基于双忆阻混沌电路的分析及应用

袁延超，袁 方，李玉霞

(山东科技大学 电气与自动化工程学院，山东 青岛 266590)

忆阻器概念于1971年由Chua[1]提出，首次将电荷与磁通关系联系起来。2008年，惠普实验室工作人员使用纳米技术基于掺杂的TiO2薄膜成功研制了具有忆阻器特性的实物器件，首次将真实器件与忆阻器概念联系起来[2]。忆阻器是除电阻、电容和电感以外的第四种基本电路元件。文献[3]提出忆阻器是一个具有二端口网络的器件，忆阻器阻值的大小不只与加在其两端的电压极性、大小及加在其两端电压的持续时间长短有关，并且与加在它两端电压历史值有关，即使断电，忆阻器的阻值也不会消失。利用忆阻器的非易失性可以模拟人脑神经网络的功能，已被应用于人工神经网络领域[4-6]、人工智能[7-9]和电子工程[10]等领域。

目前忆阻器实际器件的实现难度和成本都比较大，尚未发展到商用阶段，研究多集中在忆阻器的数学模型和忆阻器仿真器[11-14]方面。忆阻器作为一种新型非线性元件，引入电路后很容易实现电路的混沌振荡，构建基于忆阻器的混沌电路对研究忆阻器的应用及非线性动力学的发展具有重要意义。文献[15]提出一种由实际器件组成的浮地忆阻器仿真器，用于模拟阈值型二进制忆阻器的动态特性。文献[16]提出新的三相二极管桥式忆阻器记忆特性，通过数值仿真和电路仿真分析了v-i磁滞回线。通过将忆阻器应用到新的混沌电路，或者替换原有电路中的线性或非线性元件，可以生成动力学特性更为丰富的混沌吸引子[17-19]。文献[20]提出一个局部有源忆阻器模型，基于该忆阻器模型设计一个混沌系统，该混沌系统具有复杂的分岔特性。文献[21]将磁控忆阻器引入到多翼混沌系统中，深入分析在不同位置加入忆阻器对多翼超混沌系统的影响。研究表明，忆阻混沌系统具有复杂动力学行为，采用数值仿真、电路仿真和硬件电路实验表明了系统暂态混沌[22]、隐藏吸引子、自激振荡、倍周期分岔、超多稳定性[23]、超混沌等一些复杂动力学特性。文献[24]提出一种基于忆阻的文氏桥混沌电路，主要分析系统的共存吸引子和多稳定性。忆阻混沌系统极端依赖忆阻的初始状态，固定参数选取不同初值可以得到共存多吸引子。系统存在不同种类的吸引子，每一种吸引子是由不同初始状态自激振荡形成的。根据忆阻混沌系统具有复杂动力学行为这一优势，混沌系统可以应用在信息加密和保密通信领域。文献[25]基于分数阶忆阻混沌电路，采用一种新的图片加密算法，实现图像信息的加密。目前研究多忆阻高维混沌系统的相对较少，大多只进行数值仿真和电路仿真，研究硬件电路实现的较少。针对这一现状，设计两种忆阻器仿真器，并基于忆阻器设计一个新的五维混沌电路，对其进行Matlab数值仿真和动力学特性分析，并利用Multisim软件对其进行电路仿真验证。最后，用实际器件搭建系统硬件电路，并基于此电路设计一个随机信号发生器。

1 磁控忆阻器与荷控忆阻器

1.1 磁控忆阻器模型及对应的仿真器

根据磁控忆阻器的定义[26]，一个n阶磁控忆阻器模型的定义式为：

(1)

其中：W表示忆阻器忆导值，x表示n阶磁控忆阻器模型的内部状态变量，im和vm分别表示通过忆阻器的电流和电压。本研究磁控忆阻器模型[12]的表达式为：

(2)

其中，am、bn、A、B、C是忆阻器模型的参数，φ为磁控忆阻器的磁通。根据磁控忆阻器模型的数学表达式设计的忆阻器仿真器由运算放大器、乘法器、电阻、电容及电压源组成，如图1所示。

图1 磁控忆阻器仿真器Fig. 1 Flux-controlled memristor emulator

(3)

(4)

通过对式(2)～(4)整理，磁控忆阻器仿真器的表达式可以写为：

(5)

当在磁控忆阻器仿真器两端输入不同频率正弦电压源信号vm= sin(2πf)时，其v-i磁滞回线如图2所示。可以看出v-i特性曲线是一条闭合的紧磁滞回线，这些磁滞回线在v-i平面上都经过原点，且在原点处相交，满足忆阻器的零点相交性。随着激励信号源频率的增加，忆阻器的磁滞回线所包含区域面积逐渐减少，当频率趋于无穷大时，忆阻器的磁滞回线最终会退化为一条直线。

图2 磁控忆阻器仿真器在不同频率下v-i磁滞回线Fig. 2 The v-i hysteresis loops of flux-controlled memristor emulator with different frequencies

1.2 有源荷控忆阻器模型及对应的仿真器

根据荷控忆阻器的定义[26]，一个n阶荷控忆阻器模型的定义为：

(6)

其中，M表示荷控忆阻器的忆阻值，x表示n阶荷控忆阻器模型的内部状态变量。本研究提出的荷控忆阻器模型的表达式为：

(7)

其中q表示荷控忆阻器模型的电荷。根据荷控忆阻器模型的表达式构建其仿真器如图3所示，此荷控忆阻器仿真器由乘法器、运算放大器、电阻、电容组成。

在图3中，v0是运算放大器U1A的输出电压，通过计算得到其表达式v0=R13R16im/(2R9+R13)。由于R13= 10 Ω，相对R9= 1 kΩ很小，R13可以忽略不计，故v0≈R13R16im/(2R9)。令ε=R13R16/(2R9)，v0经过反相器输出U1D= -v0q2，由R17、R14、R21、运算放大器U1C构成反相加法器，U1C的输出为vm，可以推导出vm与im的关系为：

图3 荷控忆阻器仿真器Fig. 3 Charge-controlled memristor emulator

(8)

由R22、C2、U2A组成的积分电路可以得到U2A的输出，如式(9)所示。

(9)

由此，可以推导出荷控忆阻器仿真器的表达式：

(10)

其中，m= -εR17/R14,n=εR17/R21。当在荷控忆阻器仿真器两端施加不同频率正弦交流源信号im=sin(2πf)时，其磁滞回线如图4所示。从图中可以看出这些磁滞回线在v-i平面上都经过原点，满足忆阻器的零点相交性。其磁滞回线都在第二、四象限，表明此荷控忆阻器是有源的。随着激励信号频率的增加，忆阻器的磁滞回线呈压缩状态；当频率进一步增大，忆阻器的磁滞回线会逐渐变成一条单值曲线，这表明忆阻器具有频率依赖性。

图4 有源荷控忆阻器仿真器在不同频率下v-i磁滞回线Fig. 4 The v-i hysteresis loops of active charge-controlled memristor emulator with different frequencies f

2 基于双忆阻的混沌系统分析

2.1 基于双忆阻的混沌电路

基于双忆阻的混沌电路系统的简图如图5所示。此混沌电路由一个磁控忆阻器、一个有源荷控忆阻器、两个电容、一个电感及一个电阻经过串并联构成，各支路电流方向及电压参考方向在图5中标出。

图5 双忆阻的混沌电路设计Fig. 5 Chaotic circuit design of dual memristors

取电容C1两端的电压为v1，电容C2两端的电压为v2，磁控忆阻器W(φ)的忆导为W，φ为磁控忆阻器的磁通，荷控忆阻器模型M(q)的忆阻为M，荷控忆阻器的电荷为q，分别对应的5个状态变量为v1、v2、im、φ和q。基于5个状态变量，由基尔霍夫电流、电压定律及电路元件的本构关系，可建立系统的状态方程：

(11)

令x=v1,y=v2,z=im,w=φ,v=q,a=1/C1,g=1/C2,b=1/L,R=1，则式(11)可以进一步改写为：

(12)

选择系统参数：a=8.7，g=30，b=0.6，am=0.3，bn=0.1，m=-1，n=30，A=4，B=10，C=-0.1。使用Jacobian方法计算Lyapunov指数，得到LE1=0.237 7，LE2=-0.000 7，LE3=-0.561 1，LE4=-2.577 6，LE5=-38.327 7，其中最大Lyapunov指数大于0，系统处于混沌态。令初值为(0.01, 0.01, 0.01, 0.01, 0.01)，采用龙格-库塔ODE45算法进行Matlab数值仿真，系统电路产生的吸引子相图如图6(a)、6(b)、6(c)、6(d)所示。截面z=-0.5截面上的Poincaré映射在x-y平面的投影如图6(e)所示，该忆阻混沌系统5个状态变量的时域波形如图6(f)所示，由此可见该系统的运动轨迹具有貌似随机性、非周期性。由系统的Lyapunov指数、吸引子图、Poincaré映射图及时域波形图可知，系统处于混沌状态。

图6 吸引子相图、Poincaré映射图及各状态变量的时域波形图Fig. 6 Phase diagrams of the chaotic attractor, Poincaré map, and time-domain waves with different state variables

2.2 平衡点分析

(13)

进一步化简式(13)，可得到系统的平衡点集为E= {(x,y,z,w,v)|x=y=z=0,w=C/B=0.01,v=v0}，其中v0为任意实数。将a=8.7，g=30，b=0.6，am=0.3，bn=0.1，m=-1，n=30，A=4，B=10，C=-0.1代入式(12)，将式(12)在平衡点处线性化后，可得Jacobian矩阵：

(14)

将Jacobian矩阵J代入det(λE-J)=0，得其特征根方程：

(15)

进一步化简得到：

a0λ5+a1λ4+a2λ3+a3λ2+a4λ=0 。

(16)

其中：

(17)

由Routh-Hurwitz判据可知，当

(18)

时，系统的特征值(或特征值的实部)均为负，此时系统稳定。为使式(12)产生混沌，则至少有1个特征值(或特征值的实部)为正，所以式(18)中各项应不全为正。例如，将v0=1时代入式(18)，Δ1=65.2>0,Δ2=1×105>0,Δ3=2.43×109>0,Δ4=-8.16×1012,Δ5=0，此时系统平衡点不稳定，符合产生混沌的平衡点稳定性条件。

2.3 参数a对动力学行为的影响

随着系统参数的变化，系统平衡点的稳定性也会随之变化，导致系统轨道处于不同状态。在初始条件(0.01, 0.01, 0.01, 0.01, 0.01)下，固定系统参数g=30，b=0.6，am=0.3，bn=0.1，m=-1，n=30，A=4，B=10，C=-0.1。当a在[7, 12]范围变化时，系统的Lyapunov指数谱如图7(a)所示，由于第4根与第5根Lyapunov指数为更小的负数，为了图示清晰，LE4、LE5未画出；状态变量x随参数a变化的分岔图如图7(b)所示。

图7 系统状态随参数a变化的Lyapunov谱图(a)与x随参数a变化的分岔图(b)Fig. 7 Lyapunov exponent spectra of system state varying with a (a) and bifurcation diagram of x varying with a (b)

由图7可知，当a∈[7, 12]时，系统由周期轨道出发经过短暂的倍周期快速跳到混沌状态，然后经过一段混沌状态直接切换到倍周期，再从倍周期变为多次周期与混沌相互切换状态。当a∈[7, 8.01]时，系统一直处于倍周期；当a∈(8.01, 9.05]时，系统处于混沌状态；当a∈(9.05, 9.99]时，系统处于倍周期；当a∈(9.99, 12]时，系统经历了多次倍周期与混沌切换状态。从图中可以看出分岔图是对称分岔的，这是由于吸引子相图对称导致。选取不同的参数a，状态变量x随变量w变化的几种相图如图8所示。

图8 系统在参数a不同情况下的w-x平面相图Fig. 8 Phase diagrams of system in w-x plane varying with a

2.4 共存分岔现象与共存吸引子

选择系统参数a=8.7，g=30，am=0.3，bn=0.1，m=-1，n=30，A=4，B=10，C=-0.1，状态变量x随参数b在[0.05, 0.8]的变化由图9(a)Lyapunov指数谱可知，在初值(0.1, 0.1, 0.1, 0, 0)条件下，随着参数b的不断增大，系统开始从周期经过短暂的混沌再到倍周期，再经过多次倍周期与混沌切换状态变到混沌，再由混沌快速变为倍周期，再从倍周期变为混沌，最终再由混沌从倍周期演变为单周期。随着参数b的变化，当b∈(0.05, 0.107]时，系统开始进入倍周期；当b∈(0.107, 0.125]时，系统由周期轨变为混沌状态；当b∈(0.125, 0.215]时，系统由混沌状态变为倍周期；当b∈(0.215, 0.516]时，系统经历多次混沌与倍周期切换状态；当b∈(0.516, 0.59]时，系统处于倍周期；当b∈(0.59, 0.695]时，系统由倍周期变为混沌状态；当b∈(0.695, 0.8]时，系统从倍周期逐渐变为单周期。

图9 系统状态x随参数b变化的Lyapunov指数谱图与在不同初始条件下随参数b变化的共存分岔图Fig. 9 Lyapunov exponent spectra of system state x varying with b and coexistence bifurcation diagram varying with b at different initial conditions

共存分岔现象[27]是分岔现象的新特性，是指在初始条件不同的情况下，系统随参数的变化出现不同分岔的现象。共存吸引子是指在系统参数相同而初始条件不同的情况下，系统所产生不同的吸引子。分岔图如图9(b)所示，其中红色部分初始条件是(0.1, 0.1, 0.1, 0, 0)，蓝色部分的初始条件是(-1, -1, 0, 0, 0)。固定参数a=8.7，g=30，am=0.3，bn=0.1，m=-1，n=30，A=4，B=10，C=-0.1，改变b的参数，其共存吸引子相图如图10所示。

图10 系统随b变化时，w-x平面共存吸引子相图Fig. 10 Phase diagrams of w-x plane coexistence attractors varying with b

图10中红色轨迹和蓝色轨迹表示的初始条件同图9，在w-x平面显示的共存吸引子相图。当b∈[0.59, 0.8]时，随着参数b的不断增大，由不同初值系统产生的共存吸引子历经共存混沌吸引子状态、共存倍周期状态、共存单周期状态。

2.5 多稳定性

如果系统具有不同幅值、不同频率或不同位置的相同拓扑结构的共存吸引子，那么系统具有多稳定性[19]。选择混沌系统参数为a=8.7，g=30，b=0.6，am=0.3，bn=0.1，m=-1，n=30，A=4，B=10，C=-0.1，系统初始状态(x(0), 0.01, 0.01, 0.01, 0.01)，其中变量x(0)在[-10, 10]之间变化时，可以得到随初值x(0)变化的Lyapunov指数谱图与分岔图，如图11所示。由图11可知，系统存在多次周期与混沌切换状态，表明系统存在不同的轨线。

图11 系统随初始状态x(0)变化的Lyapunov指数谱图与初始随状态x(0)变化的分岔图Fig. 11 Lyapunov exponent spectra diagram varying with the initial state variable x(0) and bifurcation diagram varying with initial state variable x(0)

随着初始状态x(0)的变化，系统存在多种形状不同的共存吸引子，如图12所示，显示了系统随着初始状态分量x(0)逐渐增加的几种典型共存吸引子相图，x(0)∈[-10, 10]。因为这些共存吸引子相图在w-x平面是重叠的，为将每个吸引子相图均匀排开，需将各个吸引子相图沿w轴向右均匀平移一段距离。进而，各个吸引子相图可以在w-x平面一同显示。从图中可以看出系统具有多种不同类型的共存吸引子，说明该系统具有多稳定性。

图12 系统随初始状态x(0)变化的几种典型共存吸引子Fig. 12 Typical coexistence attractors varying with initial state variable x(0)

3 电路仿真与电路实现

3.1 电路仿真

对式(12)做时间尺度变换，令τ=Kt，K为时间尺度变换因子。时间尺度变换因子的大小影响系统时域演变的快慢和相轨迹稀疏稠密程度。时间尺度变换因子K越大，系统时域演变的越快，系统的混沌吸引子相图轨线越密集；反之，系统时域演变的越慢，系统的混沌吸引子相图轨线越稀疏。K往往要根据系统所需进行设置，所以K的取值不固定。为了便于后期电路实现，使得电阻和电容取值大小合适，取系统时间尺度变换因子K= 1 000，将电路参数及忆阻器参数a=8.7，g=30，b=0.6，am=0.3，bn=0.1，m=-1，n=30，A=4，B=10，C=-0.1代入，得到：

(19)

根据状态方程式(19)，运用反相比例模块、反相加法模块、反向积分模块及乘法器构成混沌系统的仿真电路，如图13所示。

图13 Multisim仿真电路Fig. 13 Multisim emulator circuit

根据图13列写方程，得到状态方程：

(20)

根据式(19)与式(20)对应系数相等，可得：

(21)

取电容C1=C2=C3=C4=C5= 10nF，每个电容的初始电压值为0.01 V，将各电容值代入式(21)，求得各电阻值如图13所示。Multisim电路仿真结果如图14所示，与Matlab数值仿真结果图6混沌吸引子相图对比，可知两者相图是大体一致的，由此Multisim电路仿真验证了理论分析的正确性。

图14 Multisim仿真混沌吸引子图Fig. 14 Chaotic attractors obtained by Multisim software simulation

3.2 电路实现

为了进行电路实验，用实际器件在面包板上实现电路，并在示波器上获得相应的吸引子相图，如图15所示。从示波器中可以看出搭建的实际电路的吸引子相图验证了Matlab数值仿真结果与Multisim电路仿真的正确性。

图15 电路实现与吸引子图Fig. 15 Circuit implementation and chaotic attractors

基于电路实现设计了一个随机信号发生器[18]如图16所示，随机信号发生器由电压比较器U1与比例运算放大器U2组成。当随机信号发生器的输入信号比参考电压高时，电压比较器U1输出正饱和电压，反之U1输出负饱和电压。U1输出的饱和电压作为比例运算放大器U2的输入，U2的输出可以获得合适的逻辑电压。随机信号发生器参考电压取0时，其输入信号可以是系统的5个状态变量(x,y,z,w,v)的任意一个状态变量。通过实验得出系统状态变量z具有良好的随机性，故选取系统状态变量z作为随机信号发生器输入，Vout作为随机信号发生器的输出，通过Multisim电路仿真结果如图16(b)，硬件实现在示波器得出波形如图16(c)所示。

图16 随机信号发生器电路图及Multisim仿真图与示波器图Fig. 16 Circuit of random sequence generator and Multisim simulation & hardware circuit

4 结论

本研究提出磁控与有源荷控忆阻器模型两种新的忆阻器模型，并分别设计了对应的忆阻器仿真器，结合忆阻器与电感串联、电容并联的电路接法构建了一个新的五维混沌系统，该系统具有一个平衡点集，并进行了平衡点分析；分析在不同初值条件下随参数变化的共存分岔与共存吸引子，共存分岔现象使得加密密钥空间更大，更适合应用在加密领域中。分析了系统随初值变化的Lyapunov指数谱和分岔图，系统具有多种共存吸引子，表明该系统具有多稳定性。该混沌系统对初值具有极端灵敏性，可以产生稳定、连续的混沌伪随机序列信号，可以应用到信息加密及保密通信等领域。设计了一个Multisim仿真电路，其仿真结果与数值仿真结果具有一致性；在面包板上用实际器件搭建了硬件电路，实验结果验证了数值仿真与电路仿真的正确性。最后，在硬件电路实现的基础上设计了一个随机信号发生器，实验结果验证了系统的物理可实现性。随机信号发生器电路设计比较简单，电压输出可调，生成的随机序列比从数字平台获取的序列更随机，更适合用在加密领域中。