直流分布式系统源荷对等型阻抗比判据研究

朱正斌，徐航捷，潘本仁，胡斯登

（1.浙江大学电气工程学院，杭州 310027；2.宁波市江北九方和荣电气有限公司，宁波 315033；3.国网江西省电力有限公司电力科学研究院，南昌 330096）

随着储能成本的降低与新型功率变换技术的发展，分布式储能在接纳分布式清洁能源、功率易于控制等方面的优势逐渐体现。为了适应未来能源管理系统中智能化直流配电网络的要求，如何实现柔性、即插即用和自组织等特点的先进分布式储能及其变换技术成为研究的热点[1-2]。

直流配网系统的稳定运行是分布式储能与直流配电网络其他子系统进行组合的基础，准确且在宽范围区域内适用的稳定判据是构建含储能的综合直流配网的首要问题。在稳定性判据未出现前，学术界为了分析系统的稳定性多采用源自控制理论的特征值法，其核心是通过小信号建模与线性化求解获得传递函数极点的分布[3]。由于特征值法的前提是获取变换器内部和外部的详细参数，受到了工程实践中的诸多限制[4]，因此常作为理想情况下的分析工具。为解决这一问题，Middlebrook 教授提出了直流系统组网的阻抗比判据，其核心是将系统分成电源子系统和负载子系统，利用前后的阻抗比Zout/Zin来判断稳定性。由于判断直观且无需繁琐的建模，该方法的工程实现性强。为了由判据指导实际设计，Middle-brook 判据中要求阻抗比幅值在全频域小于1，即认为以原点为中心的单位圆外均为“阻抗比判据禁区”，只有奈奎斯特曲线不与“禁区”交叠才能认定系统稳定[5]，其目的是划定参数设计的边界，但该条件非常苛刻，难以满足实际工程需求。为了减少该判据的保守程度，其他学者对其进行了拓展，相继提出了GMPM（gain margin and phase margin）、Opposing Ar-gument 和ESAC（energy source analysis consortium）等阻抗比判据[6-8]，这些判据同样基于源荷之间的阻抗比，通过改变s 域禁区范围减小了判据的保守性。上述研究内容均基于Zout/Zin的传统阻抗比，为分析不同类型的分布式电源系统，学者们构造了结构迥异的阻抗比判据。文献[9]构造了Z1+Z2型阻抗比，用以判断级联系统的稳定性；在变流器并网系统中，文献[10]认为应构造Zin/Zout型阻抗比以指导电流源型变流器的设计；文献[11]以线缆阻抗ZL和变流器阻抗Z 等参数为基础构造了一种新阻抗比判据，用以分析含并联变流器的孤岛微网；针对包含功率外环及下垂控制的孤岛微网，文献[12]通过输出阻抗Zodq和环路特性Gωi等变流器的外特性参数重构阻抗比判据，在能够界定孤岛微网的稳定裕度的同时，拓展了判据的适用范围。构造具有广泛适用性，能够判断不同类型系统稳定性的阻抗比是判据研究的重点与方向。

值得注意的是，不存在右极点是构造阻抗比的重要前提条件[13]，在直流系统阻抗比判据的研究中，学者通常默认系统由单一电源与多个负载构成[14]，此时阻抗比Zo/Zi并不存在右极点。然而，在含有多个源变换器的多源系统中，由于多源组合及源荷地位不对等，阻抗比的传递函数可能出现新的右极点，此时使用传统阻抗比判据会产生误判。即使各电源与负载变换器自身均稳定，仍会存在隐藏而难以被发现的稳定性问题。针对此问题，文献[15]给出了适用于多源系统的阻抗比判据。但该判据需要对所有的源变换器各应用一次阻抗比判据，较为繁琐。

综上所述，传统判稳方法面临分布式储能与直流配网组合带来的挑战，在全域运行范围内存在判断失准的风险。本文在建立多源系统稳定性模型的基础上，从奈奎斯特判据的基本原理出发，对传统阻抗比判据的适用边界进行溯源，。而源荷变换器不对等的地位是导致传统判据在多源系统中失效的根本原因。针对此问题，构造出源荷对等型阻抗比判据，并阐述了详细的应用方法与案例。最后，参照本文判据与特征值法，描绘出了传统判据判断失准的不稳定区域。通过实验和建模，从时域、奈奎斯特曲线和零极点分布3 个角度验证了本文所提判据的优势。以上表明，本文提出的源荷对等型阻抗比判据对分析含储能的分布式系统的稳定性具有重要意义。

1 直流分布式系统稳定性分析

1.1 系统建模

在直流分布式系统中，发电装置、储能装置以及用电负荷经由电力电子变换器接入直流电网，各变换器主要通过级联和并联的方式进行连接，共直流母线的分布式系统如图1 所示。根据功率流动的方向，可将系统划分为电源子系统和负载子系统两部分。结构如图1（a）所示，其中共存在n 个源变换器和m 个负载变换器。

图1 共直流母线的分布式系统Fig.1 Distributed system with common DC bus

对图1（a）所示的分布式系统进行数学建模。首先，通过小信号建模求解各变换器的线性等效电路。然后，对源变换器进行戴维南等效，同时对负载变换器进行诺顿等效，可得到系统的小信号电路，如图1（b）所示。最后，列出图1（b）中的基尔霍夫电流关系，即

式中：Ubus（s）为母线电压扰动量；Ux（s）为第x 个源变换器等效电压扰动量；Ix（s）为第x 个负载变换器等效电流扰动量；Zin_x（s）为第x 个负载变换器的输入阻抗传递函数；Zout_x（s）为第x 个源变换器的输出阻抗传递函数；Iout（s）为注入源变换器的扰动电流和；Iin（s）为注入负载变换器的扰动电流和。对式（1）进一步推导，可得扰动量之间的关系为

式中：Zout（s）为所有源变换器并联输出阻抗的总和；Zin（s）为所有负载变换器并联输入阻抗的总和。当各变换器自身稳定时，Zout_x（s）满足系统稳定条件，即不存在右半平面零点与极点[9]，因此式（2）括号中的部分不影响系统稳定。系统稳定性主要与系统的并联阻抗Zbus（s）即式（2）括号外的第1 项有关，即

以式（3）为基础，可以通过特征值法或阻抗比判据的方法，判断系统稳定性。由于分布式系统参数多，其模型阶数高，直接采用特征值法较为繁琐。而如果使用阻抗比判据的方法，利用奈奎斯特判据将抽象的传递函数表达式转换为形象的奈奎斯特曲线，可简化分布式系统稳定性的判断与分析。为此，本文分析基于奈奎斯特的传统阻抗比判据在不同类型系统稳定性分析中的应用。

1.2 传统阻抗比判据在单源单负载系统分析中的应用

传统阻抗比判据以奈奎斯特判据为基础，对式（3）进一步推导与变形。将式（3）等效为系统闭环传递函数，构造阻抗比Ttra（s）=Zout（s）/Zin（s）作为等效开环传递函数，表示为

奈奎斯特稳定性判据的特点是根据开环传递函数，绘出对应的奈奎斯特曲线从而判断闭环系统的稳定性，根据曲线包围复平面点（-1，j0）的圈数w和开环传递函数的右极点数目q，即可判断系统的稳定性。在只含单个源变换器和单个负载变换器的分布式系统中，其传统阻抗比表达式为

式中，Nin（s）、Nout（s）、Din（s）、Dout（s）均为s 的多项式。由于各变换器自身稳定，其输入输出阻抗均不存在右极点和右零点[11]，这表明以上4 个多项式均不存在实部为正的根。观察式（5）可知，其分母为2 个多项式的乘积，因此也不存在实部为正的根，表明传统阻抗比判据的阻抗比Ttra（s）不存在右极点。

在只含单个源变换器和单个负载变换器的系统中，传统阻抗比的形式与变换器的特性决定了等效开环传递函数Ttra（s）一定不存在右极点，因此不再需要应用特征值法获取右极点的数目，利用频域的阻抗信息作出奈奎斯特曲线即可判断系统稳定性。

奈奎斯特曲线是指当s 沿D 形围线变化时，开环传递函数在复平面的轨迹。D 形围线由虚轴上的直线和右半平面的半圆弧线构成，如图2 所示。能否画出开环传递函数的轨迹与其阶数有关，当开环传递函数阶数大于0 且s 沿D 形围线的半圆弧线变化时，其轨迹位于无穷远的未知处而无法被画出，因此开环传递函数的阶数必须小于或等于0[16]。在传统阻抗比判据中，阻抗比Ttra（s）等于电源子系统输出阻抗传递函数Zout（s）除以负载子系统输入阻抗传递函数Zin（s），负载变换器的输入阻抗阶数一般均大于等于源变换器的输出阻抗阶数，这表明传统阻抗比判据满足奈奎斯特判据的阶数条件，可以画出其阻抗比Ttra（s）的轨迹，典型轨迹如图2（b）中的奈奎斯特曲线所示。

图2 满足阶数条件时D 形围线与奈奎斯特曲线的对应关系Fig.2 Relation between D-shaped contour and Nyquist curve when the order condition is satisfied

因此，在只含单一源和单一负载的系统中可以使用传统阻抗比判据进行稳定性判断，这是因为系统中不存在右极点，从而满足开环传递函数Ttra（s）右极点数目已知的条件；同时，阻抗比的结构确保其阶数小于等于0。

1.3 传统阻抗比判据在组合系统中局限性的数学推导

由式（4）可见，阻抗比为Ttra（s）=Zout（s）/Zin（s）；而多源与多负载系统中，Zin（s）与Zout（s）可以分别写为

式 中，Nin1（s）、Nout1（s）、Din1（s）、Dout1（s）以 及Nin2（s）、Nout2（s）、Din2（s）、Dout2（s）均为s 的多项式，均不存在实部为正的根。式（6）与式（7）共同描述了由多源与多负载子系统并联而成的组合系统的输入输出阻抗的传递函数，可以看到，对于单独子系统，尽管分母中不包含右极点即其自身稳定，但组合后会出现新的变化。该变化包含两方面，以式（7）为例，首先，分子项为Nout1（s）Nout2（s），表明组合前后的系统零点保持一致，因此由零点决定的特性不变；其次，分母项为Nout1（s）Dout2（s）+Nout2（s）Dout1（s），该项说明组合系统中可能会出现新的极点，甚至是新增右极点。一旦右极点数目不为0，将导致传统阻抗比判据失效。由于Ttra（s）=Zout（s）/Zin（s），分别对应负载变换器总输入阻抗为Zin（s）与源变换器总输出阻抗Zout（s），因此多源组合后给系统带来的变化与负载变换器及源变换器的关联并不相同。

对于式（6）描述的多负载变换器，其总输入阻抗为Zin（s），由于Zin1（s）与Zin2（s）不包含右零点，组合后的Zin（s）也不包含右零点。因此，1/Zin（s）不会为Ttra（s）中带来新增的右极点。对于式（7）描述的多源变换器，即使Zout1（s）和Zout2（s）无右极点和右零点，组合后的分母中仍可能出现新增的右极点。因此，Zout（s）可能会为Ttra（s）中带来新增的右极点。

由以上分析可以看出，由于Ttra（s）中Zout（s）和Zin（s）分别处于分子与分母的位置，导致位于分子中的源变换器会在组合后引入新的右极点。该问题有两方面特点，第一，只含单一源的系统中不存在，而是出现在包含多个源变换器的组合系统中；第二，组合后的电源与负载子系统在Ttra（s）中的地位不对等导致了该问题的出现。

多负载变换器的组合会导致传统阻抗比出现右零点，但对稳定性分析不存在影响，这表明传统阻抗比判据适用于存在单一源和多负载的系统。而多个源变换器组合后，传统阻抗比中源荷地位不对等会导致阻抗比出现右极点，此时必须使用特征值法推导出阻抗比Ttra（s）的右极点数目q，才能借助奈奎斯特曲线包围点（-1，j0）的圈数w 判断系统的稳定性。因此这也是传统阻抗比判据不适用于多源系统稳定性分析的直接原因。

总之，传统阻抗比判据适用于存在单一源的系统，其具体实现方法为，当传统阻抗比Ttra的奈奎斯特曲线不包围点（-1，j0）时，系统稳定，反之则系统失稳。

2 源荷地位对等的阻抗比判据

针对前面分析的传统阻抗比判据不适用于多源系统的原因，本文提出了一种不区分电源与负载子系统的判断方法，其目的是基于无需区分源荷变换器的系统并联阻抗Zbus（s）的公式来构造阻抗比，使其能够判断多源系统的稳定性。为了确保源荷子系统的对等性，将共母线的直流系统写为

式中：Yx（s）为各个变换器的导纳；Zc（s）为母线电容的阻抗；Ync（s）为不包含母线电容的所有变换器导纳的和，

为了能重构与Ttra（s）=Zout（s）/Zin（s）类似的阻抗比形式，将电容阻抗单独提取出来，形成式（8）的最右端。提取电容阻抗是因为在无源器件中，电容阻抗传递函数的阶数最低，使用电容阻抗作为阻抗比的分子项，易满足奈奎斯特判据的阶数条件。在直流分布式系统中，各变换器共用同一直流母线，且均存在输出滤波电容，如图3 所示，因此可以将各个变换器的输出电容拆分出来，组合成一个母线电容C，以母线电容的阻抗作为阻抗比的分子。

图3 电容重组后的系统等效电路Fig.3 Equivalent circuit of system after restructuring capacitor

观察式（8）可知，电容阻抗的传递函数只存在一个虚轴上的极点，不影响系统的稳定性，因此Zbus（s）的稳定性由式（8）中的分数项决定。与传统阻抗比中采用奈奎斯特判据类似，将该项等效为闭环系统传递函数，其前向通道传递函数等于1，反馈通道和开环传递函数等于Tnew（s）。在式（8）的基础上进一步变形，构造新的阻抗比Tnew（s）=Zc（s）/Znc（s），表示为

可以看到，式（9）中不存在源变换器与负载变换器，而是统一包含在Znc（s）中，从而确保了各变换器的地位相同。最终构造出的新阻抗比Tnew=Zc/Znc作为等效开环传递函数用于后续分析。

与传统阻抗比判据不同，即使存在多个源变换器，源荷对等型阻抗比判据的阻抗比也不存在右极点。在分布式系统中，各变换器自身稳定，其导纳Yx（s）及电容导纳sC 均不存在右极点。且由式（11）观察可知，Ync（s）等于变换器导纳与电容导纳的差，亦不存在右极点，这表明阻抗比Tnew（s）右极点的数目为0。因此，传统阻抗比判据中可能出现新增右极点的问题被解决。

源荷对等后，直流系统中增加的源和荷均不会在阻抗比中引入右极点。源荷对等型阻抗比判据可以表达为：当阻抗比Tnew的奈奎斯特曲线不包围点（-1，j0）时，系统稳定；反之，则系统失稳。

传统阻抗比判据和源荷对等型阻抗比判据，本质上都是使用奈奎斯特判据，在传递函数稳定性和频域阻抗之间建立联系，以简单的阻抗法代替复杂的、需要建模的特征值法，来判断和分析系统稳定性。这两种方法都需要提取系统中变换器的阻抗，其阻抗测量方法本质上是相同的。

系统阻抗测量的原理如图4 所示[17]，通过在母线上并联扰动源，向系统中注入不同频率的电流扰动。首先，测量扰动源输出电压扰动uˆs，再根据变换器直流电流流动的方向划分源荷子系统，测量流入电源子系统的电流扰动和与流入负载子系统的电流扰动和，即可计算出Zout和Zin，再通过阻抗比公式作出奈奎斯特曲线。

图4 系统阻抗测量的原理Fig.4 Schematic of system impedance measurement

源荷对等型阻抗比判据的阻抗测量与之类似，但由于变换器地位对等，因此只需要测量扰动源输出的2 个扰动量电压扰动和电流扰动，即可计算得到系统阻抗Zbus=，再借助式（10）即可作出奈奎斯特曲线。

传统的阻抗比判据应用于含储能的分布式系统中时需要根据变换器的功率流向实时划分源荷，以调整测量阻抗时的测量对象。而源荷对等型阻抗比判据中变换器地位对等，只需测量扰动源的电压电流扰动量即可，具有更好的灵活性和简便性。

综上所述，在含储能的直流分布式系统中，使用电容阻抗作为分子构造了源荷地位对等的阻抗比判据，在符合奈奎斯特判据阶数条件的基础上，解决了传统阻抗比判据中潜藏右极点的问题。源荷对等型阻抗比判据具备数学原理可证明的正确性和工程实际应用方面的简易性。

3 实验验证

3.1 组合系统阻抗比判据的算例

为验证上述分析结论及源荷对等型阻抗比判据的有效性，搭建了图5 所示的直流分布式系统。实验的思路是，分布式系统含有储能单元，系统运行在多源的状态，此时，电源子系统输出阻抗传递函数Zout（s）可能存在右极点，导致默认阻抗比不含右极点的传统阻抗比判据判断错误。而在源荷对等型阻抗比判据中，Tnew（s）始终不存在右极点，多源场景下也能够正确判断系统的稳定性。

图5 典型直流分布式系统Fig.5 Typical DC distributed system

图5 所示的分布式系统包含3 个变换器，分别是：1 号源变换器，Boost 拓扑，采用电压控制；2 号储能变换器，工作在源的状态，双向Buck-Boost 拓扑，采用恒流控制；3 号负载变换器，Buck 拓扑，采用电压电流双环控制。3 个变换器共用一条直流母线，都工作在连续导通模式下。基于图5 的模型，搭建了如图6 所示的实验平台，实验平台的主电路参数及控制器参数如表1 所示，其中电容参数来源于厂家手册，电感参数来源于LCR 表的实际测量值。

表1 变换器参数Tab.1 Parameters of converters

图6 实验平台Fig.6 Experimental platform

系统存在2 个运行阶段，1 号源变换器和2 号储能变换器共同输出功率，给3 号负载变换器提供能量。在第1 阶段中，2 号储能变换器电池容量充裕，为主要功率输出单元，输出280 W 功率，1 号源变换器为次要输出单元，输出20 W 功率，此时系统稳定运行。在第2 阶段，由于2 号储能变换器电池容量不足，电池电压和输出功率分别下降到30 V 和50 W，变为次要功率输出单元。控制母线电压的1 号源变换器输出功率上升，变为主要功率输出单元。此时母线电压发生显著的低频振荡，系统稳定性遭到破坏。

实验结果如图7 所示。系统工作在第1 阶段时，观察图7（a）可知，此时1 号源变换器的输入电流为Iin1为1.4 A，2 号储能变换器输入电流Iin2为7.0 A，后者为主要功率输出单元，此时母线电压稳定。随着稳态工作点的变化，系统进入第2 阶段，2号储能单元的输入电流下降，变为次要功率输出单元，此时母线电压发生显著的低频振荡，振荡频率约为340 Hz，如图7（b）所示。直流微网中一般要求母线电压波动不超过额定值的±5%，而此阶段母线振荡幅值约为11.5 V，远超系统容许的4.8 V 的波动范围，这表明系统稳定性遭到破坏。

图7 实验波形Fig.7 Experimental waveforms

3.2 阻抗比判据与系统稳定性分析

对于上述微网，可通过小信号建模的方式代替工程测量获取各变换器的闭环输入输出阻抗[18]，进而根据阻抗信息，画出各阻抗比判据的奈奎斯特曲线，如图8 所示，分析其稳定性判断结果。

采用传统阻抗比判据时，首先根据功率流向将变换器分成源荷两个部分。其次，将阻抗信息代入传统阻抗比Ttra的公式中，得到奈奎斯特曲线。观察图8（a）和（b）可见，在2 个运行阶段，奈奎斯特曲线均不包围点（-1，j0），判断系统在2 个阶段均稳定，这显然与图7 的实验结果不一致，传统阻抗比判据的判断是错误的。

同时，根据阻抗信息及式（10），可作出源荷对等型阻抗比判据的奈奎斯特曲线。观察图8（c）可见，在系统的第1 阶段，点（-1，j0）的左侧正穿越实轴的曲线为2 条，与负穿越实轴的奈奎斯特曲线数量相等，二者抵消，曲线不包围点（-1，j0），判断系统稳定。观察图8（d）可见，在系统的第2 阶段，点（-1，j0）左侧仅有两条负穿越实轴的曲线，奈奎斯特曲线包围点（-1，j0），判断系统不稳定。源荷对等型阻抗比判据对系统2 个阶段稳定性的判断与图7 的实验结果一致。

图8 阻抗比判据奈奎斯特曲线Fig.8 Nyquist curves of impedance-based stability criterion

传统阻抗比判据判断失误，这是由于阶段2中，电源子系统总输出阻抗的传递函数Zout（s）存在2 个右极点。在系统的2 个运行阶段中，储能单元一直输出功率，形成了包含多个源变换器的工作场景。通过小信号建模，可以得到2 个阶段中电源子系统输出阻抗的传递函数Zout（s）。由于稳态工作点不同，2 个阶段的Zout（s）并不相同，电源子系统输出阻抗传递函数的零极点分布如图9 所示。在阶段1，观察图9（a）可知，此时Zout（s）的不存在右极点，因此传统阻抗比判据此时能够正确判断系统的稳定性。阶段2，观察图9（b）可知，此时Zout（s）存在2个右极点。在实际工程中，难以通过特征值法获取阻抗比右极点的数量q，导致传统阻抗比判据在阶段2 判断错误。根据第2 节的分析可知，源荷对等型的阻抗比判据中阻抗比始终不存在右极点，因此系统中的储能变换器的特性发生改变时，判据仍然能够准确地判断系统的稳定性。

图9 电源子系统输出阻抗传递函数的零极点分布Fig.9 Zero-pole distribution of output impedance transfer function for source subsystem

上述算例表明，在多源系统中，由于阻抗比中变换器地位不对等，传统阻抗比判据可能会失效。而源荷对等型阻抗比判据中变换器地位相同，消除了传统阻抗比判据中潜在的判断失效区。因此，对于具有多源特性的含储能的直流分布式系统，可应用源荷对等型阻抗比稳定判据：系统稳定性通过阻抗比Tnew的奈奎斯特曲线是否包围点（-1，j0）来判断。

4 结论

含储能的直流分布式系统具有多源的特征，传统阻抗比判据用于判断该系统稳定性时，存在潜藏的误判区域。本文基于奈奎斯特判据对阻抗比判据误判的原因进行了溯源，进而提出可用于该系统的判据，主要结论如下。

（1）在直流分布式系统中，源荷地位不对等是导致多源系统中传统阻抗比潜藏右极点的原因，实验证明，当电源子系统输出阻抗的右极点数q 与系统并联阻抗的右极点数p 相同时，传统阻抗比判据将失稳系统误判为稳定，这表明多源系统中隐含传统阻抗比判据的判断失效区。

（2）源荷对等型阻抗比判据的构造中严格考虑了阻抗比的阶数和右极点，通过提取电容阻抗作为分子确保阶数对等，同时调整源荷关系避免右极点。该判据在实验中能准确判断多源系统的稳定性，是一种适用于储能系统的新判据。

源荷对等型判据是分析多源系统稳定裕度和指导变换器设计的重要基础，为构造其他复杂系统的阻抗比判据提供了可借鉴的思路。