巧用数学表征 促进问题解决

姜湘君

数学表征是指学生对学习的数学知识进行记录、储存、改组的方式。所谓数学表征能力，是指在一定的情境下，学生以自己的方式辨析、解释、表现数学知识，根据不同的数学问题来选择和转化表征方式，最终解决问题的能力。在数学教学中善于运用数学表征，可以丰富学生的认知，为其抽象思维的培养提供支撑；可以使学生充分发挥学习的自主性，积极探索数学规律，发展思维能力。因此，在课堂教学中，教师要注意引导学生巧用数学表征解决数学问题，进而提高其数学表征水平，发展其数学能力。

1.运用关系表征，完善学生的认知结构。

数学学习都是从问题开始的，教师要注重通过问题解决来促进学生思考，发展其学习力。要解决问题，就需要找出已知条件和未知问题之间的联系，提炼出数量之间的关系。关系表征就是根据题目中所给的已知条件尝试建立、表述数量关系，进而解决问题。

如教学苏教版六上“百分数应用题的整理与练习”，笔者认为，无论是关于纳税、利息、折扣的实际问题，还是解决稍复杂的百分数问题，都离不开对基本数量关系的分析和理解。于是，笔者抓住这三类问题中的数量关系进行教学：（1）求一个数的百分之几是多少；（2）已知一个数的百分之几是多少，求这个数；（3）求一个数比另一个数多（少）百分之几。首先出示下述问题：（1）学生参加锻炼，跳绳的有100 人，长跑的比跳绳的多10%，参加长跑的有多少人？（2）学生参加锻炼，参加长跑的有90 人，比跳绳的少10%，参加跳绳的有多少人？（3）学生参加锻炼，跳绳的有100 人，长跑的有90 人，长跑的比跳绳的少了百分之几？让学生先独立思考，然后简单地表述思路，再列出综合算式并计算。之后，让学生辨析异同：相同之处是单位“1”相同，数量关系都是单位“1”× 分率=对应的数量；不同之处是单位“1”已知或未知，所求数量不同，以此确定用乘法来计算还是用除法来计算。学生在多次比较中体会到了不同类型的问题之间的相同之处，充分利用“求一个数的几分之几是多少”的基本数量关系模型，合理选择不同的方法解题，达到了融会贯通，建立了整体性的概念体系。

在数学学习中，只有把握了知识结构，才能编织一个具有生命力的、处于运动中的思维网络，才能掌握蕴含在各个概念相互关系中的思维模式。上述案例中，教师根据学生的表征水平进行教学，引导学生抓住数量关系分析问题，确定解题思路，促进学生发展了关系表征能力，完善了认知结构。

2.运用图式表征，促进学生理解题意。

皮亚杰的发生认知论告诉我们，在新颖的刺激物的反复作用下，儿童的图式才会发生调节，认知的开放性才会战胜封闭性。图式表征主要是用实物图、示意图、线段图等图式表示信息的内涵，帮助学生理解题目中的信息，建立问题的空间模型，从而解决问题。小学高年级学生已经有了一定的抽象思维能力，但仍然需要形象思维的支撑。教师在教学中注重鼓励学生运用图式表征准确表示题目中的信息，能促进他们从直观到抽象，发展分析问题的能力。

比如，教学“百分数”时有这样一道题：小明爸爸九月份的工资是6800元，超出5000元的部分需按照5%的比例缴纳个人所得税，小明爸爸实际拿到的工资是多少元？这道题看似容易，但是因为缺乏生活经验，总有学生解答错误。其实，教师可以引导学生用线段图或方形图或圆形图等表示小明爸爸九月份的工资6800元，再在相应的图形中表示出超出5000元的部分和需要缴纳的个人所得税，最后很容易就能求出实际拿到的工资。运用图式表征教学，能使学生的学习形式更丰富，学习内涵更突出，既能丰富学生的感知，又能使学生获得更多解决问题的方法。

3.运用符号表征，让学生感受知识的抽象过程。

符号表征是指用数学符号表示数学对象，这有助于抽象、概括出数学对象的本质。小学生的符号表征能力是从简单到复杂、有层次地发展的。教师可以从直观情境中引入学习，逐步抽象出数学符号，再巩固符号表征，这样做，有利于学生感知知识的抽象过程。

小学生已有用字母表示运算律和图形的计算公式的学习经验，已经初步感受到了符号表征的简洁和方便。苏教版五下“用字母表示数”要求学生先找出数量关系，再用含有字母的式子表示这种关系，它代表了一种结果，是算术思维向代数思维过渡的起点，是学生学习方程的基础。教学时，笔者以猜谜游戏导入，引导学生得出字母可以表示特定的数，然后以摆小棒这个具体的活动为例，引领学生逐步把所有的情况表示出来，引出用字母可以表示所有这些关系的数，接着追问：a 是一个特定的数吗？它还可以表示哪些数？使学生了解到a 不仅可以表示特定的数，还可以表示变化的数，并通过对一些关键词进行追问，使学生理解符号的表示范围。学生从具体事例开始深入学习，从词语表征慢慢向符号表征过渡，体会到了用字母表示数的必要性和优越性，体会到了符号表征的适用性，为后面的学习打下了基础。

总之，在数学教学中，教师要注重灵活运用关系表征、图式表征、符号表征，帮助学生将数学问题具体化、简单化、形象化，推动他们对数学问题的理解和解决。