多种支付方式下短缺需求拖后的改良品库存模型

黄远良, 侯治平

(桂林理工大学 商学院, 广西 桂林 541004)

0 引 言

近年来, 易变质产品的研究受到了学者们的极大关注[1-4], 所谓易变质产品是指随着时间的推移而发生腐烂、挥发、蒸发或者衰减等, 使得经济价值逐渐下降直到完全丧失的产品, 如蔬菜、水果等。然而市场上还存在着其他类型的产品, 在不考虑市场需求时, 随着时间的推移其质量得到改善、数量得到增加, 或者其重量增长, 这类产品称为改良品(ameliorating items), 如酒庄里的葡萄酒、养殖场里的鸡鸭鹅猪等。改良品的研究起步较晚, 文献相对较少, 目前正逐渐引起学者们的关注。

1997年, Hwang[5]首次研究了产品改良率为两参数Weibull分布的库存模型, 具体讨论了需求率大于改良率与改良品库存数量增大两种情形；而Chou等[6]则对文献[5]模型进行了改进, 进一步确定了最优解的存在与唯一性条件；然后Hwang[7]研究了易变质产品与改良品的随机集合覆盖选址问题, 其中每个顾客被覆盖的概率不小于给定值；Moon等[8]研究了通货膨胀与时间折扣下易变质产品与改良品的经济订购批量模型；而Law等[9]则研究了时间折扣下产品变质与改良同时存在的集成生产销售库存模型, 其中变质率与改良率都是服从不同的两参数Weibull分布；Sana[10]研究了市场需求受时间与销售努力影响下产品变质与改良同时存在的多品种经济订购批量模型。这些文献均假设产品改良与市场需求同时产生, 而Rezaei[11]从另一个角度来研究, 即产品成长一段时间后再销售, 构建了一个经济订购批量模型, 其中产品在成长阶段其成长数量随时间推移呈非线性增加, 而产品的生产成本函数是时间的多项式关系。基于文献[11]，Sebatjane等[12]研究了供应商实施增量数量折扣下销售商制定最优的采购策略问题, 对比后发现数量折扣是一种可有效降低销售商采购成本的方案；Khalilpourazari等[13]研究了存在多种约束下采购多种改良品的库存优化问题, 提出使用序列二次规划、混合水循环与飞蛾扑火优化(hybrid water cycle moth-flame optimization)及混合正弦余弦乌鸦搜索(hybrid sine cosine crow search)等3种算法来求解优化模型; 而Gharaei等[14]研究了改良品在成长阶段存在一定死亡概率的库存模型。

国内, 陈晖等[15]最早以育肥期的生猪为例来研究改良品库存管理问题, 通过调查和实证模拟, 找到产品改良规律；张云丰等[16]则研究了有限补货率下多个零售商独立采购或者形成联盟联合采购的改良品库存问题, 使用多人合作博弈理论来计算成本分摊问题;文献[17]使用价格折扣与交易信用策略来协调改良品供应链问题; 文献[18]讨论了改良品质押融资中3PL公司为最大化期望收益而进行监管努力水平的最优决策问题;文献[19]采用延期支付策略下多个零售商独立采购与联合采购改良品的供应链决策问题；而肖旦等[20]研究了改良技术共享下多个零售商联合采购改良品的库存问题；孙海雷等[21]研究了采用价格折扣策略来协调改良品供应链问题。可见, 改良品的管理问题已受到了学者们的重视, 特别是2019年, 生猪的供需矛盾凸显, 造成了猪肉价格连续上涨[22]。

综上, 目前改良品的研究中仅有少数文献考虑了企业的融资问题, 其中文献[17, 19]使用交易信用方式, 文献[18]使用质押融资方式, 而其他文献则不考虑企业的融资问题。对资金雄厚的大型企业来说, 有充足的资金流可以让企业平稳地运作, 但对中小企业来说，本身还面临着资金流的压力。虽然使用一种交易信用方式可以缓解供应链中一方的资金流压力, 但这将会把资金流风险转移到供应链中的另一方[23]; 另外, 文献[17-19]考虑的是库存不允许短缺的情形, 目标函数采用指数的泰勒展开近似来计算。

对此, 本文混合使用提前支付部分货款、货到支付部分货款与延期支付部分货款的方式来平衡或者降低上下游企业的资金流风险，放宽两个条件：一是允许库存短缺, 二是直接对构建得到的精准目标函数进行分析, 而不采用指数的近似值来计算。基于现有的研究成果, 研究在库存允许短缺下销售商同时使用如上多种支付方式来支付货款的改良品库存补货策略问题, 在构建相应的数理模型后, 通过模型分析确定最优解的存在性与唯一性。

1 模型假设与符号说明

模型假设:

1)市场需求率D恒定不变。

2)销售商库存补货率无限大, 即补货是即时完成的。

3)销售商允许库存短缺, 并且库存短缺期内需求完全拖后。

4)当销售商订购Q单位产品时要支付cQ货款给供应商, 而供应商要求销售商提前l时间支付αcQ货款, 在货到时刻支付βcQ货款, 剩余货款γcQ可延期支付, 延期支付期限为M, 其中α+β+γ=1。

5)销售商在延期支付期内获得的销售收入存入金融机构获得利息收入。当M≤T1时(T1为库存有存货的时间长度), 销售商要在t=M时支付完货款给供应商，此时还没有销售完产品, 销售商将向金融机构借贷以偿还未销售完产品的货款。当M>T1时, 销售商在t=M时支付货款，此时已经销售完所有产品, 销售商不再需要借贷。销售商把获得的利息收入与利润用于企业的其他经营活动, 如销售、生产等[1-2]。

6)产品到达销售商库存后产品改良和产品需求同时产生, 产品改良率θ一般比较小, 可使得

符号说明:Q为销售商一次的订购批量,c为单位采购成本,h为单位时间单位产品的库存持有成本,g为单位产品的改良成本,Ic为单位时间单位货币的利息支付,α为提前支付货款的比例,β为货到时刻立即支付货款的比例,γ为延期支付货款的比例。

2 模型构建

销售商的库存水平变化如图1所示。在t=0时产品订货Q到达, 除了要满足短缺期内的需求外, 还要满足[0,T1]时间段内的市场需求, 而产品的改良在存货时间段[0,T1]内才发生, 在市场需求的作用下库存水平逐渐下降；在t=T1时刻库存水平为零；之后, 库存出现短缺, 短缺期内的需求完全拖后, 在t=T时刻下个订购批量Q到达, 其中T为补货周期。库存系统如此循环往复。在[0,T1]时间段内的库存水平变化可用微分方程表示[17-18]

图1 库存水平变化图

(1)

其中，I(t)为t时刻的库存水平。边界条件为I(T1)=0,求解式(1)得到

(2)

而在[T1,T]内的库存水平变化可表示为

dI(t)/dt=-D,T1≤t≤T,

(3)

边界条件为I(T1)=0,求解式(3)得到

I(t)=-D(t-T1),T1≤t≤T,

(4)

从而得到一个订购周期内的订购量为

(5)

在双方合作协议下供应商要求销售商提前支付部分货款αcQ(提前l时间),货到时刻再支付部分货款βcQ,作为回馈,供应商允许销售商可延期支付剩余货款γcQ,延期支付期限为M,这样销售商分3次支付货款,支付时间分别是t=-l、t=0与t=M时刻,即销售商在t=-l时刻支付部分货款αcQ给供应商,在t=0时刻再支付部分货款βcQ, 在t=M时刻支付完剩余货款γcQ,其中α+β+γ=1(图2)。这样可把整个产品批量划分为3个部分。采用这种方法可减轻销售商的资金流通压力,同时也降低供应商的资金流风险。

图2 不同情形的图形示意

对剩余货款γcQ则采用延期支付方式, 即在t=M时刻支付γcQ货款给供应商。因上一个库存短缺期内产生的完全拖后部分需求γD(T-T1)需在t=0货到时刻得到满足, 可获得销售收入γpD(T-T1)(p为单位销售价格), 而供应商给予的延期支付期限为M, 故这部分销售收入产生利息收入γpIeDM(T-T1)，其中Ie为单位时间单位货币的利息收入。对在时间段[0,T1]内产生的部分需求γDT1则由部分订购产品γI(0)=(γD/θ)(1-e-θT1)和由此部分订购产品改良而来的产品γ(DT1-I(0))=(γD/θ)(e-θT1-1+θT1)共同满足。所以对延期支付剩余货款这部分分两种情形(M≤T1和M>T1)来讨论利息支付和利息收入。

2.1 情形1 M≤T1

(6)

2.2 情形2 M>T1

(7)

综合以上分析, 销售商单位时间成本为

(8)

3 模型分析

3.1 情形1 M≤T1

(9)

(10)

基于式(10), 令

(11)

由于

从而

3.2 情形2 M>T1

(12)

(13)

基于式(12), 令

(14)

由于G(T1)关于T1的导数G′(T1)>0, 即G(T1)是关于T1的严格增函数, 且G(0)=0。由T10, 故G(T1)的定义域为[0,M)。从式(12)可得到T关于T1的函数表达式。对式(12)两边求关于T1的导数, 有dT/dT1-1>0。

基于式(13), 令

(15)

对F2(T1)求关于T1的导数, 并利用式(12)进行化简, 得到F2′(T1)=CbDT(1-dT/dT1)<0, 可见F2(T1)是关于T1的减函数, 且F2(0)>0。

由于

从而

定理1

证毕。

4 特 例

4.1 θ→0情形

当θ→0时，模型退化为产品不存在改良的情形。由定理1可推出如下结论。

推论1当θ→0时,

4.2 Cb→∞情形

当Cb→∞时，模型退化为库存不允许短缺的情形。

推论2当Cb→∞时,

1)若Δ2>0, 则TC(T)的最优解T0=T*, 其中T*由求解下式得到

2)若Δ2<0, 则TC(T)的最优解T0=T**, 其中T**由求解下式得到

3)若Δ2=0, 则TC(T)的最优解T0=M。

证明过程见附录。

5 算例分析

先考察不同支付方式下销售商所作的最优决策(表1), 再考察参数θ、Cb、D与l(Cb值变为15)对库存系统的影响。

表1 不同支付方式下的最优决策

表2 产品改良率对库存系统的影响

表3 拖后成本对库存系统的影响

表4 产品需求率对库存系统的影响

表5 提前支付期对库存系统的影响

6 结束语

资金流是企业四大流(即物流、资金流、信息流与商流)之一, 企业的资金流是否合理顺畅对企业生存及运营管理产生极大的影响。在现实中, 由于资金流断裂而倒闭的企业屡见不鲜。而企业的订货策略与货款支付策略又是影响企业资金流流动的主要因素之一。基于此, 本文使用多种支付方式来平衡或者降低供应链上下游企业的资金流风险。具体研究了在允许库存短缺下销售商在混合使用提前支付、货到支付及延期支付这3种支付方式时如何制定最优的改良品补货策略问题, 并通过算例分析来考察主要参数对库存系统的影响, 得到如下结论：

(1)销售商越拖后支付货款给供应商则对其越有利;

(2)产品改良率对库存系统中改良成本的影响很大, 而需求率对库存系统中所有元素的影响都比较大;

(3)拖后成本对库存系统元素都产生一定的影响, 当拖后成本很大时库存系统越接近不允许短缺的情形, 库存系统总成本也就越大;

(4)提前支付期对库存系统中每年总成本的影响不是很大, 对库存系统中其他元素的影响也都很小。

后续研究可扩展到动态定价, 或者顾客存在违约风险的情形, 进一步丰富改良品库存理论的研究成果。

附录:

当Cb→∞时模型退化为库存不允许短缺的情形。这时销售商单位时间成本式(8)变为

(A1)

其中：

(1)M≤T情形

(2)M>T情形

(A5)

综合以上两种情形的分析可知, 若Δ2>0, 则TC1(T*)