轻质混凝土与钢筋粘结强度概率模型分析

张 玉, 刘伯权

(长安大学 建筑工程学院, 西安 710061)

0 引 言

轻质混凝土具有轻质高强、保温隔热、耐火耐久性能好等优势, 是符合国家产业化和可持续化发展的绿色建筑材料, 但其内部各相材料的相互作用和破坏机理异于普通混凝土[1], 导致钢筋与轻质混凝土的粘结滑移问题亦有显著区别。开展轻质混凝土与钢筋粘结性能研究有利于推广轻质混凝土工程应用[2]。

国内外研究者借助理论推导、试验研究及数据统计分析等手段针对钢筋与轻质混凝土极限粘结强度计算模型已开展了部分研究。相关规范[3-4]考虑混凝土抗拉强度或抗压强度, 提出了极限粘结强度计算公式。李渝军等[5]、赵文兰等[2]通过粘结锚固试验研究了钢筋直径、保护层厚度、箍筋、混凝土抗拉强度对粘结性能的影响, 提出了钢筋与轻质混凝土粘结强度经验公式及临界锚固长度计算公式。Tepfers[6]基于粘结破坏机理, 分析了内裂纹从产生到临界状态的整个过程, 提出了粘结强度理论计算式, 但目前仍未形成统一且广泛适用于钢筋与轻质混凝土粘结强度的经验公式或理论模型。

贝叶斯理论具有充分利用模型信息和数据信息且考虑先验分布等优点[7], 已被逐渐引入土木工程构件及结构分析的相关计算[8]。贝叶斯理论能够结合宏观理论模型和统计方法优势, 对粘结锚固试验数据规律进行精准预测, 并能通过影响因素显著性不断更新模型, 保证样本信息的完备性和准确性。通过对粘结强度计算模型进行贝叶斯后验更新, 合理考虑各影响因素显著性和可靠度水准, 建立概率统计模型[9]。

本文收集了676组钢筋与轻质混凝土间粘结性能试验数据, 提出了基于贝叶斯理论的粘结强度概率模型, 利用贝叶斯后验参数剔除方法, 简化概率公式, 完成影响因素的显著性分析, 对比分析简化概率模型与现有经典模型徐有邻、GB 50010—2010、李渝军、Tepfers模型预测值的精度和离散性, 采用分项系数量化模型的连续性和不确定性, 验证概率模型的有效性和优越性, 研究成果可为工程结构或构件的理论分析提供参考。

1 粘结强度概率模型

1.1 概率模型建立

将已掌握的计算方法和试验数据作为先验信息, 选取贝叶斯假设作为先验分布, 采用贝叶斯概率统计方法综合两类先验信息进行统计推断, 最终建立基于贝叶斯方法的概率模型[9]

F(X,Θ)=Fd(X)+γ(X,θ)+σε,

(1)

式中:X为粘结强度影响因素;Θ=(θ,σ)为未知的模型参数;Fd(X)为已有粘结强度计算公式;γ(X,θ)为先验模型的修正项, 用参数X和未知模型参数θ=[θ1,θ2, …,θp]T的函数来表示;ε为正态随机变量, 且ε～N(0, 1);σ为模型修正后仍存在的误差。对式(1)进行对数运算, 形式为

(2)

其中，hi(x)为根据力学理论或已有研究结果选择的函数。以试验数据为基础, 对式(2)中的未知参数进行估计。假设p(Θ)为未知参数Θ先验分布的联合概率密度函数, 根据贝叶斯定理将其更新为后验分布f(Θ)[10], 即

f(Θ)=κL(Θ)p(Θ),

(3)

1.2 影响因素选取

采用影响钢筋与轻质混凝土粘结强度的参数作为修正项来建立概率模型。hi(x)确定方法如下: 选取h1(x)=ln 2用以修正常数项; 考虑轻质混凝土的水胶比的影响, 采用h2(x)=ln(w/b)进行修正; 选择h3(x)=lnft修正混凝土抗拉强度;h4(x)=lnfcu修正混凝土抗压强度的影响; 选取h5(x)=ln(l/d)修正锚固长度和钢筋直径的影响;h6(x)=ln(c/d)修正保护层厚度和钢筋直径的影响；选取h7(x)=ln eρsv修正箍筋配筋率的影响。

1.3 试验数据整理

笔者收集了676组钢筋与轻质混凝土间粘结性能试验数据(其中包括梁式和中心拉拔试件), 为便于全面考虑极限粘结强度的影响因素, 依据试件在混凝土抗压强度(fcu)、保护层厚度(c)、水胶比(w/b)、锚固长度(l)、钢筋直径(d)和箍筋配筋率(ρsv)等方面的差异合理选择数据, 并将其进行统一整理, 详见表1。

表1 粘结锚固试验数据汇总

1.4 参数显著性分析

采用贝叶斯参数剔除法识别各参数影响粘结强度的重要程度, 依次剔除变异系数值(CoV)较小的因素, 完成粘结强度影响参数的显著性分析[9]。θi对应的hi(x)的变异系数CoV为

CoV=σi/μi。

(4)

式中:σi和μi分别是θi后验分布的标准差值和期望值。

1.5 模型建立

结合贝叶斯方法和676组试验数据, 采用无先验模型, 考虑各种不确定性影响因素, 编辑R语言脚本, 将参数的迭代结果代入式(2)进行指数运算, 建立粘结强度多参数概率模型。

(c/d)0.466·e20.048 ρsv，

(5)

上述概率模型考虑影响因素较多, 公式比较繁琐, 故采用贝叶斯参数剔除法逐步去除对粘结强度影响较小的参数(变异系数较小的参数), 即依次剔除h2(x)和h4(x), 说明它们对粘结强度的影响已被重复考虑或不显著。因为第3步剔除过程显著降低了概率模型的预测精度(均值Mean、标准差SD、变异系数CoV显著增大), 参数剔除过程终止, 具体剔除过程见表2。简化后的概率模型为

表2 影响因素剔除过程

e17.790 ρsv。

(6)

2 模型验证

2.1 误差分析

考虑不同影响因素, 本文给出了多种极限粘结强度计算模型, 由于影响因素众多且受力机制复杂, 各模型都有不同程度的偏差。结合汇总数据, 各模型的计算结果见表3。

表3 计算模型

图1给出了各模型的试验与预测结果比值的箱型图及正态分布图。与其他模型对比分析可知: 概率模型的均值和变异系数分别为1.056和0.298, 具有较小的偏差(即均值和中位数接近1)和离散性(即较短的框), 且计算异常值较少; GB 50010—2010和Tepfers模型预测精度较差、离散性大, 主要是因为考虑的影响因素较少; 进一步说明了贝叶斯方法有效筛选出了对粘结强度影响显著的关键因素。

图1 模型预测值箱型图

如图2所示, 预测值强度曲线主要通过试验点的中心。Mean+/-SD涵盖了数据库中所有强度范围内的大部分试验数据。结果表明: 概率模型的预测值精度较高, 与试验数据吻合较好。相比之下, 其他模型显示出相对较大的分散性和偏差。徐有邻、GB 50010—2010及Tepfers模型偏向保守一侧, 李渝军模型预测结果偏高。

图2 模型预测误差分析图

2.2 适用性分析

结合本课题组前期已完成的19组轻质混凝土与变形钢筋中心拉拔试验结果, 将贝叶斯概率模型式(6)应用于轻质混凝土与钢筋粘结强度的计算, 计算结果见表4。试验值与模型计算结果的比值分布于0.750～1.225, 均值为1.086,CoV为0.109。说明离散性较小, 精度较高, 证明了该模型适用于轻质混凝土与钢筋粘结强度的计算, 准确性较高。

表4 试验结果统计

2.3 连续性分析

结合前文影响因素的显著性分析, 针对显著因素c/d开展预测模型的连续性分析。如图3、表5所示, 各范围内的偏差箱型图与全样本相近, 均值均接近1, 表明概率模型在参数各范围内预测性能较稳定, 基于贝叶斯方法的概率模型提高了预测的稳定性和准确性。

图3 概率模型偏差箱型图

表5 影响参数不同范围的样本特征

采用分项因子法评定概率模型的不确定性。分项系数γRd可由下式得出[29]

(7)

αR为(一阶可靠度法)灵敏度系数, 根据ISO 2394[30]和fib bulletin 80[31], 为“非显性阻力变量”,αR=0.4×0.8=0.32;β为目标可靠性指标;μ和υ分别是试验与预测值比率的均值和变异系数。

如图4所示, 分项系数γRd随目标可靠性指标β的增加而增加。设计使用寿命为50 a的普通结构的可靠性指标值为3.8。当β值在3.0～4.6时, 模型的分项系数见表6。

图4 模型分项系数与目标可靠度关系

表6 模型的分项系数γRd

3 临界锚固长度

钢筋的锚固长度取钢筋达到屈服同时自由端未产生滑移时的锚固长度。临界锚固长度计算公式为

la=fyd/(4τu)，

(8)

式中:fy为钢筋的抗拉强度, MPa;la为试件临界锚固长度, mm。

《混凝土结构设计规范》(GB 50010—2010)给出的钢筋临界锚固长度计算公式为[3]

(9)

式中:ft为混凝土轴心抗拉强度设计值。

联立式(8)、(9)得α=ft/(4τu)。偏安全地取自由端初始滑移荷载不低于钢筋屈服荷载75%试件的极限粘结应力作为粘结强度τu[32]。基于试验数据库(表1), 经计算α的取值在0.022～0.170, 为保证安全, 建议α取值为0.170, 则钢筋与轻质混凝土临界锚固长度的计算公式为

(10)

4 结 论

基于钢筋与轻质混凝土粘结锚固试验数据库和现有粘结强度计算公式, 引入贝叶斯动态更新理论, 建立了钢筋与轻质混凝土间粘结强度概率模型, 提出了相应的临界锚固长度。得出以下结论:

(1)基于贝叶斯方法的概率模型具有较高的精度(Mean=1.056)和较低的离散度(CoV=0.298)。通过统计特征和部分因素来描述概率模型的不确定性: 全样本,β=3.8,γRd≈1.361。

(2)采用贝叶斯后验参数剔除方法动态更新概率模型, 识别出参数ft、l/d、c/d及ρsv对钢筋与轻质混凝土间粘结强度预测影响显著。

(3)利用试验数据库统计分析得到α的建议取值为0.170, 提出了钢筋与轻质混凝土临界锚固长度的计算公式。