丰富多彩的三角板问题

薛金钰

利用三角板设计的中考题，难度不大，易于求解. 现举6例进行说明.

一、用一只三角板与直尺设计中考题

1.含45°角的三角板与直尺

例1（2021·四川·宜宾）一块含45°角的直角三角板和直尺如图1放置，若∠1 = 55°，则∠2的度数是（ ）.

A. 30° B. 35° C. 40° D. 45°

解析：由∠1 = 55°，∠B = 45°，得∠AED = 100°.

由DE[⫽]FG，得∠AFG = 100°，由∠A = 45°，得∠2 = 35°.

也可过点C作CH[⫽]DE，由DE[⫽]FG，可知CH[⫽]FG，

再由∠ACB = 90°，利用平行线的性质可知∠1 + ∠CGM = 90°.

由∠1 = 55°，可得∠CGM = 35°，则∠2 = 35°. 故选B.

反思：本题解法很多，如：延长AC交直线ED于N，利用平行线的性质、对顶角的性质和三角形内角和定理求解;利用五边形内角和公式，求∠2的邻补角，进而得到∠2的度数.

2.含30°角的三角板与直尺

例2（2021·山东·泰安）如图2，直线m[⫽]n，三角板的直角顶点在直线m上，且三角板的直角被直线m平分. 若∠1 = 60°，则下列结论错误的是（ ）.

A. ∠2 = 75° B. ∠3 = 45° C. ∠4 = 105° D. ∠5 = 130°

解析：由三角板的直角被直线m平分，可知∠6 = ∠7 = 45°，

则∠4 = ∠1 + ∠6 = 60° + 45° = 105°.

由m[⫽]n，得∠3 = ∠7 = 45°，∠2 = 180° - ∠4 = 75°，

则∠5 = 180° - ∠3 = 180° - 45° = 135°. 故选D.

反思：也可由三角板的直角被直线m平分，得到∠6 = ∠7 = 45°，再由邻补角的定义得到∠5 = 135°，即可得到答案.

二、用一副三角板设计中考题

1.将一副三角板的两个锐角的边重合

例3（2021·湖南·岳阳）将一副直角三角板按如图3所示摆放，若直线a[⫽]b，则∠1的大小为（ ）.

A. 45° B. 60° C. 75° D. 105°

解析：由題意知，∠ABC = 45° + 60° = 105°.

由a[⫽]b，得∠1 + ∠ABC = 180°，

则∠1 = 180° - ∠ABC = 180° - 105° = 75°. 故选C.

反思：这里是将45°和60°的两个锐角在公共边的外部重合，如果在内部重合，又会得到怎样的试题？将45°和30°的两个锐角的公共边重合，又会得到怎样的试题？

2.使一副三角板的两条直角边平行

例4（2021·内蒙古·通辽）一副三角板如图4所示摆放，且AB[⫽]CD，则∠1的度数为 .

解析：由对顶角相等可知∠1 = ∠EOF，

而∠EOF + ∠E + ∠F = 180°，∠E = 60°，∠F = 45°，

因此∠1 = 180° - 60° - 45° = 75°.

反思：本题还有很多解法，请同学们思考并整理.

3.使一副三角板的两条斜边平行

例5（2021·湖北·宜昌）如图5，将一副三角板按图中所示位置摆放，点F在AC上，其中∠ACB = 90°，∠B = 60°，∠EFD = 90°，∠E = 45°，AB[⫽]DE，则∠AFD的度数是（ ）.

A. 15° B. 30° C. 45° D. 60°

解析：由AB[⫽]DE，有∠AOD = ∠D = 45°.

由∠AOD = ∠AFD + ∠A，∠A = 30°，

得∠AFD = ∠AOD - ∠A = 45° - 30° = 15°. 故选A.

反思：∠CFE如何求？有哪些不同的方法？请同学们尝试求解.

4. 使一副三角板直角边与斜边平行

例6（2021·辽宁·抚顺）一副直角三角板如图6摆放，点[D]在[BC]的延长线上，EF[⫽]BC，[∠B=∠EDF=90°]，[∠A=30°]，[∠F=45°]，则∠[CED]的度数是（ ）.

A. [15°] B. [25°] C. [45°] D. [60°]

解析：由题意得[∠ACB=60°]，[∠DEF=45°].

由EF[⫽]BC，利用平行线性质可得出[∠CEF] = [∠ACB=60°]，

因此[∠CED=∠CEF-∠DEF] = 60° - 45° = 15°. 故选A.

反思：也可利用∠ACB = ∠[CED] + ∠CDE，[∠ACB=60°]，∠CDE = ∠DEF = 45°，从而得到答案.

其实，只要多思考，你也可以设计出新颖的试题. 长此以往，你也能成为命题专家！

1.一把直尺与一块直角三角板按如图7方式摆放，若∠1 = 47°，则∠2 = .

2.如图8，将一副三角板在平行四边形ABCD中作如图摆放，设[∠1=30°]，那么[∠2=] .

（答案见第31页）