解析几何教学要为核心素养而教

吴新红

【摘要】在平面解析几何教学中如何培养学生的核心素养，是值得探讨的主题。平面解析几何教学要“为素养而教”，注重培养学生的直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养。本文以“点到直线的距离公式”新授课为例，提出在平面解析几何教学中落实高中数学核心素养的四项策略：创新情境，问题引领;自主探究，小组合作;及时反馈，过程评价;总结提升，反思优化。

【关键词】中学数学;解析几何;核心素养;点到直线的距离公式

如何培养学生的数学核心素养是值得深入探讨的问题。数学核心素养的培育，离不开具体的数学知识的学习、应用、创新。在高中数学课堂教学中，不少教师仍然崇尚“题海战术”，只是“为考试而教”，忽视培养学生的数学核心素养，课堂教学效益较低。因此，在平面解析几何教学中，要“为素养而教” ，注重培养学生的直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，努力追求“负担轻、效率高、效益佳”的课堂教学效果。下面以“点到直线的距离公式（新授课）”为例，分享我们的实践与思考。

一、教学设计

（一）教学目标

1.会用坐标法和向量法推导点到直线的距离公式。

2.会用点到直线的距离解决具体问题。

3.在点到直线距离公式推导过程中，培育直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养。

（二）重点难点

1.教学重点：点到直线的距离公式。

2.教学难点：点到直线的距离公式的推导。

（三）教学过程设计

1.引入新课

上节课我们研究了两点间的距离公式，本节课我们来探讨点到直线的距离公式。

2.推导公式

问题1：何为点到直线的距离？

设计意图：弄清概念，明确研究对象。

问题2：如图，已知点P（xo， yo），直线l：Ax+Bx+C=0（A，B不同时为0），如何求点P到直线l的距离？

设计意图：让学生经历点到直线的距离公式推导过程，培育逻辑推理和数学运算素养。

追问：如果直线l：Ax+Bx+C=0（A=0，B≠0）平行于x轴，点P（xo，yo）到直线l的距离还满足上式吗？

如果直线l：Ax+By+C=0（B=0， A≠0）平行于y轴，点P（xo，yo）到直线l的距离还满足上式吗？

设计意图：补充两种特殊情况，体现数学思维的严密性。

问题3：反思点到直线的距离公式的推导过程，你发现引起复杂运算的原因吗？

设计意图：优化运算过程。

问题4：向量是解决距离、角度问题的有力工具，能用向量方法求点到直线的距离吗？

设计意图：用向量法推导点到直线的距离公式。

问题5：点到直线的距离公式有什么结构特征？

设计意图：强化公式结构，加深学生对公式的理解。

问题6：比较推导点到直线的距离公式的坐标法和向量法，它们各有什么特点？

设计意图：让学生认识坐标法和向量法的特点。

3.运用公式

例1：求点P（-1，2）到直线2y=3的距离。

例2：已知△ABC的三个顶点分别是A（1，2），B（3，1），C（-1，0），求△ABC的面积。

设计意图：运用公式解题，提高学生的知识迁移能力。

4.课堂小结

问题7：这节课我们学到了什么？有何感悟？

设计意图：引导学生小结，提高学生的反思意识。

5.变式练习（课外作业）

（1）求点P（-1，2）到直线3x+2y-7=0的距离。

（2）若点P（-1，2）到直线4x-3y+C=0的距离为1，求C的值。

（3）试探索点到直线的距离公式的其它证明方法。

二、教学实录

教学片断1：推导点到直线的距离公式

问题1：何为点到直线的距离？

学生1：直线外一点到这条直线的垂线段长度，叫点到直线的距离。

问题2：已知点P（xo，yo），直线l：Ax+By+C=0（A，B不同时为0），怎样求点P到直线l的距离d？

学生2：当A=0时，直线可变为：，显然.

学生3：当B=0时，直线可变为：，显然.

教师：当A≠0，B≠0时，如何求点P到直线l的距离d？

学生4：先求垂足的坐标，再用两点间的距离公式来求。

教师：很好，将点到直线的距离转化为了两点间的距离。如何求垂线PQ的方程？如何求出点Q的坐标？

学生5：利用垂直条件求PQ的斜率，再用点斜式求PQ的方程，最后联立方程组，求出垂足Q的坐标。

教师：这是推导点到直线的距离公式最直接的思路，能给出推导过程吗？

师生合作：当A≠0，B≠0时，直线l的斜率为，所以垂线PQ的斜率为.

因此，垂线PQ方程为，即Bx-Ay=Bxo-Ayo.

联立方程组

将（1）×A+（2）×B得：（A2+B2）x+AC+AByo-B2xo=0，

问题3：反思点到直线的距离公式的推导过程，你发现引起复杂运算的原因吗？

学生6：由于点Q的坐标比较复杂，再代入两点间的距离公式造成了运算复杂。

教师：不求点Q的坐标，能推出点到直线的距离公式吗？设Q（x，y），观察两点间距离公式，能从方程组中直接写出x-xo，y-yo的表达式吗？

学生7：将变形得

从而（3）×A+（4）×B，（3）×B-（4）×A可求得：

教師：很好，“设而不求”是运算中十分常用的方法。与第一种方法相比，第二种方法的计算量大大降低。你能概述一下简化运算的方法吗？

学生8：第二种方法的推导过程，实际上是从所要求的表达式的结构入手，通过整体代换简化了运算。

教师：总结得很好。

问题4：向量是解决距离、角度问题的有力工具，能用向量方法求点到直线的距离吗？

教师：如图，设M（x，y）是直线l上的任意一点，n是与直线l的方向向量垂直的单位向量，与、n有何关系呢？

学生9： 是在n上的投影向量。

学生10：

追问1：如何用坐标表示n？

学生11：因为直线l：Ax+By+C=0的斜率为，它的一个方向向量为（1，），

因此，与直线l垂直的一个方向向量为（1，-），

所以，与直线l垂直的单位向量n=

追问2：如何求？

学生12：因为=（x-xo，y-yo），所以

因为M（x，y）在直线l上，则Ax+By+C=0.代入（5）式整理得.

教学片断2：点到直线的距离公式的理解

问题5：点到直线的距离公式有什么结构特征？

学生12：公式的分子：跟直线方程一般式的结构一致，只是把P点的坐标代入到了直线方程中，体现了公式与直线方程关系。因为所求的是距离，所以要加绝对值保证结果为非负。

问题6：比较推导点到直线的距离公式的坐标法和向量法，它们各有什么特点？

学生13：坐标法是通过求垂足坐标得到点到直线距离公式。由于求垂足坐标的运算量较大，所以采用“设而不求”，整体代换的手段，简化运算。向量法借助投影向量、直线方向向量，通过向量坐标运算得到点到直线距离公式。

教师：很好，向量法体现了解析几何形与数、数与形的转化，降低了运算量。是否还有其它的方法可以推导出点到直线的距离公式？课后请同学们继续探究。

教学片断3：总结提升

问题7：这节课我们学到了什么？有何感悟？

学生14：学到了用坐标法推导点到直线的距离公式的方法。

学生15：向量法利用投影向量的概念，借助向量的坐标运算获得点到直线距离公式。

学生16：数形结合是非常重要的。

教师：很好。数学学习要善于总结，主动思考，合作交流。

三、教学反思

解析几何教学要突出坐标法，发挥向量法的优势，着力培养学生的数形结合思想，培育直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养。反思点到直线的距离公式的教学设计和实践，笔者认为，基于核心素养的解析几何教学有以下四条教学策略：

1.创新情境，问题引领

问题引领的课堂教学能充分体现学生的课堂主体地位和教师的课堂主导作用，能充分调动学生的积极性和课堂参与性，在学生充分参与的过程中培养学生的问题意识。从本节课的教学设计来看，问题引领学生探究“点到直线的距离公式”，注重知识间的相互联系，引导学生数学思维，让学生充分参与课堂活动，培育学生的思维能力和核心素养。

2.自主探究，小组合作

当前不少因素导致教师片面追求学生的“高分数”，采用“填鸭式”教育，导致学生的学习能力不强，合作意识淡薄。本节课在师生提出了一种思路并解决后，教师还是交给学生自己去思考探究，将运算进行优化，而不是直接告诉学生该怎么做。在这个过程中学生有自己的感悟，有互动交流，质疑论辩，学生的思维得以提升，逻辑推理、数学运算等素养得以提升，达到学科目标和育人目标相结合的目的。但本节课在自主探究和小组合作这一部分仍然存在不足，这也是笔者下一阶段将要研究和努力的方向。

3.及时反馈，过程评价

评价引领是将优质课堂深入发展下去的保证。用评价进行激励，增强了学生的学习精神，树立了榜样作用。评价是对学生素质能力的肯定，促进了学生自主学习，深入探究，达到自我提升的效果。

本节课在学生回答问题和进行运算求解的过程中，教师一直在恰到好处地赞美激励学生，让学生始终保持一种旺盛的状态，积极探究的精神，让学生达到乐学的境界。

事实上，数学运算是多数学生的瓶颈所在，算不好、不会算，然后不想算是不少学生的状态。但数学毕竟少不了运算，特别是解析几何中，如果一时想不到什么巧妙解法，计算也许是学生唯一的途径。因此，我们要培养学生勇敢面对复杂计算的信心，鼓励学生勇于计算，让学生从教师那里获得解决问题的信心能量。

4.总结提升，反思优化

课堂小结有利于帮助学生掌握基本的数学知识与数学技能，提高学生的数学思维能力。开展课堂小结不能只总结当堂课的数学知识，也应该总结本节课应用的学习方法，有时学生并不能完全理解当堂课学习的数学内容，教师也不可能兼顾到全体学生的学习。因此，可以引导学生掌握正确学习方法的措施，帮助学生将数学知识前后联系，达到触类旁通的效果。

本节课在用三种方法推导出点到直线的距离公式后及时进行了对比和小结。在课堂小结时，三个学生分别从本节课学习的知识技能、思维扩展及合作交流等方面进行了阐述，相信本节课对学生的数学思维品质和素养都有一定提升作用。

总之，高中数学有着较强的逻辑性与抽象性，包含大量的知识点，要求学生有着较高的逻辑思维能力与数学运算能力，而利用以上四个策略能够有效激发学生的思维和创造力，培养学生的数学核心素养，达到立德树人的根本目标。

[本文系广州市教育科学规划（Guangzhou education scientific research project）2019年度基于“大数据+人工智能”背景下的精准教学策略研究（课题编号：201912044）的阶段研究成果]

参考文献：

[1]胡革新，谢春娥.高中数学“优效课堂”要为核心素养而教——以“方程的根与函数的零点”为例[J].中学数学教学参考（上旬），2018（5）：18-21.

[2]肖凌戆.基于核心素养的高中数学优效课堂的基本特征[J].中国数学教育（高中版），2017（12）：25-29.

[3]张勁松.建立直线与圆的方程，用方程研究它们的性质——选择性必修第一册第二章“直线与圆的方程”简介[J].中学数学教学参考（上旬），2020（12）：6-13.