好像不能确定定义域.

设计意图：通过问题引导学生归纳4个案例的共同特性，让学生经历归纳研究对象共性的一般过程，从而概括得到函数的一般概念.设计中特别注意循序渐进地使学生理解函数符号y=f（x）的意义，帮助学生理解f既可以是一个解析式，也可以是图象或表格.教学中让学生体会数学抽象过程，给出用集合与对应关系刻画的一般性函数概念.通过问题4.1从函数的概念抽象函数的三要素，帮助学生理解函数的本质以及判断两个函数是否相同的标准.

函数概念是贯穿于高中数学课程的主线，教学中要培养学生掌握研究函数的一般方法，即实际背景—抽象对应关系—建立函数，发展学生的数学抽象核心素养，为后续研究幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等打下基础.同时，函数概念与方程、不等式、数列、立体几何、解析几何、概率等内容有紧密的联系，对这些内容的学习有很大的影响.当然，函数概念的高度抽象性，决定了对它的认识过程的曲折性，即不可能一步到位，而是螺旋上升.