社交电商中面向大规模网络的口碑营销决策

沈碧璐， 王长军

(东华大学 旭日工商管理学院， 上海 200051)

基于互联网的社交媒介的普及，使得基于社会关系的口碑(word of mouth, WOM)效应发挥作用[1]。经营者能通过社交裂变实现低成本引流[2]，由此催生社交电商模式，诞生了一批相关企业[3]。然而，决策者面临顾客网络规模大和难以获知准确网络信息的困境，这给口碑营销决策带来了困难。

现有研究已证实口碑传播与市场结果紧密关联[4-5]。口碑营销的关键是从顾客网络中选择相应的种子顾客，通过口碑扩散实现影响最大化[6]。研究从两方面展开：一是构建口碑扩散模型；二是进行营销决策，即选择种子顾客。最有代表性的口碑扩散模型是Kempe等[7]提出的独立级联(independent cascade, IC)模型和线性阈值(linear threshold, LT)模型。在种子顾客的选取方面，由于影响最大化要求，IC和LT模型的目标函数均具有次模性，故种子节点选取规则有1-1/e的性能界[7-8]。由此，IC和LT模型得到广泛应用[9-11]。但相关研究[5,7-10]均假设被选中的种子顾客必会发生购买行为，同时为保证目标函数的次模性，不考虑选取代价，这并不符合实际情况。

IC和LT模型因能够描述信息在网络中个体间的传播，也被称为个体式(individual)模型，其要求掌握准确的社交网络信息。正是由于考虑网络细节，基于IC或LT模型的种子节点选取还存在时间复杂度高、随网络规模变化伸缩性差的缺点[12]。针对以上不足，有研究[13-14]考虑整合式(aggregate)模型，最具代表性的是Bass模型，其核心在于构建整体扩散结果和信息传播的动态函数，已引发了一系列研究[15-16]。Bass模型优点在于计算不受网络规模限制，但该模型未考虑网络结构特征，导致研究所针对的问题与社交电商的现实场景存在一定偏差。

为解决以上两类模型的不足，有学者[17]提出局部平均场(local mean field，LMF)模型。与IC和LT模型相比，LMF模型能保留IC模型中的“类传染”机制[18]，且无需掌握网络中各节点的准确连接情况。与Bass模型相比，LMF模型能够反映社会网络中的幂律分布特征。故LMF模型适用于社交电商的场景，但需要求解复杂的非线性递归方程组[18]。这限制了LMF模型的进一步应用，导致目前研究极为有限。

针对大规模网络，在社交电商仅掌握包括网络度和规模等有限信息前提下，通过口碑营销决策，优化包含流量获取成本与销售收入在内的总体盈利。用LMF模型描述社交电商中的顾客网络并考虑IC模型的传播机理，构建以种子顾客选取规模为决策的优化模型。

1 模型构建

社交电商中，已购买产品的顾客通过口碑以概率q(0≤q≤1)影响邻居，从而引发购买。基于这一传播机理，给出口碑扩散的数学模型，继而提出营销优化模型。

1.1 大规模顾客网络模型

定义大规模顾客网络为G(V,E)。节点集合V={v1,v2,...,vN}为N个顾客的集合。边eji∈E为0-1变量，表示vj是否会影响vi。若是，eji=1；反之，eji=0。由IC模型可知，两点间口碑传播成功的概率为P{eji=1}=q。

定义G中所有能够影响节点vr(∈V)的直接和间接节点集为Tr。当G为足够大的稀疏网络时，仅存在少量交叉边，故沿交叉边的传播对vr的影响可忽略不计。因此，Tr可视为以vr为根节点的树，称为vr的局部场(local field)[17]。显然，随网络规模增加，树的深度逐渐增加。考虑到网络每个节点的连接度(degree)不确定，故不同的度则有不同的Tr。由此，口碑扩散的结果可视为一组服从度分布的Tr传播结果均值，即局部平均场(LMF)。

通过一个例子来解释节点间是如何传播影响的。图1给出一棵以vr为根节点的三层树，所有变量φi和eij均已知，令q取0.1和0.5两种传播情况。对于节点vi(1≤i≤7)，若φi=1，表明vi购买产品，即图中v3、v5处于激活状态；若vj是vi的邻居节点，φj=eji=1，则vj会以q的概率影响vi购买，如图中v1受v3和v5的影响，从而以0.1或0.5的概率被激活并购买产品；若非以上两种情况，存在路径v6-v2和v7-v2，且ev6v2=ev7v2=1，但φ6=φ7=0，v2不会购买产品。因此，计算根节点vr的最终状态(vr是否购买产品)可以按自下而上的方式更新该树中其他节点的状态，即给定任意子节点vi的φi，根据模型可以确定其父节点的状态。在这个推导中，只需关注根节点vr的最终状态，而忽略树中向下传播的影响，即根节点对子节点的影响。例如，对于节点vi和其子节点vj，仅需计算出vj对vi的影响，而不用考虑vi对vj的影响。

考虑到互联网环境中人际间连接服从幂指数函数分布，且存在显著异质性，故假设G具有无标度网络特征[19]。当网络足够大时，G为一个具有固定度分布的随机图。为区分网络中的根节点与子节点，用P0,k表示根节点度分布，用P1,k表示子节点度分布。假设G中根节点vr存在deg(r)个可能会影响自身的邻居，则deg(r)服从分布P0,k。考虑到无标度网络的节点度值服从幂指数为λ的分布函数，即Pk∝k-λ(k∈N+,2<λ<3)[19]，则deg(r)的概率分布为

(k∈N+,λ∈(2,3))

(1)

子节点度P1,k服从如式(2)所示的移动幂指数函数分布(shifted power-law distribution)。

(2)

简化后的G为具有固定分布的递归树结构，各子树对根节点vr的影响独立，可通过所有节点对根节点r的叠加影响来获得口碑传播的最终结果。

1.2 社交电商口碑营销优化决策模型

社交电商企业进行口碑营销之前，顾客购买意愿为概率p-(0≤p-<1)。企业在整个市场中选取比例为ρ(0≤ρ≤1)的顾客给予补贴等激励。被选取顾客(即种子顾客)的购买概率提升至p+(0

μ=ρp++(1-ρ)p-

(3)

显然，0≤μ≤1。

随后，口碑通过社交裂变进行扩散。为描述其影响，需区分每个节点购买行为的产生原因。对于节点vi，首先引入伯努利变量φi和Yi分别表示其在口碑影响前后的随机购买行为。则Yi=1表示vi受到任一邻居口碑的成功影响而选择购买；Yi=φi表示所有影响均不成功，vi会根据自己的意愿考虑是否购买。

(4)

式(4)可等价为

(5)

式(5)给出了非根节点间的相互影响过程。同理，对于根节点vr，定义其受口碑影响而是否购买的伯努利变量X，有：

(6)

式(6)给出了由非根节点向根节点传播的口碑影响过程。

在足够大的树中，若Yi和Yj处于同一深度，其彼此相互独立。基于IC模型传播机理，对式(5)和(6)中的伯努利变量取期望，并引入节点度值分布概率，可得：

(7)

(8)

式中：E[Y]和E[X]分别为非根节点和根节点在口碑影响下被激活的期望。当网络规模足够大时，网络中任何节点均可被视为根节点，故E[X]为整体市场顾客购买比例。由此，社交电商基于口碑传播的营销决策优化模型可表示为

(9)

式中：p和c分别为单位利润和营销成本。模型中种子顾客选取比例ρ为决策变量，μ、E[X]和E[Y]为与之相关的内生变量。模型通过ρ的选择，使得企业总利润z最大化。

基于口碑传播的营销决策优化模型具有如下特点：(1)就适用问题而言，求解过程不受网络规模N影响，适用于大规模顾客网络，且不同于仅最大化营销结果的现有研究，本模型可最大化总盈利。由此，将营销代价考虑在内，可更为贴合实际。(2)就与现有研究联系而言，现有关于IC模型的研究均直接给出种子节点的选取上限，未讨论规模最优，而本研究能为营销规模的确定提供依据。(3)就模型数学性质而言，针对非线性规划，需进一步讨论模型解的性质，这恰是现有研究[17-18]未涉及的。

2 最优解分析

对是否存在满足约束的最优解进行分析说明，首先关注非线性约束式(7)，给出如下命题。

命题1：给定μ∈[0,1]，满足式(7)所示约束的E[Y]存在且唯一。

证明：由式(7)可知，当μ=1时，E[Y]=1，命题成立。下面讨论μ∈[0,1)的情况，式(7)可表述为

P1,k+1(1-qE[Y])k+P1,k(1-qE[Y])k-1+…+

P1,3(1-qE[Y])2+P1,2(1-qE[Y])+

(10)

为简化表述，令y=1-qE[Y]，有：

(11)

则式(10)可转化为

(12)

由此：

(13)

(14)

另有f(y)的一阶导数：

(15)

由于f′(y)正负难以确定，给出二阶导数：

(16)

当k=1时，f″(y)=0；当k≥2时，有

(17)

由此，f″(y)≥0，结合式(13)和(14)可知，f(y)在[0,1]上有且仅有一个最优解y。由y与E[Y]的关系可知，E[Y]在[0,1]上唯一。

上述分析基于q≠0，当q=0时，易得E[Y]=μ(∈[0,1])。综上，命题得证。

继而，对于约束(8)，有如下命题。

命题2：给定μ∈[0,1]，满足约束(8)的E[X]存在且唯一。

证明：命题1已证明了E[Y]的存在和唯一。由式(8)可知，给定E[Y]，有且仅有一个E[X]与之对应。因此，问题在于该E[X]是否存在，即是否在[0,1]。下面对此进行分析。

由式(8)可知，若μ=1，则E[X]=1，命题成立。下面关注μ∈[0,1)的情况。为简化表述，令y=1-qE[Y]，x=E[X]，则式(8)可表述为

(18)

有：

(19)

说明函数f(x)在[0,1]上单调递增。在式(18)两端取值，可得：

(20)

(21)

为判断f(0)的正负，引入函数g(y)，则式(20)转化为

(22)

给出g(y)的一阶导数：

(23)

则说明g(y)在[0,1]上单调递增。在两端取值，有

(24)

(25)

由此，可推出在定义域[0,1]上，g(y)<0，即f(0)<0。

综上，f(x)在[0,1]上单调递增，且有f(0)<0，f(1)>0。此外，结合q=0情况下，E[X]=μ(∈[0,1])。因此，f(x)在[0,1]上有且仅有一个解，由此，命题得证。

最终，不难得出：

命题3：模型(9)存在最优解。

证明：由式(3)可知，对于任一ρ∈[0,1]，存在唯一的μ∈[0,1]。由命题1和2可知，对于任一μ∈[0,1]，存在唯一的E[X]和E[Y]，且0≤E[X],E[Y]≤1。因此，对于任一的ρ∈[0,1]，有且仅有一组满足模型约束的μ、E[X]和E[Y]。由此，模型最优解存在。

综上可知，给定ρ，由于式(7)、(8)为等式约束，且0≤E[X],E[Y]≤1，满足约束的E[X]和E[Y]可由二分法求得。由此，通过循环遍历ρ∈[0,1]，不难得到模型的最优解。

3 仿真分析

通过仿真试验，研究网络连接度范围和影响概率、营销成本和产品利润、够买意愿等因素对口碑营销决策和市场结果的影响，并提炼管理建议。

3.1 基于网络连接度的仿真试验

基于N=105的无标度网络，网络中度的取值范围可反映节点连接的异质性，为此考虑[1, 10]、[1, 50]和[1, 100]3种度范围，其中度均服从幂指数函数分布。此外，设营销前后顾客购买概率为p-=0.01，p+=0.5，利润参数p=7，单位流量获取成本c=5。

种子节点选取比例的最优营销决策如表1所示。由表1可知，在3种度范围下，随q的增大，ρ依次呈现出先为0再增大后减小的变化趋势。究其原因：当q较小(0≤q≤0.2)时，即便进行口碑营销，也难以激发购买行为，反而要付出营销费用，故ρ为0;随q的增大，口碑传播逐渐发挥作用，ρ也相应增大；当q足够大时，即便是小规模的种子顾客集也能实现良好扩散，考虑到选取成本，种子用户规模并非越大越好，故ρ逐渐减小。该结论与IC模型的研究结果[7]不同，这是因为以往研究是在次模性的优化目标下，其要求选取规模越大越好。显然，本文结果与实际更为贴合。此外，网络中节点异质性越大，口碑传播越有效，种子顾客选取ρ越小。

图2 不同度范围下的μ,E[X]及IFig.2 μ,I and E[X] under different degrees

由此可见，社交营销应尽量依赖顾客联系更紧密的媒介，这对于取得良好的营销效果是至关重要的。但当市场中顾客相互影响极小或极大时，口碑营销的力度并非越大越好，应提防过度营销行为。如滴滴打车，对于经常互相助力使用优惠券打车的用户，可适当控制对其优惠券的发放和折扣力度，以免损伤企业盈利。顾客间紧密程度会显著影响市场结果，但连接度异质性并不会影响市场。因此，企业在进行营销规划时更应关注目标市场中人群的紧密度，而非网络结构。

3.2 基于营销成本和产品利润的试验

分析利润和成本对营销决策和市场结果的影响:选取p=5，引入参数成本收益比l=c/p反映营销成本与利润之间的关系。改变l和q，观察对应结果。网络度分布选择[0,50]，其他参数同第3.1节。

最优口碑营销决策变量ρ的结果如图3所示，图中用不同的色块表示计算结果的大小。由图3可知，当l>1(即c>p)时，ρ相对较小，但并非不进行营销，特别是当q较大时。随着l的减小，ρ明显增大，且q越大，ρ的增大幅度越明显。由于μ和ρ呈线性相关，故μ的变化趋势与图3相似，不再赘述。

图3 不同l和q下的口碑营销决策变量ρFig.3 WOM marketing decision variable ρ under different l and q

不同l和q下口碑营销的市场结果I、E[X]和z如图4所示。由图4可知：q对口碑扩散的助推作用非常显著，增大q可以带来更大的口碑效应I；l的增加也有助于产生更大的I，这是因为l越大，ρ就越小，继而μ也相对较小，所以口碑扩散带来的需求放大效应也就更为明显。l和q对市场份额E[X]有显著影响，但影响方式不同：l通过营销决策影响市场结果，即l越小，营销力度越强(见图3)，E[X]越大；但q可以直接助推口碑扩散，带来更大的E[X]。企业盈利z的变化趋势与E[X]类似，不再赘述。

由此可见，成本收益比l对营销决策变量ρ的影响极大，过高的营销费用会限制口碑营销。反过来也解释了社交电商得到快速发展的原因，即利用熟人关系进行低成本的社交裂变从而获取更大的市场份额。但并不是说，当营销费用高于获利(即l>1)时，就不进行营销。反而，当顾客间传播概率q较高时，进行适度营销仍能获得较好的市场结果(E[X]、z)。换言之，在社交电商环境下，“赔本赚吆喝”做法在特定情况下仍是适用的。

图4 不同l和q下口碑营销的市场结果I、E[X]和zFig.4 WOM marketing results of I, E[X] and z under different l and q

3.3 基于购买意愿的试验

现口碑营销研究文献多假设“补贴即购买”，即p+=1。本文放宽这一假设，此处考虑不同p+带来的影响。度分布为[0, 50]，其他参数取值同第3.1节。

不同p+和q下的口碑营销决策变量ρ如图5所示。由图5可知，种子顾客购买意愿越强，企业投入口碑营销的程度就越大。但这一规律因q的不同而不同：当q较小时，只在p+较大时才会进行口碑营销，且为了弥补较小的q而需加大营销力度；当q较大时，p+对ρ的影响有限。此外，在p+较大时，可以观察到ρ随q的增大而明显减小，这与表1所示结果一致。

图5 不同p+和q下的口碑营销决策变量ρFig.5 WOM marketing decision variable ρ under different p+ and q

不同p+和q下口碑营销的市场结果E[X]和z如图6所示。由图6可知，市场份额E[X]与p+成正相关。与图5类似，当q较小时，p+只有在取较大值时才会显著影响E[X]，而当q较大时，即便p+较小，也会带来较好的市场份额。然而，当p+取较大值即种子顾客购买意愿较强时，较大的q并不总能带来更好的市场份额。这是因为在盈利最优化的指引下，此时种子顾客选取比例ρ反而较低，付出的营销代价即营销成本较小。企业盈利z则一直随q和p+的增大而增大。这正体现了模型优化的效果，即追求总体盈利z最大化，而非市场份额最大化。当种子顾客购买意愿p+较强时，可理解为“热门”产品，人群中的传播概率q对营销相对不重要;反之，对于“冷门”产品，即便有补贴，顾客购买意愿p+也可能较低。此时，只有在顾客相互影响程度较高时，才可能取得较好的销售结果。

4 结论与展望

研究社交电商下企业口碑营销决策：利用LMF模型描述基于大规模顾客网络的口碑传播，构建最优化营销决策的非线性规划模型，并证明了模型解的存在性及唯一性。对网络连接度k、传播概率q、营销成本c和种子顾客购买意愿p+等因素展开仿真。结果表明：在口碑传播概率q极高和极低的情况下，企业均需控制口碑营销的程度，过度营销虽能带来更大的市场份额，但也会给企业总利润带来损害；“赔本赚吆喝”的做法只有在口碑传播效率较高时适用；营销的产品与口碑扩散依托的顾客网络特性有着内在的匹配关系。口碑营销引发的突发需求离不开供应的支持，在今后的研究中，可进一步考虑供应端对口碑营销与运营的影响，探究口碑营销与供应运营的联合优化。此外，以单一企业为决策主体，弱化了市场中多个企业之间的竞争性。后续研究可构建具有竞争性的决策模型，甚至，可以研究企业精准营销中种子节点选取的优化算法。