“新工科”背景下数学建模在数学课程中的案例教学研究

周婉娜 周根全

[摘           要]  针对传统数学课堂教学中存在的问题，结合“新工科”背景下对人才的需求，提出将数学建模思想融入课堂教学，通过具体的案例、数学建模思想的引入，使抽象的理论变得更直观、生动，大大激发了学生的学习兴趣，同时也提高了学生分析问题和解决问题的能力。

[关    键   词]  “新工科”;数学建模;课堂教学

[中图分类号]  G642                    [文献标志码]  A                  [文章編号]  2096-0603（2021）40-0042-02

一、概述

自2016年“新工科”人才培养方案的提出，对数学类课程建设提出了新的要求。“新工科”人才培养理念是用成果导向替代学科导向，成果导向又由以学生为中心、反向设计和持续改进三个理念组成。“新工科”是培养适应未来工程发展的应用型人才。数学课程是所有高校工科专业的基础课程，而目前数学课程的课堂绝大多数都是教师在满堂灌，丝毫未体现出学生的主体地位，并且讲授的知识是纯理论知识，未与实际问题相结合，因此未能达到“新工科”对应用型人才的培养。通过在数学课堂中引入数学建模思想，一方面使学生能够认识到专业知识与数学知识之间密不可分的关系;另一方面通过对具体问题分析、求解的过程，充分体现出学生的主体地位。

二、数学建模思想在数学类课程中的应用

（一）数学建模在高等数学课程中的应用

高等数学是工科学生大一必修的基础课，它具有抽象性、逻辑性、应用性强等特点。对于刚刚步入大学的新生来说，高等数学学习与中学数学相比，困难重重，因此在高等数学的教学过程中，应引入数学模型，让学生更好地理解、掌握理论知识。例如，在讲授可分离变量的微分方程内容时，可引入战争模型，利用大家都熟悉的战争片电视剧《亮剑》来吸引学生的眼球，教学过程如下。

引例：在电视剧《亮剑》中李云龙部队的单兵作战能力以及武器的配备远不如日本军，那么最终胜利靠的是什么？

1.问题重述

在战斗开始的某时刻，日本军的人数比李云龙部队的人数要多，并且李云龙部队的单兵作战能力及武器的配备远不如日本军，问李云龙部队最终为什么会获胜？

2.模型假设

（1）每支队伍的减员均由敌方造成。

（2）不考虑增援部队。

3.符号说明

t—战斗开始的时刻 x（t）—李云龙部队t时刻的人数

y（t）—日本军t时刻的人数 b—日本军的单兵作战效率

c—李云龙部队的单兵作战效率

4.模型建立

由题目及假设可知，每支队伍的减员速率与敌方人数是成正比的，则建立如下战争模型

5.模型求解

战争模型的求解过程，得到可分离变量的微分方程的定义，将可分离变量的微分方程与感兴趣的问题相结合，使学生更容易接受，同时也提高了学生学习的积极性。

（二）数学建模在线性代数课程中的应用

线性代数培养学生的数学思维能力、基本运算能力和数据分析能力，使学生学会利用数学理论知识解决经济生活中的常见问题。线性代数课程主要包括行列式、矩阵、线性方程组、特征值与特征向量、二次型等。但对于三本院校的学生，直接讲解概念，学生接受起来较困难，因此在教学过程中应用实际生活中最直观、最简单的例子使学生对知识的掌握更加容易。

在教学过程中，依据线性代数的有关理论建立数学模型，使抽象的理论变得生动有趣，激发学生的学习兴趣，提高学习质量。数学建模的基本步骤为：问题重述、模型假设、符号说明、模型建立、模型求解、模型检验、模型推广等，根据具体问题的分析，其中有些步骤可以删减。下面以百鸡术问题为例介绍数学建模思想在线性方程组中的教学。

引例：百鸡术

母鸡每只五文，公鸡每只三文，小鸡每文三只，令百文买百鸡，各买几何？

1.问题重述

母鸡每只五文钱，公鸡每只三文钱，小鸡每三只一文钱，现用100文钱买100只鸡，问母鸡、公鸡、小鸡各几只？

2.模型假设

假设各种类型的鸡有足够的数量。

3.符号说明

设100只鸡中，母鸡x1只，公鸡x2只，小鸡x3只。

4.模型建立

由题目已知信息，建立如下数学模型

即将百鸡术问题转化成线性方程组的问题，母鸡、公鸡、小鸡的个数问题就是线性方程组解的问题。

5.模型求解

利用线性方程组解的判定，判断线性方程组的系数矩阵和增广矩阵的秩是否相同，首先将其增广矩阵化成行阶梯行矩阵：

进一步得到，原线性方程组的等价方程组

其中x3是自由未知量，即小鸡的个数确定了，则母鸡、公鸡的个数也确定了。

在此实际问题中，母鸡、公鸡、小鸡的个数不能为负，即x1>0，x2>0，x3>0，并且所有鸡的个数必须为整数，即x1，x2，x3为整数，由此可得

即母鸡12只、公鸡4只、小鸡84只。

综上，母鸡、公鸡、小鸡的个数分别为4，18，78或8，11，81或12，4，84。

6.模型推广

此实际问题中，对方程的结果有一定的限制，如果此题没有实际问题的限制，我们的解将会是怎样的？由（二）5可知，方程有无穷多解，因此给自由未知量x3任意赋值，就得到方程组的所有解，即

令x3=C（C为任意常数），则我们得到方程组的解

在百鸡术问题的求解过程中，利用数学建模的思想引导学生，将线性方程组的有关知识与实际问题相结合，使学生学会分析问题、解决问题，使所有学生都动起来，参与到课堂活动中，凸显学生的主体地位。

通过数学建模的思想，把线性代数的知识与实际问题相结合，将学与用有效地结合起来，体现数学知识的价值所在，充分调动学生学习的积极性和主动性，使学生对数学有了新的认识，同时也提高了学生学习数学的兴趣。

三、总结

本文通过在高等数学和线性代数中融入数学建模思想，激发了学生的学习兴趣，活跃了课堂气氛，培养了学生的创造性思维能力，学习效果较之前有较大的提高，为“新工科”培养创新型人才奠定了基础。

参考文献：

[1]林潘能.新工科背景下“高等数学”课程教学改革[J].高等教育，2019（13）：203.

[2]贺爱娟.数学建模思想与大学数学类课程教学融合的探讨[J].中国电力教育，2013（31）：82-83.

编辑 马燕萍