探索小学数学方程教学中建立数学模型的策略

方玉红

新课程注重让学生体验从实际背景中抽象出数学问题、构建数学模型、得到结果、解决问题的过程。利用方程这种基本的数学模型，让学生经历从现实生活或者具体情境中抽象出数学问题，用符号表示数量关系和变化规律，求出模型的结果并讨论结果的意义。“稍复杂的方程”一课中，设计时就力求体现：培养学生的学习兴趣和应用意识，经历列方程解决问题的过程，培养模型思想。

然而，对于小学五年级学生来说，要在自主活动经验的基础上来建模，学生的直观经验、思维品质、知识整合会在很大程度上制约模型建立的过程和理解。因此，在“稍复杂的方程”教学中，教师更加注重数学知识在生活经验中的生长点，更加关注学生思辨力在建模中的积极作用，让方程思想与解题模型如行云流水般，自然地渗透于教学过程。对数学模型的建立过程，于此课中做了大胆成功的实践。

一、课前学情分析，找准知识的生长点

数学建模的基本步骤是：观察实际情境—发现提出问题—抽象成数学模型—得到数学结果—检验（是否合乎实际）—可用结果。情境的引入能不能激发学生的思考、能不能调动学生以往的学习经验、能不能与后续学习建立有逻辑内涵的联系，对顺利建模有着开局的影响力。于是，教师在设计“稍复杂的方程”一课时，细致分析了学情：在学习稍复杂的方程（一）前，学生已认识字母表示数的意义和作用，并初步了解方程的意义和等式的基本性质，并能运用它解简易方程。这一课时是对前面知识的提高深化，它担负着教学列方程和解方程的双重任务，是本单元的学习重点，也是难点。学会用方程解决问题，能够让学生在解决问题的时候摆脱算术思维方法中的某些局限性，尤其是逆向思维的解决问题。

教师在引入课程内容时，没有用书上原有的足球的情境，而是另辟蹊径：引导学生感知数量间的关系。1.有一个密码箱，当输入26时，显示56，让学生猜测是通过怎么样的运算得到的。学情预设：学生汇报时可能会出现以下情况：26+30=56，26×2+4=56或26×3-22=56……2.若把56看作我国民族个数、26看作云南民族个数，学生尝试以26×2+4=56为例描述我国民族个数和云南民族个数的关系：云南民族个数×2+4=我国民族个数，即我国民族个数比云南的2倍多4个。

这样的情境引入，从生活实际中抽象概括了事物间蕴含的数量关系，这就是数学的价值、数学的美。也为整堂课营造最炫民族风这样的知识背景打开了序幕。

二、放飞思辨的翅膀，探索知识的关键点

预设与生成是课堂教学的两翼。没有预设的课堂是不负责的课堂，没有生成的课堂是不精彩的课堂。数学建模是学生将数学知识内化生成加工的过程，思维品质决定着模型形成的实效性，思辨能力决定着模型应用的逻辑性。因此，在探索路上，学生的思辨能力将深远地影响着知识的发展与应用。于是，教师设计了这样的思辨过程：初步感知方程思想，体会列方程解决问题的优越性。1.根据以上数量关系，让学生隐藏某个已知条件编成解决问题的题目。学情预设：学生汇报时可能会出现以下情况：（1）云南有26个民族，我国民族个数比云南的2倍多4个，我国有多少个民族？（2）我国有56个民族，比云南的2倍多4个，云南有多少个民族？2.对应两道题把学生编为两组分别列式，要求只列式不计算，完成即刻举手示意。学情预设：由于思考方向的不同，列式中解决第（1）题的学生速度和正确率明显优于解决第（2）题的学生。教师借势判断一组的同学要比二组聪明，引起两组学生的争议。教师要求两组学生交换题列式并思考一组同学优于二组的原因，引导学生感受第（1）题顺向容易思考，第（2）题反推较难思考。3.引导学生想到以第（1）题（顺向思考）的思考方法列出含有未知数的等式，列方程解决。

设计意图：第（2）题若用算术方法解，需要逆向思考，思维难度较大，学生容易出现先除后减的错误。让学生通过编题、小组比赛列式等活动，引起认知冲突：若能用方程解，思路比较顺。从而感知方程思想，体会列方程解决问题的优越性。

三、蹊径探幽，呈现知识的发展点

1.建立数量间的相等关系，列方程

（1）小组合作，提供以下卡片

我国民族个数 云南民族个数的两倍 4 =

以4人小组为单位，将卡片置于等号两端，使数量间能保持相等的关系，从而建立“我國民族个数”和“云南民族个数”间的相等关系。

学情预设：学生汇报时可能会出现以下情况：

云南民族个数×2+4=我国民族个数，我国民族个数-云南民族个数×2=4，云南民族个数×2=我国民族个数-4。

（2）根据生成的等量关系，列出方程

在列方程前，应先写“解：设”以交代未知数代表的数量。

学情预设：学生汇报时可能会出现以下情况：

2x+4=56，56-2x=4，2x=56-4……

选择形如ax±b=c的方程，引出课题：稍复杂的方程。

设计意图：通过学生的集体讨论并展示研究结果，让学生讲述自己的思路，教师给予适当的评价、补充，肯定学生的研究成果，激发学生的学习兴趣，培养学生的思维能力、口语表达能力和解决问题的能力。

2.解方程

（1）以方程“2x+4=56”为例尝试解方程。

教师提供三种方案供学生选择：①教师示范解这个方程;②自学教材第65页内容，独立尝试解方程;③不看教材，独立想办法解决。

学情预设：学生解方程时可能会出现以下情况：

①自学教材第65页内容，尝试解方程：

2x+4=56，2x+4-4=56-4，2x=52，2x÷2=52÷2，x=26。

②不看教材，自己想办法解决，可能与上述一致，也可能用其他方法解方程。

（2）学生汇报交流，无论以何种方法解方程都给予肯定

师：通过阅读教材，你要提示其他同学应注意些什么？

学情预设：学生汇报时可能会出现以下情况：

①先把2x看成一个整体。②要记住验算。③书写格式等。

（3）验算并写出答案。

3.小结列方程解决问题的步骤

（1）弄清题意，找出数量之间的相等关系，列方程。

（2）解方程。

（3）检验，写出答案。

4.沟通三个相等关系的联系

学生思考三个相等关系之间有什么联系？

以“云南民族个数×2+4=我国民族个数”为例，沟通它与“我国民族个数-云南民族个数×2=4”和“云南民族个数×2=我国民族个数-4”之间的联系。

四、培養模型思想，寻找知识的转化点

数学模型的建立，与培养学生模型思想是同步的。建立模型思想的本质就是使学生体会和理解数学与外部世界的联系，而且它也是实现上述目的的基本途径。在教学实践中，培养模型思想，就要找到知识的转化点。例如，在本节课中，教师有如下设计：记者从云南省第六次全国人口普查新闻发布会上获悉，云南省普查实际登记人口中，汉族约有3063万人。有6个少数民族人口过百万，由多到少排列依次是彝族、哈尼族、白族、傣族、壮族和苗族。据了解，人口最少的是独龙族，其次是水族和满族，水族约有7000人，比独龙族的2倍少4000人，独龙族有多少人？学生根据作业单上的信息，选定一个问题列方程解答。通过听老师读信息，学生从听到的众多信息中筛选出另一条解题需要的信息。

教师读信息：学校民族歌舞团中，回族有10人。回族人数是彝族的2倍少2人;回族人数是白族的2倍，回族人数是傣族的3倍少2人;回族人数是佤族的3倍多1人。

拓展：播放视屏《舌尖上的中国（1）》片段，介绍云南香格里拉的松茸，通过数量间的关系，沟通一支松茸在原产地、东京和高档餐馆的不同价格，留给学生寻找答案的空间。

这样在明确建立和求解模型的过程中，学生学会从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律。通过模型去求出结果，并用此结果去解释讨论它在现实问题中的意义。学生在循序渐进的学习中感悟模型思想，这样的建模方式，其基本特点可以用源于生活而高于生活来概括。这种高于体现在对生活事理的简约、提炼、概括和数学化的表达上。

总之，数学模型的建立，模型思想的教学，不是能像具体知识点那样可以单独作为一个数学内容来进行专门教学的，而是融入具体数学知识的教学过程中，让学生在学习过程中领悟体会形成的。并且模型思想的建立，需要经历一个比较复杂的过程，需要教师长时间的渗透与培养。借用屈原的一句话来表达我们的体会，那就是“路漫漫其修远兮，吾将上下而求索”。