选学内容也有趣

文／江苏省无锡市西漳中学九年级（6）班 吴 涵

初学一元二次方程，你是否会认为一元二次方程只是复杂的计算题？这只是面对系数为具体数值的时候。当需要我们抽象分析，尤其是在学到选学内容——一元二次方程根与系数的关系时，就感到束手无策。很难吗？但是非常有趣。

例1设m、n分别为一元二次方程x2+2x-2018=0 的两个实数根，则m2+3m+n的值是多少？

你是不是上来就求解这个一元二次方程，想要把两个实数根分别代进去？我们先稍微预想下，求解不易，代入计算更繁，更何况还要考虑m、n分别如何取值。有没有更简便的方法呢？我们再联想与一元二次方程的根的情况有关的知识，就是我们教材选学部分的内容——两根和（积）与系数的关系。

解：∵m、n分别为一元二次方程x2+2x-2018=0的两个实数根，

∴m2+2m=2018，m+n=-2，

∴m2+3m+n=m2+2m+（m+n）=2018+（-2）=2016。

这里，分别运用了根的概念、两根和（积）与系数的关系的知识，运用了消除差异、整体代入的思想。这可比单纯的求解一元二次方程有趣得多，你们说呢？

例2若关于x的一元二次方程x2+mx+m2-3m+3=0 的两根互为倒数，求m的值。

这里，方程的两个根求不出来啊，如果用求根公式表达，又太过繁琐。因此，我们需要抓住“两根互为倒数”这一关键条件，聚焦思维、深入思考。这个条件的等价表达是“两根乘积为1”，这又可以联想到“两根和（积）与系数的关系”。

解：设方程两根为x1、x2，则x1·x2=1，即m2-3m+3=1，

解得m1=1，m2=2。

又∵方程有两个实数根，

∴b2-4ac≥0，即m2-4（m2-3m+3）≥0，

∴（m-2）2≤0，

∴m=2。

比起例1，例2 更多了一些严谨。我们可能会在最后一步忽视了“根与系数关系”成立的前提——存在实数根。这就要求我们不仅要善于展开联想，还要养成严密的思维习惯。当我们意识到自己思维习惯上的问题的时候，是不是很有收获感呢？

例3已知x1、x2是关于x的方程x2+（3k+1）x+2k2+1=0 的两个不相等的实数根，且满足（x1-1）（x2-1）=8k2，求k的值。

相比前两例，系数更复杂了，条件也更多了。给的条件让人感到异常陌生，有的同学甚至感觉无从下手。然而，当我们静下心来仔细观察、尝试、思考之后，就会发现，在复杂的外衣下，例3有着和例1一样的本质。“两个不相等的实数根”这一关键条件，正是本题的“题眼”——问题解决的关键第一步，接下来，先前不知如何运用的条件“（x1-1）（x2-1）=8k2”就有了用武之地。

解：∵x1、x2是关于x的方程x2+（3k+1）x+2k2+1=0的两个不相等实数根，

∴x1+x2=-（3k+1），x1·x2=2k2+1。

于是（x1-1）（x2-1）=8k2可以整理为x1·x2-（x1+x2）+1=8k2，

即2k2+1+3k+1+1=8k2，

∴6k2-3k-3=0，

∴2k2-k-1=0，

解得k1=-0.5，k2=1。

是不是感觉原本复杂的题目变得简单了，眼前顿时豁然开朗了？然而，别忘了思维的严密性哦。题目可不是“两个实数根”，而是“两个不相等的实数根”。由例2，我们知道，这里还需考虑b2-4ac＞0，所以应舍去k1=-0.5，取k2=1。至此，解答完整。

综上，万变不离其宗，找到关键条件，展开自然的联想，运用所学知识，逐步尝试推理，一步一步把陌生的式子转化为熟悉的公式，这样的过程不论是对必学内容还是对选学内容都是非常有趣的思维过程。让我们一起养成良好的思维习惯，感受数学思维的魅力，增强数学学习的兴趣吧。

教 师 点 评

小作者能够在选学内容中享受思维的乐趣，并在其中领悟到“不论是对必学内容还是对选学内容”，其思维过程都是“万变不离其宗”，这才是相对于知识学习更为重要的思维学习。数学学习就是要像小作者一样，在掌握“基础知识、基本技能”的基础上，领悟“基本思想方法”，积累“基本活动经验”，提高“发现、提出、分析、解决”问题的能力，学会有逻辑、严密地思考，形成数学思维方式，养成良好的思维习惯，享受数学学习乐趣，培育科学精神，最终越学越会学、越学越智慧。