分类——数学课堂探索新知的“翅膀”

於红忠

【摘 要】分类是小学数学课堂教学中经常用到的一种数学思想，本文通过具体的案例分析，阐述了用数学符号提炼现实生活中的特定关系，让学生初步建立模型，经历知识的生长过程。学生在自主探究活动中，发现算法，明晰了不同算式之间的相互联系，对数学的认识更加深入。学生初步感受从一般到特殊、从简单到复杂的辩证关系。对于事物间存在不同的规律时，我们可以采用分类的策略，发现并找出规律，帮助学生运用分类进行数学探究，从而让分类思想根植于学生的脑海中。

【关键词】分类 数学思想 建立模型

分类是一种重要的数学思想，在小学数学课堂教学中，有效渗透分类的教学思想，不仅有利于学生认识数学知识的本质特征，感受数学知识之间的内在联系，还能促进学生分析和解决数学问题，提高他们的思维能力、创新能力，获得基本的数学活动经验。当学生在探究新知时，可以借助分类数学思想，有效突破所学知识的重难点，进而建立对应的数学模型。

一、分类——让概念形成水到渠成

小学生对于概念的理解相对比较困难，因此，在教学时，教师可以借助分类的思想，让学生在比较与分析中理解枯燥的概念，从而实现“水到渠成”的教学效果。

[案例]苏教版数学五年级下册“简易方程”教学片段

首先，出示天平，放置不同的物体和砝码，得到下面的式子：

50+50=100    x+50>100    x+50=150

x+50<200 &nbsp;    2x=200

其次，让学生随意地说出几个式子。（略）

再次，让学生按照一定的标准，将上面的式子进行分类。

交流分类：

（1）将式子按照不同的连接方式（>、=、<）分成三类。

（2）将式子的两边按是否相等，分为两类，得出：等式和不等式。

（3）将式子按照是否含有字母x分成两类。

如果此时，学生没有了其他的分法，教师可以让学生将分法（2）中的等式再次进行分类，得到：①50+50=100，②x+50=150，2x=200。

师（指着第②组的两道等式）：这类式子有什么特征？

生：这类式子，既含有未知数，又是等式。

师：我们把这样的式子称之为方程。你们认为怎样的式子，就是方程？

学生交流。

上面的教学活动，通过天平为形象支撑，并结合具体的问题情境，“用式子表示天平两边物体的质量关系”，让学生观察、分析、写出式子，再通过多次分类，感受不同类别式子的特征，进而引出方程，揭示方程的含义。在这个教学环节中，可以看出，分类越精细，思维越清晰，学习越深入。教师的教学安排符合学生的认知规律，既体现了教师的主导作用，又将学生置于主体地位，主动参与概念的形成过程。在整个教学环节中，教师并没有机械地传授甚至告訴学生，而是通过数学符号提炼现实生活中特定的关系，进而根据不同的标准进行分类，在对分类结果的辨析中建立方程的模型，使得学生对方程的认识更深刻、更全面，为他们今后深入学习方程打下坚实的基础。

二、分类——为知识迁徙建立途径

计算的学习贯穿于小学各个阶段，其中计算法则的学习在不同的年级都有明确的要求，分类的思想在计算教学中，可以帮助学生在已有的知识经验与新的知识之间建立联系，顺利地实现知识的迁徙。

[案例]苏教版数学五年级下册“异分母分数加减法”的教学

出示：

让学生提出一个一步计算的问题，并列出算式。

可能出现的算式有：+、-、+、-等。

然后让学生将这些算式分类。

学生可能会这样分类：

（1）按照不同的运算方式来分类。

（2）按照分子是否相同来分类。

（3）按照分母是否相同来分类。

根据分法（3）引出：同分母分数加减法、异分母分数加减法。

师：异分母分数加减法和同分母分数加减法有什么不同？

生：分母不同，它们的分数单位也就不同。

师：我们已经会算哪些算式？

生齐：同分母分数加减法。

师：那么怎样计算异分母分数加减法？

生：将异分母分数加减法转化成同分母分数加减法。

师：+的结果可能是多少？请大家拿出一张长方形纸通过折一折、涂一涂来探索+的结果。

…………

上面的教学互动，教师通过有效引导，让学生将算式分类，找到同分母分数加减法与异分母分数加减法之间的异同，强化了学生对这两类算式特征的认识，理解并打通了同分母分数加减法与异分母分数加减法之间的联系，为接下来异分母分数加减法的教学打下了基础。学生运用学过的同分母分数加减法来探究异分母分数加减法的知识，可以借助图形并运用通分转化的方法，将新知转化为以前学过的知识再计算。这样的分类也为学生后续的探究活动提供了可能，学生在自主活动中，会很快明白算理，厘清不同算式之间的相互联系，对异分母分数加减法的认识也会更加深刻。

三、分类——使图形认知凸显无疑

在图形与几何知识中，分类的思想同样有着广泛的应用，无论是直观性的教学，还是抽象性的学习，分类的思想都能够帮助学生更好地感悟图形的形状、大小、位置等特征，完善学生对于这部分知识的理解。

[案例]苏教版数学四年级上册“平行与垂直”单元的整体教学

课件出示：

让学生进行分类。

可能出现的分类方法：①和④是一类，因为它们是交叉的，②和③是一类，它们没有交叉。

引导得出：上面的③号图，是两条直线，它们的长度是无限的，也是交叉的。

修正分类：①③④是一类，两条直线是相交的;而②单独是一类，其中的两条线无论怎么延长都不会相交。

师：在同一平面内，不相交的两条直线互相平行。

引导学生认识平行线（略）

师：如果将上面相交的两条直线再分类，可以怎样分？

生：①③是一类，④单独是一类。

师：为什么？

生：①③相交的四个角有的是钝角，有的是锐角;而④号图相交的四个角都是直角。

师：两条直线相交成4个直角，这两条直线互相垂直。

……

上面的教学环节，教师通过对图形的分类，让学生感受到了同一平面内两条直线的不同位置关系，即平行和相交，紧接着教师继续引导学生进行二次分类，引出垂直。整个教学环节清晰，图形分类合理，学生在分类的过程中，感受到了每一类别的不同点，也就是平行、相交和垂直的特征。教师让学生用分类比较的方法，有利于找出同一平面内两条直线的位置关系，有利于找出同一平面内两条直线相交时还会有垂直关系。这样的教学活动，教师教得流畅，学生学得轻松，学生对平行和垂直的认识非常到位，初步感受到了从一般到特殊，从简单到复杂的辩证关系。

四、分类——助规律思考完整有序

在解决问题策略的教学中，分类的思想同样有利于学生概括、总结出规律。在这部分知识的教学中，重点是引导学生根据已有的条件进行分类、分析，让学生的思考更完整、更有序，从而让解题的规律更易于寻找。

[案例]苏教版数学三年级上册“间隔排列”的教学。

出示：

首先引導学生认识“一一间隔排列”。

师：如果让你将这些事物分一分类，你会吗？

（同伴交流）

生：萝卜和白菜一类，其余一类，因为他们都是4个。

师：我们一起来统计一下，各有几个。

生：萝卜4个，白菜4棵，兔子有8只，蘑菇7个……

生：蘑菇和白菜数量相同的分一类，不同的分一类。

师：非常好，还有其他不一样的分类方法吗？

生：兔子、篱笆、夹子一类;白菜、萝卜一类。

师：你是怎么分类的？

生：兔子和蘑菇一一间隔排列，开头是兔子，最后一个也是兔子;毛巾和夹子一一间隔排列，第一个是夹子，最后一个也是夹子;木桩和篱笆一一间隔，第一个是木桩，最后一个也是木桩。所以他们是一类。而白菜和萝卜分为另一类，因为第一个是白菜，最后一个却是萝卜。

师：你真不简单，不仅表达了自己的观点，而且还阐明了道理。也就是说这一类是头尾相同，而另一类头尾不相同。

师：观察一下头尾相同的数量有什么不同？

生：多一个。

师：兔子和蘑菇这一组，蘑菇在哪里？

生：在兔子的中间。

师：数量有什么关系？

生：多一个。

师：能说具体点吗？

生：兔子在两头，所以兔子比蘑菇多一个。

师：木桩和篱笆，头尾是什么？

生：头尾是木桩，所以木桩比篱笆多一个。

师：头和尾称为两端物体，之间的称为间隔物体，数量上是一样的吗？

生：不一样，都相差1。

师：具体点？

生：两端物体比间隔物体多1。

师：头尾不同的，谁属于这种？

生：白菜和萝卜。

师：他们的数量有什么关系？

生：一样多。

师：通过观察兔子乐园中一一间隔排列的物体，同学们发现了了不起的规律。但是不是所有一一间隔排列的两种物体的数量之间都有这样的规律呢？

……

教师通过循循善诱，引导学生将图中的这些物体进行多次分类，通过分类，学生清楚地知道了这些物体的数量关系、位置关系，明白了两端物体相同，则比中间物体多1;两端物体不同，这两种物体一样多这一道理。可见对于事物间存在不同规律时，我们可以采用分类的方法，将物体先分分类，再进一步探索它们的奥秘，找到这类物体的排列规律。“间隔排列”的学习有助于学生在分类的基础上初步形成模型思维，提高学生学习数学的兴趣和应用意识。学生在经历“问题情境—合理分类—规律探索—拓展运用”的学习过程中，获得了活动经验，提高了思维品质。

总之，教师在教学中要有效渗透分类思想，引导学生学会新知探究的一般方法，让学生在分类比较中获得知识的本质特征。分类思想在小学数学教材中应用广泛，教师要充分发掘教材，引导学生去感受分类思想给他们带来的好处，培养学生自觉分类的意识，让分类思想植根于学生的脑海中，为他们插上一双探索新知的“翅膀”。