特殊的集合——空集

■张付坤

集合是现代数学的理论基础,它是高中数学中一个重要的概念,与数学中的其他知识都有着紧密的联系。它作为一种语言、一种工具、一种思想方法已经渗透到其他学科的方方面面。空集是一个非常特殊的集合,下面举例剖析空集及其性质,进而深入认识这一特殊集合。

一、全方位解读空集的概念

1.空集是不含任何元素的集合,用符号“∅”表示。

2.∅与{∅}的关系:∅中没有任何元素,而{∅}是只含有一个元素∅的集合,所以∅∈{∅}。规定:空集是任何集合的子集,所以∅⊆{∅}。因为空集是任何非空集合的真子集,所以∅{∅}。这是一个有趣的现象,我们可以用∈、⊆和中的任意一个将∅和{∅}连接起来,唯独不能用“=”连接∅和{∅}。

3.∅和{0}的关系:{0}是只含有一个元素0的集合,{0}和∅都是集合,但不相等,根据空集的规定有∅⊆{0},∅{0}。

4.∅和0的关系:0是一个数,可以作为集合的一个元素,即0∉∅。

例1已知A∩B=∅,集合M={x|x是A的子集},N={y|y是B的子集},则( )。

A.M∩N=∅

B.M∩N={∅}

B.M∩N=A∩B

D.M∩N=A⊆B

解:因为A∩B=∅,∅⊆A,∅⊆B,集合M,N中的元素都是集合,所以∅∈M,∅∈N,所以M∩N={∅}。应选B。

二、集合运算中的空集

例2已知集合A={t|t2+4t+4=0},集合B={m|m2+2(a+1)m+a2-1=0},其中a∈R,如果A∩B=B,求实数a的取值范围。

解:由t2+4t+4=0,可得t=-2,则集合A={-2}。由A∩B=B,可知B⊆A。下面对集合B分两种情况讨论求解。

当B=∅时,方程m2+2(a+1)m+a2-1=0 无 解,由Δ=4(a+1)2-4(a2-1)<0,可得a<-1;当B≠∅时,B={-2},即方程m2+2(a+1)m+a2-1=0只有一解是-2,则Δ=4(a+1)2-4(a2-1)=0,解得a=-1,当a=-1时,B={0},不合题意。

故实数a的取值范围是(-∞,-1)。

例3已知集合M={x|-2≤x≤5},N={y|m+1≤y≤2m-1},满足N⊆M,求实数m的取值范围。

解:由N⊆M,可对N分两种情况讨论求解。当N=∅时,由m+1>2m-1,解得m<2;当N≠∅时,由解得2≤m≤3。故实数m的取值范围是(-∞,3]。

三、子集个数中的空集

例4已知集合A={2a-1,a2,0},B={1-a,a-5,9},且A∩B={9},写出集合A的所有真子集。

解:由集合元素的互异性得2a-1=9或a2=9,则a=±3或a=5。

当a=3 时,集合A={5,9,0},B={-2,-2,9},这时不满足集合元素的互异性;当a=5 时,集合A={9,25,0},B={-4,0,9},此时A∩B={0,9},不合题意;当a=-3时,集合A={-7,9,0},B={4,-8,9},满足A∩B={9}。

故集合A={-7,9,0}的所有真子集为∅,{-7,},{9},{0},{-7,9},{-7,0},{9,0}。