分式方程的四种特殊解法

王红梅

一、拆项法

例1 解方程[1x+2+4xx2-4+22-x=1].

解析：将原方程变形为[1x+2+2·（x+2）+（x-2）（x+2）（x-2）+22-x=1]，应用关系式[x+yxy=1x+1y]，

则[1x+2+2x+2+2x-2-2x-2=1]，即[3x+2=1]，∴x = 1. 經检验x = 1是原分式方程的根.

二、添项法

例2 解方程[x-1x+1+x-4x+4=x-2x+2+x-3x+3].

解析：分式方程两边项数相同，各项都同时添项加1.

原分式方程化为[1+x-1x+1+1+x-4x+4=1+x-2x+2+1+x-3x+3]，

即[2xx+1+2xx+4=2xx+2+2xx+3]，显然，x = 0为原分式方程的根.

当x≠0时，上述方程可变形为[1x+1-1x+2=1x+3-1x+4]，得[1（x+1）（x+2）=1（x+3）（x+4）]，

∴（x + 1）（x + 2） = （x + 3）（x + 4），解得[x=-52]. 经检验，x = 0，[x=-52]都是原分式方程的根.

三、两个分式相等，若分子相同，则分子为零或两个分母相等

例3 解方程[3x-2-4x-1=1x-4-2x-3].

解析：将分式方程两边分别通分，得[5-xx2-3x+2=5-xx2-7x+12]，由5 - x = 0，得x = 5.

又由[x2-3x+2=x2-7x+12]，得[x=52]. 经检验，[x=5]， [x=52]都是原分式方程的根.

四、两个分式相等，若分子相同，并且分母的项数、次数相同，只有常数项不同，则化分子为1

例4 解方程[x-8x-9+x-4x-5=x-5x-6+x-7x-8].

解析：将原分式方程每个分式拆项，得[1+1x-9+1+1x-5=1+1x-6+1+1x-8]，

∴[1x-9+1x-5=1x-6+1x-8]. 两边分别通分得[2x-14x2-14x+45=2x-14x2-14x+48]

∴令2x - 14 = 0，得x = 7. 经检验，x = 7是原分式方程的根.