关于重期望公式的教学探讨

陈丽

【摘要】重期望公式是概率论中一个重要的公式和教学难点.本文对重期望公式的一般形式、特殊形式及其在保险模型中公司面临损失的期望值的计算和标的股票价格带跳的欧式看涨期权定价问题中的应用进行探讨，以加深学生对重期望公式的理解.

【关键词】条件期望;重期望公式;期权定价

【基金项目】本文系中国矿业大学（北京）研究生课程教学改革项目（YJG20200801，YJG20200802）.

一、引言

数学期望刻画了随机变量的平均取值水平，是一类重要的数字特征.一般情况下，若已知某随机变量的分布，如分布律或概率密度函數，即可根据数学期望的定义计算出其数学期望.

但是在某些情形下，得到一个随机变量的概率分布比较困难，而只有其条件分布，此时随机变量的数学期望可由重期望公式得到.因此，重期望公式在实际问题中，如管理科学、工程学和金融学等领域有着广泛的应用.

二、重期望公式

关于重期望公式的形式有不同的表达形式，本文给出一般形式和特殊形式，便于比较及理解.

（1）重期望公式的一般形式.

重期望公式表明对条件数学期望再取数学期望即为无条件数学期望.上述条件数学期望和重期望公式是对一般的可积随机变量及σ代数的形式定义的，学生理解起来较为晦涩、难懂，教师在讲授过程中可以从一般定义的特殊形式加以分析，便于学生理解和接受.

（2）重期望公式的特殊形式.

当考虑离散型或者连续型二维随机变量（X，Y）时，条件数学期望和重期望公式将变得浅显且简单.

在给定X取值条件下，Y的条件分布可进行类似定义.在条件分布下求得的数学期望，即为条件数学期望.

（2）重期望公式为求随机变量的数学期望提供了新途径.在求解E（X）困难时，可寻找一个与X有关的量Y，用Y的取值将原问题进行划分，对给定Y的取值，计算X的条件期望，再对条件期望进行加权平均，即得E（X）.

三、重期望公式的应用

重期望公式常用来求解随机个随机变量的和或随机个随机变量的乘积的数学期望.文末[参考文献][3]中探讨了重期望公式在随机过程中的应用，本文主要考虑其在金融问题中的应用.

在上述带跳的期权定价问题中两次用到重期望公式，最终将带跳情形下期权的价格借助经典的Black-Scholes期权定价公式进行表示，可见重期望公式在该金融问题中的重要性.

四、总结

本文从重期望的一般形式出发，结合重期望公式在常见分布中的特殊形式进行讨论，并考虑重期望公式在实际问题中的应用.在教学过程中，教师应从一般理论到特殊形式，再将理论与金融实际问题相结合，便于学生对抽象理论知识的理解，激发学生的学习兴趣和积极性，提高学生运用理论结果解决实际问题的能力和创新能力.

【参考文献】

[1]严加安.测度论讲义（第二版）[M].北京：科学出版社，2004.

[2]茆诗松，程依明，濮晓龙.概率论与数理统计[M].北京：高等教育出版社，2019.

[3]周茂俊，葛莉，张圣梅.基于条件期望的全概率公式在《随机过程》中的应用[J].高等数学研究，2020，23（1）：104-107.

[4]Sheldon M.Ross.数理金融初步[M].冉启康，译.北京：机械工业出版社，2016.