三阶半线性中立型微分方程的振动性*

贾对红

(长治学院数学系，山西 长治 046000)

近年来，许多学者对三阶微分方程的振动性进行了研究，取得了许多成果[1-6].笔者拟在文献[7]的基础上，利用Riccati变换和Philos型积分技巧研究一类三阶半线性中立型分布时滞微分方程

(1)

1 预备知识

函数x(t)称为方程(1)的一个解，如果函数z(t)和r(t)|z″(t)|α-1z″(t)连续可微，且在[t0,+∞)上x(t)满足方程(1).方程(1)的一个非平凡解称为振动的，如果它有任意大的零点；否则，称它为非振动的.若方程(1)的一切解都是振动的，则称方程(1)是振动的.

假设下列条件成立：

引理1[8]若x(t)是方程(1)的最终正解，则存在t1>t0，当t>t1时，有：

(ⅰ)z(t)>0,z′(t)<0,z″(t)>0；

(ⅱ)z(t)>0,z′(t)>0,z″(t)>0.

引理3设x(t)是方程(1)的最终正解，且z(t)满足引理1(ⅰ)，若

(2)

(3)

(4)

于是

2 主要结果及其证明

设D={(t,s):t0≤s≤t<+∞}，D0={(t,s):t0≤s

(1)H(t,s)>0,(t,s)∈D0，H(t,t)=0,t≥t0；

定理1假设(H1)～(H6)和(2)式成立，且存在ρ∈C1([t0,+∞),R+)和∀(t,s)∈D0，满足

(5)

其中

则方程(1)的解x(t)或者是振动的，或者当t→+∞时趋向于0.

证明设方程(1)有非振动解，则x(t)为最终正解或最终负解.不妨设x(t)为最终正解(最终负解的证明类似)，且x(τ(t,μ))>0,x(g(t,ξ))>0,t≥t1≥t0.

若z(t)满足引理1(ⅱ)，即z(t)>0,z′(t)>0,z″(t)>0，z(t)是单调递增函数，则有

(6)

由(H5)，(H6)和(6)式，可得

可以看出，r(t)(z″(t))α是单调递减函数，且t>s时，r(t)(z″(t))α

(7)

(8)

(8)式两边同时对s从t0到t积分，可得

(9)

因此对于∀t≥s≥t1，由(8)，(9)式有

(10)

令

(11)

由引理2可得

(12)

(13)

对(13)式两边同时从t1到t积分，可得

当t→+∞时，由(5)式可知w(t)→-∞，这与w(t)>0矛盾.证毕.

定理2若存在函数ρ∈C1([t0,+∞),R+)使得(2)式成立，且满足

(14)

则方程(1)的解x(t)或者是振动的，或者当t趋于+∞时趋向于0.

证明设方程(1)有非振动解，则x(t)为最终正解或最终负解.不妨设x(t)为最终正解(最终负解的证明类似)且x(τ(t,μ))>0,x(g(t,ξ))>0,t≥t1≥t0.

若z(t)满足引理1(ⅱ)，则令

(15)

对(15)式从t0到t积分,可得

当t→+∞时，由(14)式可知u(t)→-∞，这与u(t)>0矛盾.证毕.

定理3假设(H1)～(H6)和(2)式成立，若存在ρ∈C1([t0,+∞),R+)和∀(t,s)∈D0，满足

(16)

则方程(1)的解或者是振动的，或者当t趋于正无穷时趋向于0.

证明设方程(1)有非振动解，则x(t)为最终正解或最终负解.不妨设x(t)为最终正解(最终负解的证明类似)且x(τ(t,μ))>0,x(g(t,ξ))>0,t≥t1≥t0.

若z(t)满足引理1(ⅱ)，则由定理1的证明可知(11)式成立，即

(17)

(18)

整理得到

即

(19)

于是

(20)

联立(19),(20)式，可得

对于∀t≥t1>t0，有

这与(16)式矛盾.证毕.

定理4假设(H1)～(H6)和(2)式成立，ρ∈C1([t0,+∞),R+)，φ∈C([t0,+∞),R)，H∈X，对于∀T≥t0，有

(21)

(22)

(23)

φ+(s)=max{φ(s),0}，

则方程(1)的解或者是振动的，或者当t趋于正无穷时趋于0.

证明若z(t)满足引理1(ⅰ)，则由引理3即证.

若z(t)满足引理1(ⅱ)，则由(22)式可知对于∀t1>t0，有

即对于∀t1>t0，有

φ(t1)≤w(t1).

(24)

由(19)式可得

(25)

由(21)式可知，存在ε>0，使得

(26)

由N的任意性，有

这与(25)式矛盾，因此

由(24)式可得

这与(23)式矛盾.证毕.

3 应用举例

考虑方程

该方程的解或振动或趋于0.