数学拓展课的结构化教学研究

摘 要 数学拓展课是指以非教材例题为学习内容的课型，它是对教材的有效补充，旨在激发学生数学学习兴趣、完善认知体系、提升实践探究能力、培养理性创造精神。数学拓展课的结构化教学，既顺应教学改革的发展，也符合拓展课型的特点，还能弥补STEM教学的短板。在教学实践中，可借助内容编排系统化、教学目标精准化、活动设计板块化、教学方法“5E”化来实现数学拓展课教学的结构化。

关键词 数学拓展课 结构化教学 内容编排 教学目标 活动设计 教学方法

数学拓展课，通常是指以非教材例题为学习内容的课型[1]，它是“一类以问题为载体、以学生自助参与为主的学习活动”，旨在激发学生数学学习兴趣、完善认知体系、提升实践探究能力、培养理性创造精神，以此促进学生数学核心素养的全面提升。数学拓展课属于“综合与实践”领域的教学内容，其教学价值得到了很多教师的认同与重视，在现行小学数学教材中就有此类内容的编排，这些内容的编排设置为数学拓展课的校本开发及教育教学起到了很好的示范引领作用。

数学拓展课的教学需要结构化的设计。教育心理学家莫雷说：“所谓结构化，是指将逐渐积累起来的知识加以归纳和整理，使之条理化、纲领化，做到纲举目张。”当知识以一种层次网络结构的方式进行储存时，可以大大提高知识应用时的检索效率，显然，结构化教学对知识学习具有重要的促进作用。对数学拓展课教学而言，除了学习方法层面以外，数学拓展课中开展结构化教学还有哪些现实意义呢？数学拓展课的结构化教学又该如何体现呢？针对这些问题，笔者开展了以下的研究与实践。

一、数学拓展课教学为什么需要结构化

1.顺应教学改革的发展

在新一轮课标修订中，将会大力倡导综合学习，加强学科内知识的整合，推进跨学科学习，建设综合课程。这种学科整合的理念正好切合数学拓展课的综合性特点，即以数学学科学习为基础，融合其他学科学习，在综合性中加强实践，在实践中实现发展。崔允漷认为，课堂教学要“开展大单元教学，通过大观念、大问题、大项目、大任务来组织一个单元，把单元结构化”，将教学内容进行结构化处理，这是教学改革的必然趋势。因此，在数学拓展课的教学中，教師必须要树立结构化的意识，从某一知识点出发，勾连不同的知识领域，围绕教学中的核心问题，有组织、有层次、有系统地开展教学活动。

2.符合拓展课型的特点

虽然现行教材中已经安排了“综合与实践”领域的内容，但受教学时间等因素的制约，存在教学内容不多、教学时间不足等现象，这也为数学拓展课教学提供了发展的空间。与数学教材相比，教师自行开发设计的数学拓展课，缺少课程专家的指导与审核，缺少一线名师的引领与提纯，这样的数学拓展课在教学内容、教学设计、教学方法等方面难免存在杂乱无章、零散无序的现象，为了解决这个问题，在开发设计数学拓展课的过程中必须要有结构化的考量。

数学拓展课重在拓展。从教学内容上来说，数学拓展课是对现行教材的拓展，其涉及的知识领域较为宽泛，包括但不限于数学史的介绍、数学概念的溯源、知识结构的完善、数学方法的丰富、数学思想的渗透，等等;从教学场所上来说，数学拓展课是对教室这单一授课地点的拓展，学生的学习活动从教室走向操场、走向博物馆、走向生活、走向社会;从教学时间上来说，数学拓展课是对课堂40分钟的拓展，根据不同的学习主题开展项目式学习，教学的时间可以兼及昼夜，可以走过四季，也可以穿越古今。有了结构化的设计，数学拓展课的拓展不再顾此失彼、支离破碎，它们便有了上位的架构、整体的推进。

3.弥补STEM教学的短板

STEM是科学（Science）、技术（Technology）、工程（Engineering）、数学（Mathematics）的有机组合体，其借助数字技术，在任务的驱动下引发学生深度学习。STEM教学是当今全球基础教育的一个重要的议题，也是教育创新的一条新的路径[2]。正因为STEM教学带有强烈的综合性与创新性，所以基于STEM理念的项目式学习成为数学拓展课教学中常用的教学方式，并在我国的很多学校得以开展与实施，取得了良好的教学效果。但同时我们也注意到，当前在中国、澳大利亚、新加坡等国家，STEM课程不属于学校里的常规课程，还没有形成较为完善的STEM课程体系[3]，故可以参考的教学资源还不够丰富，也不够系统，为此，在践行STEM教学理念时，教学内容、教学方法、教学评价等结构化的问题也必须加以重视。

二、数学拓展课教学怎样进行结构化

数学拓展课教学需要结构化的设计，那么数学拓展课教学的结构化又该如何体现呢？下面笔者从内容编排、教学目标、活动设计、教学方式四个方面入手，谈谈自己的一些做法。

1.内容编排系统化

数学拓展课不同于数学教材，它没有系统的、配套的教学素材，因此，面对来源宽泛、体量庞大、内容丰富的教学资源，该如何对教学内容进行系统化编排呢？

首先是素材的“粗加工”。在编排教学内容时，要根据学生的年龄特点、学习特点以及数学的学科特点，对各类教学资源进行初步梳理，进而从教学的角度将它们分门别类、取舍整合。

其次是素材的“深加工”。在数学教学过程中，基于教材的教学是“主菜”，而数学拓展课的教学则是“辅食”，为此，教师要充分发挥教材对数学拓展课的引领作用，从学生已有的认知经验出发，顺着教材的编排结构，架构数学拓展课的编排体系。常用的架构方法有横向、纵向、辐射向。横向架构，是指依据同一学年各拓展课之间的前后联系来实施架构;纵向架构，是指依据不同学年同一知识领域拓展课的上下联系来实施架构;辐射向架构，是指以一节拓展课为圆心，以逻辑关系为半径，展开辐射式的编排设计，从而形成“球状”立体结构。三种架构方式经纬交错，由点到线、由线到面、由面到体，循序渐进、逐步完善。

最后是素材的“精加工”。在上述体系架构下，根据数学拓展课的特点，从科学性原则、实践性原则、趣味性原则、整体性原则、开放性原则及发展性原则的角度出发，对每节拓展课的教学资源开展进一步的整合打磨，由易到难、由浅入深、由单一到综合……最终形成适合学生的、完整而又丰富的教学内容。

下面以苏教版《数学》四年级下册的第一单元“平移、旋转、轴对称”为例，谈谈结构化开发设计数学拓展课教学内容的过程（如图1）。首先是“粗加工”阶段，从教材内容特点出发，聚焦“解决问题策略”“研究图形方法”两个维度;接着是“深加工”阶段，基于策略运用对“解决问题策略”进行拓展，基于研究方式对“研究图形方法”进行拓展，并落实到具体的拓展点（即典型问题）;最后是“精加工”阶段，根据教学目标、教学内容的需要确定拓展点的数量，可以是一个（如以“莫比乌斯环”为切入点），也可以是多个（如将“大、小圆的面积”“∠1的角度”整合后为切入点），进而细化为具体的课堂教学活动。

需要注意的是，数学拓展课的内容编排不可一蹴而就，它其实是一个不断调整、优化、完善的动态过程。

2.教学目标精准化

数学拓展课中教学目标与教学内容存在相互依存的关系，我们既可以根据教学目标来选择教学内容，也可以根据教学内容来拟定教学目标。在教学实践中，后者更为常见。

数学拓展课涉及的知识领域较为广泛，包括教材知识延伸、生活问题解决、数学实验探究、数学文化介绍、数学游戏互动等。不同的知识，有着不同的教学定位，也有着不同的教学目标。为了便于教师精准把握教学目标，我们按照教学内容的特点对数学拓展课进行分类，从“一节课”延伸为“一类课”，总结出不同课型的基本教学目标，以此达到教学目标结构化的目的（见表1）。

在教学实践中，我们将数学拓展课的教学目标分解成两个子级目标，即数学认知目标与其他素养目标[4]。一方面，知识是培养素养的重要载体，没有认知素养的支撑，其他素养的培养将会成为无本之木、无源之水;另一方面，数学核心素养是多方面的，但同时也是融合的，将非认知素养归为其他素养，更便于协调发展。

3.活动设计版块化

数学本身有着内在的统一，它具有整体性，只不过人们为了教与学的需要将其进行了分解，为了防止教学活动的凌乱无序，防止知识构建的支离破碎，我们需要从知识的整体性出发，通过版块化设计对教学活动进行结构化处理。

版块化是指围绕教学目标设定一条教学主线，将众多的教学内容串成“线”，连成“片”，形成“块”。这样的“块”不同于以往的复习、新授、巩固等教学环节，它是借力教学主线筛选、贯串、统领、协调各部分教学资源[5]，实现知识内在联系的结构化，从而使得整个教学活动融合成一个有机的整体。

如在教学数学拓展课“一片银杏叶的面积有多大”[6]时，版块设计为：面积，数一数;面积，算一算;面积，量一量;面积，称一称;面积，推一推。在教学中，教师以解决问题的策略为教学主线，借助“数一数”“算一算”等动词逐一呈现版块名称，从而让学生带着目标去学习，知道每一步任务是什么，该怎么去做。在课尾，再次呈现版块名称，让学生整体认识策略，在惊叹策略多样的同时也引发思考“还会有其他策略吗？”从而点燃创造激情，丰富认知体系。整个教学活动中，版块间的结构关系清晰明了，一气呵成。

版块化的活动设计离不开教学主线的“穿针引线”。教学主线或呈现知识发生发展的过程，或展现事物间递进的逻辑关系，或引领知识、思想、智慧的逐步提升，起到了“形散而神不散”的统一作用。以下为版块化教学主线设计的常用路径[7]：（1）在递升为主线，版块内容呈现为：生活—数学—生活;（2）以贯串为主线，版块内容呈现为：从简起步—提升构造—融合回归;（3）以追问为主线，版块内容呈现为：是什么—怎么用—为什么;（4）以提升为主线，版块内容呈现为：具体—表象—抽象;（5）以拓展为主线，版块内容呈现为：已有什么—还有什么。

4.教学方法“5E”化

项目式学习是数学拓展课的重要教学方式，基于STEM理念的项目式学习中，“5E”教学法是最为经典的教学法。这里的“5E”指的是参与（Engage）、探索（Explore）、解释（Explain）、阐述（Elaborate）、评估（Evaluate），其重点在于引领学生经历知识模型的建构过程。

史宁中提出：“用数学的眼光观察世界，用数学思维分析世界，用数学语言表达世界。”这种教学理念在STEM教学中也有很好的体现。如“用数学的眼光觀察世界”就是一个抽象的过程，从STEM课程角度来看，这个抽象的过程就是设计思维的培养过程，通过分解、模式、抽象三个步骤加以实现。

“5E”教学法就是一种结构化教学方法，在实施过程中，教师一定要凸显学生学习的主体性，给予他们更多的探究时间与空间，凡是学生能讨论解决的决不包办，凡是学生能独立完成的绝不代替。以下为教学数学拓展课“长方体中的点、线、面、体”时，“5E”教学法的一些具体运用（见表2）。

内容编排系统化、教学目标精准化、活动设计板块化、教学方法“5E”化，仅仅是数学拓展课结构化教学的一部分，诸如教学评价结构化、作业设计结构化……也是我们应该考量的内容。有了结构化，数学拓展课教学活动将会行动有法、张弛有度，能更好地发展学生的学习力、思辨力与创造力，从而促进核心素养的进一步提升。

参考文献

[1][4] 潘红娟.小学数学拓展课：设计、样态、模式与取向[J].教学月刊，2020（09）：10-15.

[2][3] 张勤琼，Duncan Symons，陈肖颖.基础教育中的STEM及其教学[J].小学数学教师，2020（10）：26-31.

[5] 蔡月珍，王卫东.智慧数学课堂“教学板块”的设计与思考[J].江苏教育，2011（10）：8-10.

[6] 王卫东.数学拓展课的设计原则及路径举隅[J].教学与管理，2021（26）：53-55.

[7] 蔡月珍，陈士文.教学板块：学生智慧生长的根脉[J].小学教学研究，2013（31）：38-41.

[责任编辑：陈国庆]