奇妙的欧拉公式

文／肖学军

（作者单位：南京师范大学第二附属初级中学）

请观察下列几种简单多面体模型，数一数这些多面体的顶点数、面数和棱数。

我们将数出的结果填入下表中：

?

请思考：这些多面体的顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间有什么关系？

不难发现，这个有趣的关系就是：V+F-E=2。它最早是由18 世纪瑞士数学家欧拉发现并证明的，因此也被称为欧拉公式或者欧拉定理。

我们再来观察下面4个平面图形：

图1

图2

图3

图4

请数一数它们各有多少个顶点？多少条边？这些边围出了多少个区域？

我们将结果填入下表中：

?

观察上表，请思考这些平面图形的顶点数（V）、边数（F）、区域数（E）之间有什么关系？任意作出一个图形试试看。

通过观察易知，任何平面图形的顶点数、边数及区域数之间存在的关系是：顶点数+区域数-边数=1，用字母表示就是：V+E-F=1。

聪明的读者，你能够用欧拉公式来解决下列问题吗？

1.正二十面体有12 个顶点，那它有____条棱；

2.一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱,则它的顶点数是________；

3.某个玻璃饰品的外形是简单多面体,它的外表是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，设该多面体表面三角形的个数为x个，八边形的个数为y个，求x+y的值。

参考答案：1.30；2.12；3.14。