BS-矩阵线性互补问题误差界的一个新估计式*

周翠玲，莫宏敏

(吉首大学数学与统计学院,湖南 吉首 416000)

线性互补问题的模型是找到x∈Rn,满足

(Mx+q)Tx=0,Mx+q≥0,x≥0,

其中M∈Rn×n为给定矩阵,q∈Rn为给定向量.线性互补问题简记为LCP(M,q).

线性互补问题解的存在唯一性和算法的收敛性,与所包含的特殊矩阵类的结构和性质有密切关系.当矩阵M为P-矩阵时,线性互补问题存在解且唯一[1].2006年,陈小君等[2]给出了当M为P-矩阵时其解的相应误差界

1 预备知识

定义2[9]设M=(mij)∈Rn×n,若存在N的子集S(2≤card(S)≤n-2),对于∀i,j∈N,t∈T(i)(〗i},k∈K(j)(〗j},有

(1)

若K(j)(〗j}=Ø(T(i)(〗i}=Ø),则记max=-∞(min=+∞).

引理3[3]若M=(mij)∈Rn×n是BS-矩阵,但不是B-矩阵,则存在k,i∈N(k≠i)使得

引理4[10]设A=(aij)∈Rn×n是严格对角占优M-矩阵,则有

Gao[7]改进了文献[3]中的误差界,得到以下结果:

(2)

笔者将在引理8基础上继续研究BS-矩阵线性互补问题的误差界.为了方便起见,定义以下符号:

2 主要结果

(3)

证明由引理1可得

(4)

由引理4可得

由引理5可知,对于∀i,j,k∈N,有

(5)

(6)

(7)

(8)

由引理5和(7),(8)式,有

(9)

由引理5和(6)式,有

(10)

又由引理7和(6)式,有

(11)

进而,由引理6和(5)～(11)式,有

(12)

由(4),(12)式可知(3)式成立.

根据引理3和定理1,可得以下结果：

若k∈S,则有

接下来对(2)式和(3)式进行比较.

(13)

(14)

(15)

由(14),(15)式可知(13)式成立.证毕.

类似于文献[11]中定理2.4的证明,当矩阵M为P-矩阵时,有以下结果:

其中D=diag(d1,d2,…,dn)(0≤di≤1,∀i∈N),且‖·‖p是向量范数诱导的矩阵范数.那么,由BS-矩阵是P-矩阵的子类矩阵[3]和定理1,可得到以下结果:

若k∈S,则有

3 数值算例

例1考虑BS-矩阵[3]