关于广义积分的若干问题探讨

牛荟玲 刘佳音

摘  要：广义积分是积分学中的一个重要概念，它是定积分概念的推广，也是定积分无穷多项累加思想的推广。本文首先通过定积分的定义，深入分析了无穷区间上的广义积分以及无界函数的广义积分与定积分之间的区别和联系。其次，讨论了当被积函数的原函数容易求出时，利用广义积分的定义计算广义积分时需要注意的几个问题，并举例加以说明。

关键词：广义积分  被积函数  积分区间  定积分  原函数

中图分类号：O13 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2021）07（b）-0163-04

Discussion on Some Problems about Generalized Integral

NIU Huiling*  LIU Jiayin

（North Minzu University， Yinchuan， Ningxia Hui Autonomous Region， 750021 China）

Abstract： Generalized integral is an important concept in integral science. It is not only the extension of the concept of definite integral， but also the extension of the idea of infinite multinomial accumulation of definite integral. Firstly， through the definition of definite integral， this paper deeply analyzes the differences and relations between generalized integral on infinite interval and generalized integral and definite integral of unbounded function. Secondly， when the original function of the integrand function is easy to be obtained， several problems needing attention in calculating the generalized integral by using the definition of the generalized integral are discussed and illustrated with examples.

Key Words： Generalized integral; Integrand; Integral interval; Definite integral; Primitive functions

眾所周知，微积分学是高等数学的核心内容，它不仅是学习和研究其他科学领域的理论基础，而且是培养理性思维和科学思维的重要载体。微分学是让人们从微观（局部）去认识和研究物体在运动中的数量变化规律，而积分学是让人们从宏观（整体）去认识和研究物体在运动中的数量变化规律，因此微积分学在人们认识和研究客观世界的过程中有着非常重要的作用。在一元函数的积分学中最常见的就是定积分，而在我们日常生活中经常还会遇到需要运用积分思想去解决的非定积分问题。例如，在概率论与数理统计中，若随机变量X服从标准正态分布，其概率密度函数为，求时的概率。这个问题的本质其实就是计算介于轴、曲线以及直线之间右侧部分的无界区域的面积。显然，正常意义下的定积分所能求的只是有界区域的面积。因此，可以运用积分思想将定积分的概念做一推广，将上述问题转化为求广义积分的问题。

广义积分相对于定积分而言，其研究和学习更加复杂和困难，但其应用也更加广泛，因此对于广义积分的研究和学习也就更加具有挑战性且更加有意义。在求解或判别广义积分的敛散性时，也呈现出了多种方法[1-5]，其中包括对含参变量的广义积分的收敛性的研究和应用[6，7]。但对大多数广义积分，虽然可以通过某些方法判别其收敛性，但对于它的具体数值却很难求出。

本文从定积分的定义出发，深入分析了两类广义积分和定积分之间的关系。当被积函数的原函数容易求出时，可以利用定义通过对变上（下）限的定积分取极限的方法求解两类广义积分，并通过举例重点说明了在求解广义积分的过程中需要注意的几个问题。

1  广义积分的概念及其与定积分之间的关系

定积分相对于广义积分也可称为常义积分，首先从定积分的定义谈起。由定积分的定义[2]可知，“有限积分区间”和“有界被积函数”是定义定积分的两个首要条件，其中任何一个不满足，谈定积分就没有意义了。广义积分“打破”了上述2个条件，将定积分作了两方面的推广：一是将积分区间推广到了无穷区间，二是将被积函数推广到了无界函数。因此，广义积分主要包含了“无穷区间上的广义积分”和“无界函数的广义积分”这两类，它们的定义都是建立在常义积分的基础上的。

定义1[8，9] （无穷区间上的广义积分）设函数在上有定义，任取，作定积分，称这个对变上限的定积分求极限的算式为函数在无穷区间上的广义积分，记为，，即：

当极限存在时，我们说此广义积分是收敛的，并称该极限值为广义积分的值，否则就称此广义积分是发散的。

注1 类似地，可以定义函数在上的广义积分。

注2 定义上的广义积分时，可以将其分为两个广义积分的和，即对任意实数c：

当广义积分和都收敛时，称广义积分收敛，否则称为发散的。

定义2[8，9]无界函数的广义积分）设函数在区间上有定义，且在点的任何右领域内无界。任取，函数在闭区间上作定积分，称这个对变下限的定积分求极限的算式为函数在区间上的广义积分，仍然记为，即：

当极限存在时，我们说此广义积分是收敛的，并称该极限值为广义积分的值，否则就称此广义积分是发散的。

注3 類似地，定义函数在上的广义积分。

注4 若，在c点的任何领域内无界，则函数在上的广义积分定义为：

当广义积分和都收敛时，称广义积分收敛，否则称为发散的。

从上述广义积分的定义可以看出，广义积分是在定积分定义的基础上先构造一个变上（下）限的定积分，再通过对变上（下）限的定积分求极限来实现的，它反映了通过已知认识未知的一种思想。

2  利用定义求解广义积分时需要注意的几个问题

（1）在利用定义的敛散性时，c的不同取值是否会影响其敛散性和广义积分的值？

答：不会。事实上，任取实数d≠c ，则根据定义

又根据定积分的性质

因此，c的改变不会影响原来广义积分的敛散性和广义积分的值。

（2）由于无界函数的广义积分的记号和定积分记号相同，故在积分求解的问题中，人们往往容易将无界函数的广义积分误认为是定积分。特别是当函数的奇点位于开区间的内部时，更容易忽略被积函数是否有界这一条件，而盲目地寻求被积函数的原函数，从而利用求定积分的方法导致错误的结果。因此在求解积分问题时，首先需要判断该积分到底是定积分还是无界函数的广义积分，然后再作相应的计算。

例1 求积分的值。

解析 上述积分是一个无界函数的广义积分，它的奇点是，且奇点位于积分区间（0，1）的内部。如果忽略了这一点，往往会导致错误的结果。若令，则

显然，上述解题过程忽略了积分区间内部有函数的奇点。事实上，第一步的代换并没有错，但在求解广义积分的过程中，把它当作一个定积分就导致了错误结果的出现。如果令，则：

我们发现这仍然是一个无界函数广义积分的问题，为奇点且积分发散。从而可知原积分是发散的。

（3）当被积函数比较复杂，利用定义求广义积分的值而被积函数的原函数不易求出时，可以借助二元函数的积分，利用交换积分次序的方法计算广义积分。

（4）在定积分的求解问题中，当被积函数为有理分式且分母次数较高时，倒代换往往成为一个非常有效的方法。而收敛的广义积分继承了定积分的许多性质，例如变量替换的性质。因此，在计算收敛的广义积分时，当被积函数是有理分式且分母的次数较高时，可以采用倒代换的方法。

3  结语

广义积分的概念是运用积分思想将定积分的概念在积分区间和被积函数2个方面做了推广，从而使得积分学的应用更加广泛。实际应用中，有时在同一问题中会同时出现两种类型的广义积分，例如广义积分既是“无穷区间上的广义积分”又是“无界函数的广义积分”。可以按照积分区间的可加性把积分区间分为两部分，分别讨论这2个区间上的广义积分的收敛性，从而可判断广义积分在整个积分区间的收敛性。本文主要讨论了通过求被积函数的原函数，然后按照定义取极限，根据极限的存在与否来判定反常积分的收敛性。在我们遇到的很多反常积分的问题中，往往会出现被积函数的原函数不易求得或者被积函数的原函数不能用初等函数来表示，例如函数的原函数就不能用初等函数表示，因此要判断广义积分的收敛性，就不能利用广义积分的定义进行求解，而是要利用类似于判定无穷级数收敛性的方法。事实上，广义积分和无穷级数在形式上非常相似，所不同的是前者用的是连续变量，而后者用的是离散变量。因此，在判断它们的收敛性时可以利用类似的方法去解决。

参考文献

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